1、1第 2 讲 一笔画问题故事发生在 18 世纪的哥尼斯堡城.流经那里的一条河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来，那里风景优美，游人众多.在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥，最后又回到出发点呢？对于这个貌似简单的问题，许多人跃跃欲试，但都没有获得成功.直到 1836 年，瑞士著名的数学家欧拉才证明了这个问题的不可能性。欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何图形（如下
2、图）能否一笔画出的问题了. 所谓一笔画，就是从图形上某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复。我们把与奇数条边相连的结点叫做奇点,把与偶数条边相连的点称为偶点.欧拉的一笔画原理是： (1)一笔画必须是连通的( 图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。因为图中 A，B，C，D 都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。在数
3、学中，我们把由有限个点和连接这些点的线（线段或弧）所组成的图形叫做图；图中的点叫做图的结点；连接两结点的线叫做图的边.为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做奇点，把与偶数条边相连的点称为偶点2典型例题例 1 下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？例 2 下面各图能否一笔画成？例 3 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？例 4 下图是国际奥委会的会标，你能一笔把它画出来吗？例 5 下图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从 A、B 出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达 C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达 C？3例 6
4、一张纸上画有如下图所示的图，你能否用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形？例 7 下图是一个公园的平面图.要使游客走遍每条路而不重复，问出入口应设在哪里？例 8 下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？补充知识：(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数 (任意个偶数之和是偶数 )，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。所以一个图形的奇点数目一定是偶数。(2)有 K 个奇点的图形要
5、K2 笔才能画成。例如：下页左上图中的房子共有 B，E ，F，G，I ，J 六个奇点，所以不是一笔画。如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。将线段 GF 和4BJ 去掉，剩下 I 和 E 两个奇点(见右下图) ，这个图形是一笔画，再添上线段 GF 和 BJ，共需三笔，即(62)笔画成。一个 K(K1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道 K 笔画有 2K 个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。如左下图中的 B，C 两个奇点在右下图中都变成了偶点。所以只要在 K 笔画的 2K 个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为 2 个，从而变成一笔画。
