1、8.6 多元函数微分学的几何应用习题 8.61. 求曲线 在 相应的点处的切线及法平面方程。sin,1cos,4in2txtytz0解：点为 ，切向量为 所以切线为,2 2s,icos1,.tt法平面方程为 ，即1.zxy 20xyz24.2. 求曲线 在对应于 的点处的切线及法平面方程。21,ttxyz01t解：点为 ，切向量为 所以切线为1,221,2.4tt法平面方程为 ，即.124xyz04xyz286.xz3. 求曲线 在点 处的切线及法平面方程。22,ymx0,xyz解： ，在点 处， 所以切向量为,dz0,02,dmx所以切线为 法平面方程为01,.2y000.112xyz。00
2、02mxyz4. 求曲线 在点 处的切线及法平面方程。23,54xxyz1,解： ，在点 处， 所以0,23,dd,230,5dxyzdx切向量为 所以切线为 法平面方程为16,9.11.69xyz。即16910xyz16924.xyz5. 求出曲线 上的点，使得该点的切线平行于平面23,tt 24.xyz解：设所求点为 ，此处切向量为 。平面0020,31,3tt的法向量为 ，所以 ，解得 或 ，所求24.xyz1,2401t点为 和1,397,.6. 求曲面 在点 处的切平面及法线方程。3zexy2,10解：令 ，则 ，在点 处取值,zF,1zFyxexz2,0得 ，所以切平面为 ，即 法
3、线为1,20210xy24.xyz7. 求曲面 在点 处的切平面及法线方程。22abc0,xyz解：令 ，则 ，在点22,Fxyzabc,2,Faxbyczxyz处取值得 ，所以切平面为0,xyz00,z，即 。法线为0abyc001axbycz00.xz8. 求椭球面 上平行于平面 的切平面方程。221xy20xyz解：由上题，椭球面 上点 处的切平面为 ，z0, 0021xyz与 平行即要求 ，解得切点为20xyz02xy，所以切平面为1414,22,2.xyzxyz9. 求旋转椭球面 上点 处的切平面与 面的夹角的余弦。2316,3xOy解：旋转椭球面 上点 处的切平面的法向量为 ，22
4、316xyz,233,2面的法向量为 ，所以夹角余弦为xOy0, .10. 试证曲面 上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等0xyza于 。a证明: ,所以曲面上 处的切平面为22dxydzdz0,xyz，在坐标轴上的截距分别为000xyz其和为 。0000000,.xyzxzya11. 求螺旋线 在点 处的切线及法平面方程。cosinab,a解：切向量为 所以切线为 法平面方程为0i,. .0xyzab。0aybz12. 在曲面 上求一点，使该点处的法线垂直于平面 ，并写出此法xy 39xyz线的方程。解：曲面 上点 处的法向量为 ，因为该点处的法线垂直于平面z0,z0,1y，所以 ，所
5、以点为 ，法线为39xy013yx3,1.z13. 求下列曲线在给定点处的切线方程与法平面方程：（1） 曲线 ，在 处；cos,sinco,sinxatyatzat4解：点为 ，切向量为22,i,所以切线为42cosin,sin,coscos,sin,.taaatat 法平面方程为222i.cossn1xyz，即222coscosinsin0aaaxyz。in0yz（2） 曲线 ，在点 处；2,x1,解：切向量为 所以切线为 法平面方程为1.x 11.2xyz，即120xyz24.xyz（3） 曲线 ，在点 处；6,x1,M解：曲面 在点 处的法向量为 ， 的法向量22yz,21,20xyz为
6、 ，所以曲线 在点 处的切向量为 所以切线1, 260xyz,1,.为 法平面方程为 ，即21.0xyz10xz0.xz（4） 曲线 ，在 处；2sin,sico,satybtt3解：点为 ，切向量为3,4c所以切线为332sino,s2,osin,.2tabcatbt法平面方程为344.3cxyzba，即3 04cxyz。2233.ababcz14. 证明：螺旋线 的切线与 轴成定角。os,in,xyzOz证明：切向量为 ， 轴方向向量为 ，二者夹角余弦为incab0,1为常值，所以结论成立。2ba15. 证明:球面 在球面上 与 处的切平面互相平22xyza0,xyz00,xyz行。证明：球面 在球面上 与 处的切平面的法向量220,00,分别为 与 ，所以它们平行。0,xyz0,xyz16. 求椭球 上平行于平面223146xyz的各切平面方程。解：设切点为 ，则法向量为 ， ，由此解出切点0,xyz00,23xyz023146xyz为 ，所以切平面为1,22即46,1462,xyzxyz,.zx17. 求球面 与椭球面 在点 处的交角224y2231xyz,3.解：球面 点 处的法向量为 ，椭球面 在1xz,2216xyz点 处的法向量为 ，它们的夹角余弦为 ，所以交角1,233,2878arcos.7
