1、天骄之路高考网19902002年高考立体几何试题汇编(90全国) 如图,在三棱锥S ABC中,SA底面ABC,ABBCDE垂直平分SC, 且分别交AC、SC于D、E.又SA AB,SBBC. 求以 BD为棱,以BDE与BDC 为面的二面角的度数.（91全国）已知ABCD是边长为4的正方形，E 、 F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2求点B到平面EFG的距离（92 理）两条异面直线 a、b 所成的角为 ，它们的公垂线段 AA1 的长度为 d。在直线 a、b 上分别取点 E、F,设 A1E=m，AF=n（93 全国）如图,A 1B1C1-ABC 是直三棱柱,过点 A1、
2、B、C 1 的平面和平面ABC 的交线记作 l.() 判定直线 A1C1 和 l 的位置关系 ,并加以证明;天骄之路高考网() 若 A1A=1,AB=4,BC=3,ABC=90,求顶点 A1 到直线 l 的距离. （94 全国）如图,已知 A1B1C1-ABC 是正三棱柱,D 是 AC 中点.(1)证明 AB1平面 DBC1；(2)假设 AB1BC1,求以 BC1 为棱,DBC 1 与 CBC1 为面的二面角 的度数.（95 全国）如图，ABCD 是圆柱的轴截面，点 E 在底面的周长上，AFDE，F 是垂足。(1)求证：AFDB(2)如果 AB=a，圆柱与三棱锥 D-ABE 的体积比等于 3，
3、求点 E 到截面ABCD 的距离（96 全国）如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,EBB 1，截面 A1EC侧面 AC1.()求证:BE=EB1;()若 AA1=A1B1;求平面 A1EC 与平面 A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为()的完整证明,并解答().()证明:在截面 A1EC 内,过 E 作 EGA 1C,G 是垂足. _EG侧面 AC1;取 AC 的中点 F,连结 BF,FG,由 AB=BC 得 BFAC, _BF侧面 AC1;得 BFEG,BF、EG 确定一个平面,交侧面 AC1于 FG. _BEFG,四边形 BEGF 是平行四边
4、形,BE=FG, _FGAA 1,AA 1CFGC, _()解:天骄之路高考网（97 全国）如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点. ()证明 ADD1F;()求 AE 与 D1F 所成的角;()证明面 AED面 A1FD1;（98 全国）已知斜三棱柱 ABCA 1B1C1的侧面 A1ACC1与底面 ABC 垂直，ABC90，BC2，AC2，且 AA1A 1C，AA 1A 1C。（）求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小；（）求侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小；（）求顶点 C 到侧面 A1ABB1的距离。（99 全国）如图，
5、已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，点 E 在棱 D1D 上，截面 EACD 1B，且面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45，AB=a（）求截画 EAC 的面积；（）求异面直线 A1B1与 AC 之间的距离；（求三棱 B1EAC 的体积。（00 广东、全国）如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，且C 1CB=C 1CD=BCD，（）证明：C 1CBD ；天骄之路高考网（）当 的值为多少时，能使 A1C平面 C1BD？请给出证明。1CD（00 两省一市）如图，直三棱柱 ABC- ，底面 ABC 中，CA=CB=1，BCA= ，棱1CBA 90=2，
6、M 、N 分别是 、 的中点。1A1BA（I）求 的长；（II）求 ， 的值；1cosC（III）求证 BA（01 广东、全国）如图，在底面是直角梯形的四棱锥 ABCD 中， ， 面 ABCD， SA AB ， 21()求四棱锥 SABCD 的体积； ()求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值（01 两省一市）如图，以正四棱锥 V-ABCD 底面中心 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyz，其中 OxBC,OyAB.E 为 VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a,高为 h()求 cos;BE DE ()记面 BCV 为 ，面 DCV 为 ，若 BED 是二面角 的平面角，求 BE
7、DVC天骄之路高考网（02 全国）如图，正方形 、 的边长都是 1，而且平面 、 互相垂直。ABCDEFABCDEF点 在 上移动，点 在 上移动，若 （MACNaBNM）20a（1）求 的长；（2） 为何值时， 的长最小；（3）当 的长最小时，求面 与面 所成二面角 的大小。A（02 两省一市）如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 ，侧棱长为a。a2（1） 建立适当的坐标系，并写出点 A、B、A 1、C 1 的坐标；（2） 求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角（02 广东）四棱锥 的底面是边长为 的正方形， 平面 。BCDPaPBACD（1）若面 与面 所成的二面角为 ，求
8、这个四棱锥的体积；A60（2）证明无论四棱锥的高怎样变化。面 与面 所成的二面角恒大于PACD90参考答案 （90）解法一:由于SBBC,且E是SC的中点,因此BE 是等腰三角形 SBC底边SC 的中线,所以SCBE.又已知 SCDE,BEDEE,SC面BDE,SCBD.又 SA底面ABC,BD 在底面 ABC上, SABD.而SC SAS, BD面SAC.DE面SAC 面BDE,DC面SAC面BDC,BDDE,BDDC.EDC是所求的二面角的平面角.A1 B1C1A BC天骄之路高考网SA底面ABC, SA AB,SAAC.设SAa,又因为ABBC, ACS30.又已知DESC, 所以EDC
9、60,即所求的二面角等于60.解法二:由于SBBC,且E是SC的中点,因此BE 是等腰三角形 SBC的底边SC 的中线,所以SCBE.又已知SC DE,BE DE ESC面BDE,SC BD.由于SA底面ABC, 且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BDAC;又因ESC,AC是SC在平面ABC 上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于DAC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得 BDDE.DE 面BDE,DC 面BDC,EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.（91）解：如图，连结EG、 FG、EF、BD、AC 、 EF、
10、BD分别交AC于H、O 因为ABCD是正方形，E 、F分别为AB 和AD的中点，故EFBD，H为AO 的中点BD不在平面EFG上否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点 G在平面的ABCD上，与题设矛盾由直线和平面平行的判定定理知BD平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离 4分 BDAC， EF HC GC平面ABCD， EFGC， EF平面HCG 平面 EFG平面 HCG，HG是这两个垂直平面的交线 6分作OKHG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知 OK 平面EFG，所以线段OK的长就是点B 到平面 EFG的距离 8分 正方形ABCD的边长为4，GC=2，天骄
11、之路高考网 AC=4 ，HO= ，HC=3 22 在Rt HCG 中，HG= 3由于Rt HKO和Rt HCG有一个锐角是公共的，故RtHKOHCG OK= 12HGCO即点 B 到平面 EFG 的距离为 10 分（92） 解法一:设经过 b 与 a 平行的平面为 ,经过 a 和 AA1 的平面为 ,=c,则 ca.因而 b,c 所成的角等于 ,且 AA1c(如图)。 AA1b, AA1.根据两个平面垂直的判定定理,.在平面 内作 EGc,垂足为 G,则 EG=AA1.并且根据两个平面垂直的性质定理,EG.连结 FG,则 EGFG.在 RtEFG 中,EF2=EG 2+FG2。 AG=m, 在
12、AFG 中, FG 2=m2+n2-2mncos. EG 2=d2, EF 2=d2+m2+n2-2mncos.如果点 F(或 E)在点 A(或 A1)的另一侧,则EF 2=d2+m2+n2+2mncos.因此 解法二:经过点 A 作直线 ca,则 c、b 所成的角等于 ,且 AA1c.根据直线和平面垂直的判定定理,AA1 垂直于 b、c 所确定的平面 a.在两平行直线 a、c 所确定的平面内,作 EGc,垂足为 G,则 EG 平行且等于 AA1，从而 EG。连结 FG,则根据直线和平面垂直的定义,EG FG.在 RtEFG 中,EF 2=EG2+FG2。(以下同解法一)（93）解:()l A
13、1C1.证明如下:根据棱柱的定义知平面 A1B1C1 和平面 ABC 平行.由题设知直线 A1C1=平面 A1B1C1平面 A1BC1,直线 l=平面 A1BC1平面 ABC.根据两平面平行的性质定理有 lA1C1.() 解法一: 过点 A1 作 A1EL 于 E,则 A1E 的长为点 A1 到 l 的距离.连结 AE.由直棱柱的定义知 A1A平面 ABC. 直线 AE 是直线 A1E 在平面 ABC 上的射影.又 l 在平面 ABC 上,根据三垂线定理的逆定理有： AEl.天骄之路高考网由棱柱的定义知 A1C1AC,又 lA1C1, l AC.作 BDAC 于 D,则 BD 是 RtABC
14、斜边 AC 上的高,且 BD=AE,从而 AEBD(AEBC)/AC(43)/512/5在 RtA1AE 中, A 1A=1，A 1AE=90,故点 A1 到直线 l 的距离为 13/5。解法二: 同解法一得 lAC.由平行直线的性质定理知CAB=ABE， 从而有 RtABCRtBEA，AE:BC=AB:AC，AE(BCAB)/AC以下同解法一。（94） (1)证明: A 1B1C1-ABC 是正三棱柱,四边形 B1BCC1是矩形.连结 B1C,交 BC1于 E,则 B1E=EC.连结 DE.在AB 1C 中,AD=DC, DEAB 1,AB 1平面 DBC1.(2)解:作 DFBC,垂足为
15、F,则 DF面 B1BCC1,连结 EF,则 EF 是 ED 在平面 B1BCC1上的射影.AB 1BC 1, 由(1)知 AB1DE, DEBC 1,则 BC1EF, DEF 是二面角 的平面角.设 AC=1,则 DC=1/2. ABC 是正三角形,在 RtDCF 中, DF=DCsinC= /4,CF=DCcosC=1/4取 BC 中点 G. EB=EC, EGBC.在 RtBEF 中, EF 2=BFGF,又 BF=BC-FC=3/4,GF=1/4EF 2=(3/4)(1/4),即 EF= /4. tgDEF=DF/EF=1 DEF=45.故二面角 为 45.（95） (1)证明：根据圆
16、柱性质，DA平面 ABE，EB 平面 ABE， DAEB，AB 是圆柱底面的直径，点 E 在圆周上，AEEB，又 AEAD=A，故得 EB平面 DAE，AF 平面 DAE，EBAF，又 AFDE，且 EBDE=E，故得 AF平面 DEB，天骄之路高考网DB 平面 DEB，AFDB。(2)解：设点 E 到平面 ABCD 的距离为 d，记 AD=h，因圆柱轴截面 ABCD 是矩形，所以ADAB。由题设知 ，即 d=a/2。（96） ()BE:CF=1:2, DC=2DB, DB=BC, 1 分ABD 是等腰三角形, 且ABD=120,BAD=30,CAD=90, 3 分FC面 ACD, CA 是
17、FA 在面 ACD 上的射影,且 CAAD, 5 分FAAC=A, DA面 ACF，DA 面 ADF 面 ADF面 ACF. 7 分()解: V A1-AEF=VE-AA1F 在面 A1B1C1 内作 B1GA 1C1,垂足为 G.BG a/2 面 A1B1C1面 A1C, B 1G面 A1C,EBB 1,而 BB1面 A1C, 三棱柱的高为 a/2 9 分S AA1F =AA1AC/2= a2/2 10 分 V A1-AEF=VE-AA1F= a4/4 12 分（97） 解:()AC1 是正方体, AD面 DC1.又 D1F 面 DC1, ADD1F. -2 分()取 AB 中点 G,连结
18、A1G,FG.因为 F 是 CD 的中点,所以 GF、AD 平行且相等,又A1D1、AD 平行且相等,所以 GF、A1D1 平行且相等,故 GFD1A1 是平行四边形,A1GD1F. 设 A1G 与 AE 相交于点 H,则AHA1 是 AE 与 D1F 所成的角,因为 E 是 BB1 的中点,所以 RtA1AGRtABE, GA1A=GAH，从而AHA1=90,即直线 AE 与 D1F 所成角为直角. -5 分()由()知 ADD1F,由()知 AED1F,又 ADAE=A,所以 D1F面 AED.又因为 D1F面 A1FD1, 所以 面 AED面 A1FD1. -7 分（)连结 GE,GD1
19、. FGA1D1, FG面 A1ED1,天骄之路高考网AA1=2, （98） 解：（）作 A1DAC，垂足为 D，由面 A1ACC1面 ABC，得 A1D面 ABC， A 1AD 为 A1A 与面 ABC 所成的角。2 分 AA 1A 1C，AA 1A 1C，A 1AD45为所求。 4 分 （）作 DEAB，垂足为 E，连 A1E，则由 A1D面 ABC，得 A1EAB。A 1ED 是面 A1ABB1与面 ABC 所成二面角的平面角。 6 分 由已知，ABBC，得 EDBC。又 D 是 AC 的中点， BC2，AC2 ， DE1，ADA 1D ，tgA1EDA 1D/DE= 。故A 1ED60
20、为所求。 8 分 （）解法一：由点 C 作平面 A1ABB1的垂线，垂足为 H，则 CH 的长是 C 到平面 A1ABB1的距离。 10 分连结 HB，由于 ABBC，得 ABHB。 又 A1EAB，知 HBA 1E，且 BCED， HBCA 1ED60。 CHBCsin60 为所求。 12 分 解法二：连结 A1B。 根据定义，点 C 到面 A1ABB1的距离，即为三棱锥 CA 1AB 的高 h。 10 分 由 V 锥 CA 1ABV 锥 A1ABC 得 1/2SAA 1Bh1/2SABCA 1D， 即 1/32 h=1/32 ，h= 为所求。 12 分 （99）（1）解：如图，连结 DB
21、交 AC 于 O，连结 EO。底面 ABCD 是正方形 DOAC。 又ED底面 AC，EOAC 。 EOD 是面 EAC 与底面 AC 所成二面角的平面角， 2 分 EOD45。 DO(2) 1/2/2a, AC=(2)1/2a, Eo=(2)1/2asec45/2=a.故 SEAC=(2)1/2a2/2 4 分（II）解：由题设 ABCDA 1B1C1D1 是正四棱柱，得 A1A底面 AC， A1AAC。天骄之路高考网又 A1AA1B1， 1A 是异面直线 A1B1 与 AC 间的公垂线。 6 分D 1B面 EAC，且面 D1BD 与面 EAC 交线为 EO， D 1BEO。又 O 是 DB
22、 的中点， E 是 D1D 的中点， D1B2ED2a 。 异面直线 A1B1 与 AC 间的距离为(2) 1/2a。 8 分(III)解法一：如图，连结 D1B1。 D 1DDB(2) 1/2a，BDD 1B1 是正方形。 连结 B1D 交 D1B 于 P，交 EO 于 Q。B 1DD1B。 EOD1B， B 1DEO又 ACEO， ACED， AC面 BDD1B1B 1DAC B 1D面 EAC。B 1Q 是三棱锥 B1EAC 的高。 10 分由 DQPQ，得 B1Q3B 1D/43a/2。V B1EAC (1/3)(2) 1/2a2/2(3/20=(2)1/2a3/4.所以三棱锥了EAC
23、 的体积是(2) 1/2a3/4. 12 分解法二：连结 B1O，则 VB1EAC2VAEOB 1AO面 BDD1B1， AO 是三棱锥 AEOB 1 的高，AO(2) 1/2a/2在正方形 BDD1B1 中，E、O 分别是 D1D、DB 的中点（如右图） ，则 SEOB1=3a2/4. VB1-EAC=2(1/30(3a2/4)(2)1/2a/2=(2)1/2a3/4.所以三棱锥 B1EAC 的体积是 (2)1/2a3/4.12 分。（00 广东）（）证明：连结 、 和 交于 ，连结 。1ACBOC1四边形 ABCD 是菱形， ， = 。D又 = ， = ，BC111 ， B= D， ， 3
24、 分OD1但 ， 平面 。CAB,B1AC又 平面 ， 。 6 分11D（）当 时，能使 平面 。111证明一： ， ，又 ，1CCB1CDB11由此可推得 。三棱锥 是正三棱锥。 9D1D1天骄之路高考网分设 与 相交于 。 ，且 ： ：1，CA1OGAC/112O ： =2：1。又 是正三角形 的 边上的高和中线，点 是正三角形 的中心，1BDGBDC1 平面 ，即 平面 。 12 分CG1CA1B1证明：由（）知， 平面 ， 平面 ， 。 9 分A11D1当 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同 的正法可得 。1CDCABD1CAB1又 ， 平面 。 12 分BCA1B1（00 两省一
25、市）如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 O 。xyz（I）解：依题意得 B ，N ，0 , , 2 分311222N（II）解：依题意得 ，B ，C ， 。A ,00 , ,1B ,0 ， 。2 ,1B2 ,1C。 ， 51A365分 9 分cos1B301 1CBA（III）证明：依题意得 ，M ， ，12 ,02,BA12 ,MC10,2 ， 12 分BA1C 1天骄之路高考网（01 广东）解：()直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面 = ABDC)(21= 2 分43125.0四棱锥 SABCD 的体积是 4 分4311底 面SAV()延长 BA、 CD 相交于点 E，连结 SE，
26、则 SE 是所求二面角的棱 6 分 ， ， 面 ABCD，得面 SEB面 EBC， EB 是交线.又 ， 面 SEB，故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影， CS ， 所以 是所求二面角的平面角 10 分 SBCABS,1,22 ，即所求二面角的正切值为 C2（01 两省一市）天骄之路高考网（02 全国）解：（1）作 MPAB 交 BC 于点 P，NQAB 交 BE 于点 Q，连接 PQ，依题意可得 MPNQ，且 MP=NQ，即 MNQP 是平行四边形。MN=PQ 由已知， CM=BN=a,CB=AB=BE=1, 即21,aBQCPFA2aBQCP （2）)0(21)()()1()( 2
27、22 aaMN由（1） 2, 22)(2 的 长 最 小 ， 最 小 值 为的 中 点 时 ，分 别 移 动 到即 时 ，所 以 ， 当 MNBFACNMa（3）取 MN 的中点 G，连接 AG、BG，AM=AN,BM=BN，AG MN,BGMN，AGB 即为二面角 的平面角。天骄之路高考网又 ，所以由余弦定理有46BGA。故所求二面角 。 31462)()(cos22 )31arcos(（02 两省一市）解：（1）如图，以点 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 Oy 轴，以 所在直1A线为 Oz 轴，以经过原点且与平面 垂直的直线为 Ox 轴，建立空间直角坐标系。1B由已知，得 )2,
28、3(),20,(),(),0( 11 aCaaA-4 分（2）坐标系如上。取 的中点 M，于是有 ,连 有1B),(1,MCA,且)03(1aMC)2,(,1aAB由于 0011C所以， 1B面 所 成 的 角 。与 侧 面所 成 的 角 就 是与 111 ABAGAMC天骄之路高考网0111212221 21 3349,cos34390),0(),3( 所 成 的 角 为与 侧 面所 成 的 角 ， 即与所 以 ，而 ABACAMCaaAaCaMaAA（02 广东）解（1） 平面 ， 是 在面 上的射影，PBDPCDDAP 是面 与面 所成二面角的平面角，PD6而 是四棱锥 的高，Batg60 3231aVACDP（2）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面 与 PCD恒为全等三角形A作 ，垂足为 ，连结 ，则 EECE ， ，故 是面 与面 所成的二面角的平面角90F设 与 相交于点 ，连结 ，则 ACBOOaADa2在 中，E 0)2)(2)(cos EOAECAC所以，面 与面 PD所成的二面角恒大于 90
