1、七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版第五章 平面向量四 解斜三角形【考点阐述】正弦定理余弦定理斜三角形解法【考试要求】（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形【考题分类】（一）选择题（共 7 题）1.（安徽卷文 5）在三角形 中， ,则 的大小为（ ）ABC5,3,7ABCAA B C D2364解：由余弦定理 ，22371cos5232.（北京卷文 4）已知 中， ， ， ，那么角 等于（ ）AB ab60BAA B C D135904 【解析】由正弦定理得: 232,sinsi,sinisinBAAB【答案】C45ab3
2、.（福建卷理 10 文 8）在ABC 中，角 ABC 的对边分别为 a、 b、 c,若(a 2+c2-b2)tanB= ,则3ac角 B 的值为A. B. C. 或 D. 或63653解： 由 得 即2(a+c-b)tnB= ac2(+-b)3cos= inBcos= 2inB,又在中所以 B 为 或3si 4.（海南宁夏卷理 3）如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为A. B. C. D. 18542387解：设顶角为 C，因为 ，由余弦定理5,lcabc2227cos 8ab七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版5
3、.（山东卷文 8）已知 为 的三个内角 的对边，向量abc， ， ABC ABC， ，若 ，且 ，则角(31)(osin)， ， ，mmcossinabc的大小分别为（ ）AB，A B C D6， 236， 36， 3，解析：本小题主要考查解三角形问题。 ，cosin0A;2sincosi,A，2si n()siiBBC.选 C. 本题在求角 B 时,也可用验证法2C66.（陕西卷理 3） 的内角 的对边分别为 ，若A ， ， abc， ，则 等于（ ）10cbB， ， aA B2 C D6 32解：由正弦定理 ，于是1sinsin10i2 032Aac7.（四川卷文 7） 的三内角 的对边边
4、长分别为 ，若 ，ABC, ,abc5,bB则 ( )cos（） （） （） （）535456【解】： 中 故选ABC2absini2scoAB5s4B；【点评】：此题重点考察解三角形，以及二倍角公式；【突破】：应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的；在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用。（二）填空题（共 6 题）1.（湖北卷理 12）在 中，三个角 的对边边长分别为 ,则ABC,ABC3,46abc的值为 .coscosbab解：由余弦定理，原式 16396196122七彩教育
5、网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版2.（湖北卷文 12）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，已知则 A .3,0,abc解：由余弦定理可得 ,2393cos030()6caAC或3.（江苏卷 13）若 ，则 的最大值 。,BCABCS【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想设 BC ，则 AC x2x，根据面积公式得 = ，根据余弦定理得ABCS 21sin1cos2x，代入上式得224cos4=ABCS 2218416xx由三角形三边关系有 解得 ，2x2x故当 时取得 最大值 【答案】2xABCS4.（山东
6、卷理 15）已知 a， b， c 为 ABC 的三个内角 A， B， C 的对边，向量 m（）， n（cos A,sinA）.若 m n，且 acosB+bcosA=csinC，则角 B_.1,3解： m3cosi0,3siosinsin2sii()BC.65.（陕西卷文 13） 的内角 的对边分别为 ，若AC B， ， abc， ，则 26120cb， ， a2解： 由正弦定理 ，于是1sinsini 302CAac6.（浙江卷理 13 文 14）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 、b、c ，若，则 _。CaAcbos3cs解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定
7、理得：,即 ,(sin)inoBA3sincosin()siBACB七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版 3cos.A（三）解答题（共 16 题）1.（海南宁夏卷文 17）如图，ACD 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，ACB=90，BD 交 AC 于 E，AB=2。（1）求 cosCBE 的值；（2）求 AE。【试题解析】：.(1)因为 009615,BCDCBAD所以 ，015E062coscs434E(2)在 中， ，故由正弦定理得AB2,故00sin451sin915012sin62co54A【高考考点】正弦定理及平面几何知识
8、的应用【易错点】：对有关公式掌握不到位而出错。【全品备考提示】：解三角形一直是高考的重点内容之一，不能轻视。2.（湖南卷理 19）在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 且与点 A 相距 40 海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东45 2+ (其中 sin = ， )且与点 A 相距 10 海里的位置 C. 609 13（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由 .
9、解: （I）如图，AB =40 ， AC=10 ，2136,sin.BAC由于 ,所以 cos =09 2561().由余弦定理得 BC= 2cos10.ABCA所以船的行驶速度为 （海里/小时）.1053EDCBA七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版（II）解法一 如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设点 B、 C 的坐标分别是B（x 1， y2）, C（x 1，y 2）,BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有，x 1=y1= AB=40,x2=ACcos ,03cos(45)30ADy2=ACsin 1in2.C所以过点 B、
10、C 的直线 l 的斜率 k= ,直线 l 的方程为 y=2x-40.10又点 E（0，-55）到直线 l 的距离 d= |54|357.所以船会进入警戒水域.解法二: 如图所示，设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在ABC 中，由余弦定理得，22cosABC= = .2224015013从而 2910sincos.ABCABC在 中，由正弦定理得，QAQ=1042sin4.(45)ABC由于 AE=5540=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15.过点 E 作 EP BC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.在 Rt 中，PE=QEs
11、inQsinsin(45)QCABC= 所以船会进入警戒水域.51373.（江苏卷 17） 某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A，B，及 CD 的中点 P 处，已知 km, 20AB七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界） ，且 A，B10CDkm与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO，BO，OP，设排污管道的总长为 ykm。（I）按下列要求写出函数关系式： 设 ，将 表示成 的函数关系式；()BArady 设 ，将 表示成 的函数关系式。P
12、xkmx（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。【解析】本小题主要考查函数最值的应用（）由条件知 PQ 垂直平分 AB，若BAO= (rad) ，则 , 故10cosAQO，又 OP ，10cosOB10tan所以 ， 10tancosyAOP所求函数关系式为 2iy4若 OP= (km) ，则 OQ10 ，所以 OA =OB=xx22100xx所求函数关系式为 20y（）选择函数模型， 2 21cossin1sincscoiA令 0 得 sin ，因为 ，所以 = ，y2046当 时， ， 是 的减函数；当 时， ， 是 的增函,6y,40y
13、数，所以当 = 时， 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，在矩形区min103域内且距离 AB 边 km 处。34.（江西卷理 17）在 中，角 所对应的边分别为 ， ，ABC, ,abc23，求 及tant4,2A2sincosiA,B解：由 得tatan42C七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版 cosin24iC14sinco2C ，又 1s(0,)56， 或由 得 2incosiBCAsicsin()B即 s()C2()3ABC由正弦定理 得sinisinabcAB1sin2ba5.（辽宁卷理 17）在 中，内角 对边的边长分
14、别是 ，已知 ， AB， ， abc， ， 23C（）若 的面积等于 ，求 ；AB 3ab，（）若 ，求 的面积sin()2sinABC说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力满分 12 分解析：（）由余弦定理及已知条件得， ，24ab又因为 的面积等于 ，所以 ，得 4 分ABC 31sin3Cab联立方程组 解得 ， 6 分24ab， 2ab（）由题意得 ，sin()si()4sincoBAA即 ， 8 分sico2co当 时， ， ， ， ，0A63a2b当 时，得 ，由正弦定理得 ，cssiniBAa联立方程组 解得 ， 24ab
15、， 34所以 的面积 12 分ABC 12sinSC6.（辽宁卷文 17）在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ， AB， ， abc， ， 2七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版3C（）若 的面积等于 ，求 ；AB 3ab，（）若 ，求 的面积sin2iABC解：（）由余弦定理得， ，24又因为 的面积等于 ，所以 ，得 4 分C 31sin3ab4ab联立方程组 解得 ， 6 分24ab， 2（）由正弦定理，已知条件化为 ， 8 分ba联立方程组 解得 ， 2ba， 34所以 的面积 12 分ABC 12sin3SbC7.（全国卷理
16、17）设 的内角 所对的边长分别为 ，且AB ， ， abc， ，3cos5abc（）求 的值；tnt（）求 的最大值()解析：（）在 中，由正弦定理及ABC 3cos5aBbAc可得 3sincosicsini()sinosin5BA即 ，则 ；4tt4A（）由 得tata023t()1n1tncotanABBB 4当且仅当 时，等号成立，4tcot,故当 时， 的最大值为 .a2,ta()8.（全国卷文 17）设 的内角 所对的边长分别为 ，且ABC ， ， abc， ， cos3Bsin4b（）求边长 ；（）若 的面积 ，求 的周长 10S l七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新
17、高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版22CDABCDbsinA=4,Bacos3,a=+511 3S=0, =,cosB53bcaos22055105解 ： 过 作 于 ， 则 由 在 直 角 三 角 形 中 ， 由 面 积 又 再 由 余 弦 定 理 得 ： 周 长 为 。9.（全国卷理 17）在 中， ， ABC 5cos134cosC（）求 的值；sin（）设 的面积 ，求 的长 2ABCS解：（）由 ，得 ，由 ，得 5cos13sin134cos53sin5所以 5 分sini()coi6AC（）由 得 ，2BCS s2A由（）知 ，故 ， 8 分3si655又 ，故 ，
18、n0i1A263B13A所以 10 分s2BC10.（全国卷文 17）在 中， ， C 5cos1cos（）求 的值；sin（）设 ，求 的面积5BAB解：（）由 ，得 ，co132sin3由 ，得 2 分3s4sin所以 5 分16i()icossi5CABAB（）由正弦定理得 8 分4in32s1C所以 的面积 10 分AB 1i2SBA1653811.（上海卷理 17）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 的扇形 AOB，小区的两个出20七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版入口设置在点 A 及点 C 处，且小区里有一条平行于 BO 的小
19、路 CD，已知某人从 C 沿 CD走到 D 用了 10 分钟，从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟，若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径 OA 的长（精确到 1 米）【解析】解法一 设该扇形的半径为 米，连接 . 2 分rO由题意，得 (米)， （米） ，50C304 分6O在 中， 6 分D2 2cos6DC即， 9 分2 150(3)50(3)rrr解得 （米）491答：该扇形的半径 的长约为 445 米. 13 分OA解法二 连接 ，作 ，交 于 ， 2 分CHCH由题意，得 （米） ，50D（米） ， 4 分3A12在 中，22cos0A.25035037（米） .
20、 6 分7AC. 9 分221cos 4DCA在直角 中， （米） ， ，HO3501cos4HAO（米）.9cos1答：该扇形的半径 的长约为 445 米. 13 分A12.（上海卷文 17）如图，某住宅小区的平面图呈扇形 AOC小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为 已知某人从 沿 走到ADC， 120 CD用了 10 分钟，从 沿 走到 用了 6 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该D扇形的半径 的长（精确到 1 米） O【解法一】设该扇形的半径为 r 米. 由题意，得CD=500（米） ， DA=300（米） ，CDO= 4 分0在
21、 中， 6 分C2 2cos6,COCAODBC1200OCAAODBCH七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版即 .9 分22 21503503,rrr解得 （米）. .13 分491【解法二】连接 AC，作 OH AC，交 AC 于 H2 分由题意，得 CD=500（米） ，AD =300（米） ， .4 分012D22 2, cos5035037,ACD在 中 AC=700（米） 6 分.9 分221cos .4ACDC在直角 ,350,cos0,HOHA中 （ 米 ） （米）. 13 分9cos1A13.（重庆卷理 17）设 的内角
22、A， B， C 的对边分别为 a,b,c，且 A= ， c=3b.求：60（） 的值；ac（）cot B +cot C 的值.解：（）由余弦定理得 22221177cos() .393aabAccA（）解法一： inosisin()sint ,BCBCAB由正弦定理和（）的结论得227sin11439.si 93cAaBb故 43cot.9C解法二：由余弦定理及（）的结论有22271()593cos .7cabBAH1200OCA七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版故 253sin1cos1.827B同理可得22 19cs ,3cabCA2
23、1sin1cos.827从而 543cot 3.siin9BC14.（重庆卷文 17）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c.已知 ，223abc求：（）A 的大小;（） 的值.2sincosi()BC【解析】本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、余弦定理等基本知识。以及推理和计算能力。三角函数的化简经常用到降幂、切化弦、和角差角公式的逆向应用。【答案】()由余弦定理， 22cos,abA3cos,2.6bA故所 以() 2sincosi()BCncosin)iis()n1i.2BCA15 （四川延考理 17）在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知BC, ,abc。2
24、2acb（）若 ，且 为钝角，求内角 与 的大小；4BAA七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新高中试卷、初中试卷免费下载，全部 word 版（）若 ，求 面积的最大值。2bABC解：（）由题设及正弦定理，有 。222sinisin1CB故 。因 为钝角，所以 。22sincosCcoA由 ，可得 ，得 ， 。()4Asii()485（）由余弦定理及条件 ，有 ，故 。221()bac2osacBosB12由于 面积 ，BCsincB又 ， ，ac21()4i32当 时，两个不等式中等号同时成立，所以 面积的最大值为 。ABC134216 （四川延考文 17）在 中，内角 ， ， 对边的边长分别是 ， ， ，已知ABBCabc22acb（）若 ，且 为钝角，求内角 与 的大小；4B（）求 的最大值sin解：（）由题设及正弦定理，有 222sinisin1ACB故 因为 为钝角，所以 22sicosCcoA由 ，可得 ，得 ， ()4Asii()485（）由余弦定理及条件 ，有 ，221(bac2oacB因 ，所以 故 ，2acos3sin2当 时，等号成立从而， 的最大值为 iB
