1、2017 届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出 k 和 m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、 （07 山东）已知椭圆 C
2、： 若直线 与椭圆 C 相交于 A，B 两点1342yxmkxyl：（A，B 不是左右顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点。求证：直线 过定点，并求出该定点的l坐标。解：设 ，由 得 ，12(,)(,)xyB21ykx22(4)84(3)0kx，2643430mkk2021128(),mx22112123(4)()()()mkykxkx以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 且 ，,0D1ADBk， ，12x1212()4yx，23(4)(3)64mkmk整理得： ，解得： ，且满足227012,7km2340km当 时， ，直线过定点 与已知矛盾；k:()lykx(0)当 时，
3、，直线过定点7,综上可知，直线 过定点，定点坐标为l2(,).方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点 P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于 AB，则 AB 必过定点 。 （参考百度文库文章：“圆锥曲线)(,(2020bayx的弦对定点张直角的一组性质” ）模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定 AP 与 BP 条件（如定值， 定值） ，直线 AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒BPAkBPAk模型） 。 （参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第 13 节）此模型解题步骤：Step1：设 AB 直线 ，联立曲线方程得根与系数关系，
4、求出参数范围；mxy Step2：由 AP 与 BP 关系（如 ） ，得一次函数 ；1BPAk )()(kfmfk或 者Step3：将 代入 ，得 。)()(ffk或 者 mxy定定 yxy迁移训练练习 1：过抛物线 M: 上一点 P（1,2）作倾斜角互补的直线 PA 与 PB，交 M 于 A、B 两点，pxy2求证：直线 AB 过定点。 （注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）练习 2：过抛物线 M: 的顶点任意作两条互相垂直的弦 OA、OB，求证：直线 AB 过定点。xy42（经典例题，多种解法）练习 3：过 上的点作动弦 AB、AC 且 ，证明 BC 恒过定点。 （本题参考答12x 3AC
5、Bk案： ）)51,(练习:4：设 A、B 是轨迹 ： 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜C2(0)ypxPOOAB角分别为 和 ，当 变化且 时，证明直线 恒过定点，并求出该定点的坐标。 （参考,4答案 ）2,p【答案】设 ，由题意得 ，又直线 OA,OB 的倾斜角 满足12,xy12,0x,，故 ，所以直线 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为 奎 屯王 新 敞新 疆 从而设404ABAB 方程为 ，显然 ，ykxb221,yxp将 与 联立消去 ，得2(0)Px20kpyb由韦达定理知 112,byk由 ，得 1 = =4tant()4tan1t12()4yp将式代入
6、上式整理化简可得： ，所以 ，2pbk2bk此时，直线 的方程可表示为 即AByx()20x所以直线 恒过定点 .,练习 5：（2013 年高考陕西卷（理） ）已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. ()求动圆圆心的轨迹 C 的方程; ()已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 PB的角平分线, 证明直线 l过定点. 【答案】解:() A(4,0),设圆心 C 222,),( ECMANMEEMNyx ， 由 几 何 图 像 知线 段 的 中 点 为 xy84222（() 点 B(-1,0)
7、, 212212121 8,0),(),( xyyxQyP，由 题 知设. 00)()(88 211 yy直线 PQ方程为: )( 2112121 yxxxy ,08)()(11 x所以,直线 PQ 过定点(1,0)练习 6：已知点 是平面上一动点，且满足,0,BCP|PCB（1）求点 的轨迹 对应的方程；P（2）已知点 在曲线 上，过点 作曲线 的两条弦 和 ，且 ，判断：直(,2)AmAADEA线 是否过定点？试证明你的结论.DE【解】 （1）设 （5 分）.4,1)(|),( 22xyxyxCBPyxP 化 简 得得代 入.,142)(2的 坐 标 为点得代 入将 AmmA,04,2tm
8、yt得代 入的 方 程 为设 直 线 ）（，则设 *6),),(, 21121 tt 4)(1()( 21122 yyxxE5)4(41212121yyy )(6)( 2122 mtmttmt 845605)4(4)1 22 化 简 得 )1(3(389222 t）即 （即 *,15 ） 式 检 验 均 满 足代 入 （或 tt 1)(yxyxDE或的 方 程 为直 线） 不 满 足 题 意，定 点 （过 定 点直 线 .2,练习 7：已知点 A（1，0） ，B（1，1）和抛物线. ，O 为坐标原点，过点 A 的动直线xC4:2l 交抛物线 C 于 M、P，直线 MB 交抛物线 C 于另一点
9、Q，如图.（I）证明: 为定值;O（II）若POM 的面积为 ，求向量 与 的夹角；25OMP（）证明直线 PQ 恒过一个定点.解：（I）设点 、M 、A 三点共yPy),4(),(21 线，,2kDMA即 ,4212121yy即.5OP(II)设POM=，则 .cos|OPM由此可得 tan=1. in,25SROM又 .45,4)0( 的 夹 角 为与故 向 量()设点 、 B、Q 三点共线，yQ,3 ,QMBk3132213313 ,44(),40.1yyy 即 即 即 分, 32322yy即 第 22 题即 .(*)04)(43232yy,3kPQ)4(232yxy的 方 程 是直 线
10、即 .,4)( 3232 xxyy 即由（*）式， 代入上式，得)( ).1(4)(32xy由此可知直线 PQ 过定点 E（ 1，4）. 模型二：切点弦恒过定点例题：有如下结论：“圆 上一点 处的切线方程为 ”，类比也有22ryx),(0yxP20ry结论：“椭圆 处的切线方程为 ”，过椭圆 C：)0(02bayx上 一 点 120bax的右准线 l 上任意一点 M 引椭圆 C 的两条切线，切点为 A、B.142yx（1）求证：直线 AB 恒过一定点；（2）当点 M 在的纵坐标为 1 时，求ABM 的面积。【解】 （1）设 M 14),(),(),(,34 121 yxMyxBARt 的 方
11、程 为则点 M 在 MA 上 同理可得 1yx32tyx由知 AB 的方程为 )1(,3txt即易知右焦点 F（ ）满足式，故 AB 恒过椭圆 C 的右焦点 F（ ）0, 0,（2）把 AB 的方程 167,4)1(2 yyyx化 简 得代 入 又 M 到 AB 的距离762831|AB 32|4|dABM 的面积 13|dABS方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？参考：PPT 圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库参考：“尼尔森数学第一季_3 下” ，优酷视频拓展：相交
12、弦的蝴蝶特征蝴蝶定理，资料练习 1：（2013 年广东省数学（理）卷）已知抛物线 C的顶点为原点,其焦点 0,Fc到直线l: 20xy的距离为 32.设 P为直线 l上的点,过点 P作抛物线 的两条切线 PAB,其中,AB为切点.() 求抛物线 C的方程;() 当点 0,Pxy为直线 l上的定点时,求直线 AB的方程;() 当点 在直线 l上移动时,求 F的最小值.【答案】() 依题意,设抛物线 的方程为 24xcy,由 023结合 0c,解得 1.所以抛物线 C的方程为 24xy. () 抛物线 的方程为 2,即 21y,求导得 12x 设 1,Axy, 2B(其中 12,4x),则切线 P
13、的斜率分别为 , , 所以切线 ： 12xy,即211xyy,即 120xy 同理可得切线 B的方程为 20 因为切线 ,A均过点 0,P,所以 110, 202 所以 12xy为方程 0xy的两组解 . 所以直线 的方程为 0. () 由抛物线定义可知 1F, 2B, 所以 1221AFByy 联立方程 0024x,消去 x整理得 2200yxy 由一元二次方程根与系数的关系可得 21y, 12 所以 12200y 又点 0,Px在直线 l上,所以 x, 所以22200095yy所以当 01时, AFB取得最小值,且最小值为 .练习 2：（2013 年辽宁数学（理） ）如图,抛物线 221:
14、4,:0Cxyxpy,点0,Mxy在抛物线 2C上,过 M作 1的切线,切点为 ,AB(M为原点 O时, AB重合于 ) 12x,切线 .A的斜率为 1-.(I)求 p的值;(II)当 在 2上运动时,求线段 中点 N的轨迹方. ,.O重 合 于 时 中 点 为【答案】模 型 三 ： 相 交 弦 过 定 点相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3 下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。例题：如图，已知直线 L： )0(1:12bayxCmyx过 椭 圆 的右焦点 F，且交
15、椭圆 C于 A、B 两点，点 A、B 在直线 2:Ga上的射影依次为点 D、E。连接 AE、BD，试探索当 m 变化时，直线 AE、BD 是否相交于一定点 N？若交于定点 N，请求出 N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由。法一：解： )0,(),1(2akF 先探索，当 m=0 时，直线 Lox 轴，则 ABED 为矩形，由对称性知，AE 与 BD 相交于 FK 中点 N ,且 1。猜想：当 m 变化时，AE 与 BD 相交于定点 )0,21(aN证明：设 ),(),()(),( 12221 yaDEyxBA， 当 m 变化时首先 AE 过定点 N22222122121221212()(1)
16、0.804()1,()0()ANENANExmyabmybababyKKaaymyyyab即 分又而 这 是 222()()0ambK AN=KEN A、N、E 三点共线 同理可得 B、N、D 三点共线AE 与 BD 相交于定点 ),21(a法 2：本题也可以直接得出 AE 和 BD 方程，令 y=0，得与 x 轴交点 M、N,然后两个坐标相减=0.计算量也不大。方法总结：方法 1 采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。例题、已知椭圆 C： ，若直线 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 上异于点 T 的24xy:(2)lxtl任一点，直线
17、PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。方法 1：点 A1、A 2 的坐标都知道，可以设直线 PA1、PA 2 的方程，直线 PA1 和椭圆交点是 A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点 M 的坐标，同理可以求出点 N 的坐标。动点 P 在直线 上，:(2)lxt相当于知道了点 P 的横坐标了，由直线 PA1、PA 2 的方程可以求出 P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的 M、N 点的坐标，求出直线 MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的 t2，就可以了，否则就不存在。解：设 ， ，直线 的斜率为 ,则直线 的
18、方程为 ，由1(,)xy2(,)y1A1k1AM1()ykx消 y 整理得124ykx2214640kx是方程的两个根， 则 ， ，1和 12k2118xk124yk即点 M 的坐标为 ，212184(,)k同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为2284(,)1k1(),()ppyktyt， 直线 MN 的方程为： ，2121yyxx令 y=0，得 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得：212xy 4xt又 ， 椭圆的焦点为 ，即t40t(3,0)4t3t故当 时， MN 过椭圆的焦点。3方法总结：本题由点 A1(-2,0)的横坐标2 是方程 的一个根，结22121(4)6
19、40kxk合韦达定理，得到点 M 的横纵坐标： ， ；其实由 消 y 整理得2118kxy()yx，得到 ，即 ， 很快。不过222(14)640kxk2642814xk2214k如果看到：将 中的 换下来， 前的系数 2 用2 换下来，就得点 N 的坐标1212k用 1，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算2284(,)1k量。本题的关键是看到点 P 的双重身份：点 P 即在直线 上也在直线 A2N 上，进而得到 ，1AM12kt由直线 MN 的方程 得直线与 x 轴的交点，即横截距 ，将点 M、N 的坐标代121yyxx 12xy入，化简易得 ，由 解出
20、 ，到此不要忘了考察 是否满足 。4t34t 43tt方法 2：先 猜 想 过 定 点 ， 设 弦 MN 的 方 程 ， 得 出 方 程 ， 进 而 得 出 与 T 交 点 Q、 S， 两 坐 标 相 减 =0.NA21、如 下 ：时 ， 猜 想 成 立 。显 然 ， 当韦 达 定 理 代 入整 理 ）（ ： 易 得、相 较 于若 分 别 于 得 直 线 方 程 ：）（）（设 求 出 范 围 ；）（ 联 立 椭 圆 方 程 ， 整 理 ：设 34 )(43)(4-)2(1)()(342)2()(, );2(:),2(:,;0134,: 21221112121 t yttmxytytymtxxy
21、ytSttQl xlxylNMmyxlSTNAA 方 法 总 结 ： 法 2 计 算 量 相 对 较 小 ， 细 心 的 同 学 会 发 现 ， 这 其 实 是 上 文“切 点 弦 恒 过 定 点 ”的 一 个 特 例 而 已 。因 此 ， 法 2 采 用 这 类 题 的 通 法 求 解 ， 就 不 至 于 思 路 混 乱 了 。 相 较 法1， 未 知 数 更 少 ， 思 路 更 明 确 。练 习 1： （ 10 江 苏 ） 在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 + =1 的左右顶点为 A,B，右焦点xoyx29 y25为 F，设过点 T(t,m)的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点 M(x
22、1,y1)，N(x 2,y2)，其中 m0,y10,y20.设动点 P 满足 PF2PB 2=4,求点 P 的轨迹设 x1=2,x2= ，求点 T 的坐标13设 t=9,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点( 其坐标与 m 无关)解 析 ： 问 3 与 上 题 同 。练习 2：已知椭圆 E中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 (2,0)A、 (,)B、 31,2C三点过椭圆的右焦点 F 任做一与坐标轴不平行的直线 l与椭圆 E交于 M、 N两点， 与 N所在的直线交于点 Q.（1）求椭圆 的方程：（2）是否存在这样直线 m，使得点 Q 恒在直线 m上移动？若存在,求出直线 m方程,若不存
23、在,请说明理由.解析：（1）设椭圆方程为 21(0,),mxyn将 (2,0)A、 (,)B、 3(,)C代入椭圆 E 的方程，得491mn解得 ,4n. 椭圆 的方程2143xy（也可设标准方程，知 2a类似计分）（2）可知：将直线 :(1)lykx代入椭圆 E的方程 43并整理得 222(34)84(3)0kxk设直线 l与椭圆 的交点 12(,),MNy，由根系数的关系，得221()xxkk直线 A的方程为： 11(),yyx即由直线 的方程为： 2x，即 2()由直线 M与直线 BN的方程消去 y，得1221212(3)3()44x xx222 2864343kkkxx直线 AM与直线
24、 BN的交点在直线 上 故这样的直线存在模型四：动圆过定点问题动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。例题 1.已知椭圆 是抛物线 的一条2:1(0)xyCab2,的 离 心 率 为 yxb并 且 直 线 xy42切线。 （I）求椭圆的方程；（）过点 的动直线 L 交椭圆 C 于 A、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T，使得)3,0(S以 AB 为直径的圆恒过点 T？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由。解：（I）由 0)42(:422 bxxyybx得消 去因直线 相切2与 抛 物 线 21b，故所求椭圆方程为 （II）当 L
25、与 x221,caeaca .12yx轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程： 22)34(yx当 L 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程： ,由12 101)34(22yxyx解 得即两圆相切于点（0，1）因此，所求的点 T 如果存在，只能是（0，1）.事实上，点 T（0，1）就是所求的点，证明如下。当直线 L 垂直于 x 轴时，以 AB 为直径的圆过点 T（0，1）若直线 L 不垂直于 x 轴，可设直线 L： 3kxy由 0162)918(:232kyxky得消 去记点 、 ),(1A9186),(22kxyB则 12(,)(,1)TAxyBxy又 因 为122124()()3Tx
26、xk所 以 34)(2kk 0916822 kTATB，即以 AB 为直径的圆恒过点 T（0，1）,故在坐标平面上存在一个定点 T（0，1）满足条件.方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角。例题 2：如图，已知椭圆 的离心率是 ， 分别是椭圆 的左、右两个2:()xyCab212,AC顶点，点 是椭圆 的右焦点。点 是 轴上位于 右侧的一点，且满足 。FD2A12DF（1）求椭圆 的方程以及点 的坐标；（2）过点 作 轴的垂线 ，再作直线Dxn:lykxm与椭圆 有且仅有一个公共点 ，直线 交直线 于点CPn。求证：以线段 为直径的圆恒过定点
27、，并求出定QQ点的坐标。解：（1） ，设 ，12(,0)(,0)AaFc(,)Dx由 有 ，2D12xa又 ， ，于是F,c12ca1A2AOFDPQlnxy，又 ，1()(1)cac2cac2，又 ， ，椭圆 ，且 。20,1b2:1xCy(2,0)D（2）方法 1： ，设 ，由(2,)Qkm0(,)Pxy22kmkx，)xk2140k由于 （*） ，2 2264()11而由韦达定理： ，*002kkxxm由 （ ）， ，0 1ykm(,)kP设以线段 为直径的圆上任意一点 ，由 有PQMxy0Q由对22 12()()(2)0(2)()()0kkxykxmy称性知定点在 轴上，令 ，取 时满
28、足上式，故过定点 。x1,K法 2：本题又解：取极值，PQ 与 AD 平行，易得与 X 轴相交于 F（1,0） 。接下来用相似证明 PFFQ。;2, 00 yxPQy切 线 方 程 为易 得）（设 )1,0(yxD易 得FDPH设 0000 9, ;1;1; PFQDyx， 易 得相 似 于固问题得证。练习：（10 广州二模文）已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点21:()xyCab2F2:4Cyx重合，椭圆 与抛物线 在第一象限的交点为 ， .圆 的圆心 是抛物线 上的动点,圆1C2P25|3T2与 轴交于 两点，且 .3y,MN|4（1）求椭圆 的方程；1（2）证明:无论点 运动到何处,圆
29、 恒经过椭圆 上一定点.T3C1（1）解法 1：抛物线 的焦点坐标为 ，点 的坐标为 .2:yx(,0)2F(1,0)椭圆 的左焦点 的坐标为 ，抛物线 的准线方程为 .设点 的坐标为 ，由C1F1(,0)2xP1(,)xy抛物线的定义可知 , , ，解得 .由 ，且 ,2P253F1x1321843y0得 .点 的坐标为 . 在椭圆 : 中，1263y6,C2(0)yab.c222212|(1)(0)(1)6433aF .椭圆 的方程为 .2,3abc1C2143xy解法 2：抛物线 的焦点坐标为 ，点 的坐标为 . 抛物线 的准线方程为:4Cyx(,0)2F(,0)2C.设点 的坐标为 ，
30、由抛物线的定义可知 ,1xP1(,) 1Px , ，解得 .由 ，且 得 .253F1x23183yy163点 的坐标为 .在椭圆 : 中， .2(,6)12(0)xabc由 解得 .椭圆 的方程为 .22149c,ab,.,3ab1C2143xy（2）证法 1: 设点 的坐标为 ,圆 的半径为 ， T0()xy3r 圆 与 轴交于 两点，且 , . . 3Cy,MN|420|MNx204rx圆 的方程为 . 222000()xx 点 是抛物线 上的动点, ( ). .:4y0201y把 代入 消去 整理得: . 2014xy0x220(1)4x方程 对任意实数 恒成立， 解得0y2,40.x
31、y,0.y点 在椭圆 : 上,无论点 运动到何处,圆 恒经过椭圆 上一定点 .(2,0)1C243xT3C12,0证法 2: 设点 的坐标为 ,圆 的半径为 ， T0()y3Cr 点 是抛物线 上的动点, ( ).2: 204yx0 圆 与 轴交于 两点，且 , . . 3y,MN| 20|4MNrx20rx 圆 的方程为 . 222000()()xy令 ,则 ,得 .此时圆 的方程为 .0x20432y由 解得 圆 : 与椭圆 的两个交点为 、 .21,3y.y3C24xy1C2,0,分别把点 、 代入方程 进行检验，可知点 恒符合方程 ，点02,不恒符合方程 .无论点 运动到何处,圆 恒经过椭圆 上一定点 . 2,T31,
