1、1從有理數談起左太政 /國立高雄師範大學數學系 一、何謂有理數（rational numbers or quotients）（一）有理數的集合 為整數，Qnm|, 1),(0nm（二）Rational Numbers 名稱的意義（三）有理數具有稠密性但不具有完備性（四）單位分數及埃及分數1.試問介於 0與 1 之間的任意有理數是否可表為單位分數的和？如果可以,其表法是否只有一種？2.試問任意單位分數是否能表為至少二個相異單位分數之和？3.設 為正整數，若 為整數，試證： + 。rqp, rqpnpnqr14.設 為奇數，試證： 必可表成二相異單位分數之和。3n2（註:在西元前 1650年 Rh
2、ine papyrus 已記載 可表為埃及分數的和，其中2n為介於 5和 101之間的奇數）5.設 為互質的正整數，試證：必存在互質正整數 ,使得 nm, babanm1成立之充要條件為必存在正整數 使得 及 為整數。,qppqnqr6.設 為正整數，且滿足 ,試證： 可被 1979,pq11234839p所整除。（五）未解決問題1.Erdos-Straus conjecture: 有相異正整數解 .41nabc(,)abc22.Sierpinski conjecture（1956）: 有相異正整數解 . 51nabc(,)abc（六）(Salamin and Gosper 1972)任取一個
3、有理數使得其分母是偶數的機率為 。31（七）猜測(Conjecture)-數學的本質試證：若存在一個實數 使得 與 都是整數，則 必為有理數。,xx2xx（八）範例：1. 設 n為一個三位正整數,若 的末三位數正好是 n,試求滿足這樣條件的所有 n2n值。2.已知 為相異的有理數，試證：cba,必為某一個有理數的完全平方。222)(1)()(1ac3.試證：必存在無窮多組 ,使得 為整數， 及bc, ,1),(cba必為某一個整數的完全平方。22cba4.試求滿足方程式 的所有有理數解。21xyzxyz5.已知 為正整數且 試證： 有無限 ,mn,n()2)(1)mnm多組解；已知（1,1）
4、，(3,6)，(15,35),(85,204)為前四組解,試找出另三組解。 二、何謂無理數（irrational numbers）（一）無理數的意義：凡不是有理數的時數者稱為無理數。（二）無理數的個數比有理數多（Cardinal Number）3有理數的集合是可數集但無理數的集合是不可數集。（三）根號數是人類最早發現的無理數之一，又稱為 Pythagorasconstants,早在西元2前 500年人們已證明 是無理數。2問題 1. 的長度如何求得？(可利用勾股定理（又稱畢氏定理）或正方形面積)問題 2. 試給 是無理數的不同證明2問題 3. 試給 是無理數的不同證明，其中 不為某一個整數的完
5、全平方。aa問題 4. 若 為有理數， 且 為無理數，試證： 為無理數。sr,0r sr問題 5. 若 為正無理數，且 為正整數，試證： 為無理數。anna問題 6. 若 為正有理數，且 為無理數，試證： 為無理數。又sr, ,rssr當 時，則 為無理數。三、尺規作圖 1.已知 為正整數，試問如何用尺規做出 的長度來？aa2.已知 的長度，試問如何用尺規做出 1的長度來？23.試問能否用尺規做出 長度來呢？32四、二個特殊的無理數： 與 e1. 是無理數的證明e（1）Euler（Swizerland,1707-1783）於 1737 年證明 和 為無理數。e24（1）利用 ， !32!1nx
6、xex .Rx（2）利用反證法假設 為有理數，而得到矛盾。e2. 是無理數的證明由 Lambert（France,1728-1777）在 1768年發表 是無理數的證明；他證明下列定理而得到結論：設 為異於零之有理數，則 與 都不是有理數。xxetan但他的證明不完整，最後由 Lengendre（1752-1833,France）給予完整證明。3.其他無理數（1） 為無理數，其中 不是整數的 次方冪。1/mnnm（2） 為無理數，其中 , 皆為整數。logn（3） 為無理數，其中 為有理數。re0r（4） 為無理數，其中 為有理數。cos（5） 為無理數，其中 , 為有理數。0960（6） 為
7、無理數，其中 為有理數。tanrr（7） 為無理數， 為正整數。n五、代數數與超越數實數又分為代數數（algebraic number）和超越數（transcendental number）二種，51.代數數：如果實數 為某一個整係數多項式的根，則此數 稱為代數數。例如a a所有有理數及根號數都是代數數。從集合論的觀點而言，所有代數數所組成的集合是可數集（countable set）。2.超越數：凡不是代數數的實數稱為超越數，例如 和 。e（1）1873 年由 Hermite（1822-1901,France）證明 為超越數；（2）1882 年由 Lindemann（1852-1939,Germany） 證明 為超越數。（3）超越數的個數是多於代數數，乃因它們組成的集合為不可數集（uncountable set）。六、範例1.試求滿足方程組 的所有正實數解 .xyzx2233 ,xyz
