1、1ABQPy xOCABQP yxO本文适合高二学生.作者：王小凤，四川绵阳开元中学，电话：13658120737，邮箱：圆锥曲线直角顶点三角形顶点切线性质探究王 小 凤(四川绵阳开元中学，621000)直角三角形的顶点在圆锥曲线弦的端点，另两顶点在圆锥曲线上的三角形叫直角顶点三角形. 作者通过几何画板发现圆锥曲线直角顶点三角形顶点切线具有如下的性质，现把拙文呈上与同行交流切磋.性质 1 如图，设 OA，OB 为抛物线 过顶点的两条互相垂直的弦，抛物线在)0(2pxyA，B 两点处的切线的交点为 P，线段 AB 的中点为 Q，则（ ）点 P 的轨迹为垂直于 x 轴的一条定直线；（） 为定值；（
2、）PQy 轴.ABOk证明 （）设直线 OA 的斜率为 ，易得)0(),(2k所以切线 PA 的方程为 ，化简整理得22kpxykppxy 1因为 OAOB ，所以 ，故直线 OB 的方程为 . 联立直线 OB 和抛物线方程解得OB1k，所以切线 PB 的方程为 ，化简整理得 )2,(pkB 2ppky pkxy21 2 得 ，所以 （定值）. 1 2 0)1()(kpxx故点 P 的轨迹为 是垂直 x 轴的一条定直线.2（）由（）有 ，所以 .),(k 222 11kpkkABOP ，故 （定值）.21ABOPk（）由（）知 ，而 ，所以 ，故 PQy 轴.pkyP pkkpyQ2QPy性质
3、 2 如图，设 AB，AC 是椭圆 过长轴的一个端点的两条互相垂直的弦，)0(12baax椭圆在 B，C 两点处的切线的交点为 P，线段 BC 的中点为 Q，则（）点 P 的轨迹为垂直于 x 轴的一条定直线；（） 为定值；（）P、Q 、O 三点共线.BCAk证明 （）设直线 AB 的斜率为 ，则直线)0(kAB 的方程为 ，联立椭圆方程和直线 AB)(axy的方程解得 ，所以切线 PB 的方)2,(23bkkbB2CABQPyxO程为 ，化简整理得 1)(2)( 2223 ybkaxbka 02)( 232 abkyaxkb 1因为 ABAC，所以 ，故直线 AC 的方程为 . 联立直线 AC
4、 和椭圆方程解AC1y得，所以切线 PC 的方程为 .)2,(23akbkaC 1)(2)( 2223yakbxakb化简整理得 0(32akyx 2+ 得 ，整理得 （定值） 1 2 0) 2322 23bx.故点 P 的轨迹为 是垂直 x 轴的一条定直线.23abx（）由（）有 ，又 ，所以 .)(1,(2k)0,(aAkAP21而 )()(2 222223232 babkbakbkaBC，故 （定值）.)1()1(242bk2aBCAP（）由（）得 ，所以 .)(1,)2224kbkbaQkbakOQ)(12而 ，所以 ，又直线 OP 与 OQ 有公共点 O，故 P、Q、O 三点共线.kbkOP)(2OQP当性质 2中的左顶点变为右顶点时结论相同，而若 A 点是短轴的一个端点，则点 P 的轨迹为垂直 y轴的一条定直线，另外两个结论不变.其证明方法和上面相同，有兴趣的读者可以一试.同理可证双曲线也具有如下性质：性质 3 如图，设 AB，AC 是双曲线 过左顶点的两条互相垂直的弦，双曲线在 B，C 两12byax点处的切线的交点为 P，线段 BC 的中点为 Q，则（）点 P 的轨迹为垂直于 x 轴的一条定直线；（）为定值；（）P、O 、Q 三点共线.BCAk
