1、课例 6第一步 出示课例教学目标（1） 掌握函数奇偶性的定义（2） 会用定义判断简单的函数奇偶性【点评：这里没有用“使学生掌握” 、 “使学生会用”的通常的字眼，反映了对学生学习的主体地位的承认，反映了教法与学法的结合，反映了教学观念的转变。 】重点难点（1） 理解函数奇偶性概念的本质特征；（2） 掌握函数奇偶性的判别方法（3） 培养驾驭知识、解决问题的能力。教学方法分析比较，讲练结合教学过程1、 定义的引进教师：我们已经学过好几种函数。有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数和幂函数，对每一种函数我们都结合图像研究了他的具体性质，主要有定义域、值域、增减性、对称性、特殊点（如与坐标轴的交
2、点，最高、最低点，不变点等）等。这些函数之间有些性质是共同的，上一节课我们就研究了一般函数的一个重要性质，叫做什么呢？学生：（齐）函数的单调性教师：对，函数的单调性，它反映了函数在某个区间上增大或减小的性质。注意，与初中“通过函数看性质”不一样，这一次我们是通过函数的对应关系 f 的性质来刻划单调性的。还记得我们是怎样定义增函数、减函数的吗？能举出一些例子来说明它吗？（提问）学生一：（叙述增函数的定义，略）举出增函数的例子：（1） 正比例函数 ()=2（2） 幂函数 ()=3学生二：（叙述减函数的定义，略） 。举出减函数的例子：（3） 一次函数 ()=2+1教师：对，这两个同学回答的很好，我还
3、有一个问题要问，下面两个函数：（4） 反比例函数()=1（5） 二次函数 ()=2+1在其定义域内的单调性如何？学生 3：既不是增函数也不是减函数。教师：那怎么研究它的单调性？学生 3：分区间讨论教师：为什么可以分区间讨论？学生 3：因为函数增减性的定义是与指定的区间有关的，函数在整个定义域内没有单调性，但在分段区间上可能有某种增减性。教师：对！并且对同一函数而言，不同的区间上可能会有不同的增减性，好，请你们分区间说明上述反比例函数（4） 、二次函数（5）的增减性。学生 3：反比例函数 分别在 上是减函数；()=1 (,0),(0,+)二次函数 在 上是增函数，在 是增函数。(,0) (0,+
4、)教师：很好。上述个函数的增减性，可以从其图像上直观显示出来（图 1-16）点评：这里及时复习又是引进，复习不是简单重复，引进不是生硬塞入，所列出的 5 个函数，恰好包括了函数的奇偶性的 3 种类型：奇函数、偶函数、既非奇函数又非偶函数。这反映了教师驾驭教材、驾驭教学的能力，是照本宣科、背诵教案所办不到的。请注意，这些图形不仅显示了增减性，而且还显示了其他特征，尤其是有一种我们初中就学过的优美的对称性中心对称和轴对称。那么，我们是否也像描述函数的单调性一样，通过函数的对应关系来刻划这种性质呢？（稍事停顿）这正是这节课的中心任务。问题在于，怎样描述这种刻划？更具体一些就是，怎样通过函数值的特征来
5、刻划函数的对应关系的性质呢？首先我们注意到自变量的对应性可以用 x 与其相反数-x 来表示，这导致我们去考察相应的 f(x)与 f（-x）的关系。我请几个同学来计算一下上面几个函数中，当自变量去相反数时，相应函数值有什么特点。 （5 个学生上黑板板演）学生 4：（1）f(x)=2x 时，f(-x)=2(-x)=-2x,有 f(-x)=-f(x)学生 5：（2）()=3时 ， ()=()3=3,有 ()=().学生 6： (3)()=2+1时 ， ()=2()+1=2+1.看不出 有什么关系。 （和恒为 2？）()和 (）学生 7： （4） ()=1时 ， ()=1=1，有 ()=().学生 8
6、：(5)()=2+1,()=()2+1=2+1,有 ()=().教师:大家的运算都对了。值得重视的是，当函数的自变量取相反数后，有的函数成立着相等关系()=()或 ()=()这反映了函数的一条重要性质，我们称为函数的奇偶性，这是本节所要学习的主要内容。 （大笔板书：函数的奇偶性，并出示函数奇偶性的定义）定义：（1）如果对于函数 f（x）定义域内的任意一个 x 都有,那么函数 f（x）叫做奇函数。()=()（2）如果对于函数 f（x）定义域内的任意一个 x 都有，那么函数 f（x）叫做偶函数。()=()点评：这一引进过程，通过从具体到抽象的提炼，通过从单调性研究方法到奇偶性的研究方法的迁移，尤其
7、是通过学生的积极参与，使得突出了知识的发展过程，体现了能力的培养。同时，教师的主导地位在这里也是体现的非常显著的，从单调性到奇偶性的自然过渡，对奇偶性与就知识的联系的 纵横描述，以及为什么考察 f(x)和 f(-x)的必要分析，都体现了教师作为管理者、指挥者的责任、义务和权力。我们见到过一些低层次的“启发“式：写出几个函数，然后请学生计算 f(-x)，并观察与 f（-x ）是否相等，这种处理恰好回避了最关键、最实质、学生最想知道的问题：为什么要计算 f（-x）？为什么想去计算 f（-x ）?情况就想把学生塞进公共汽车，并美其名曰自己来到了目的地，其实学生的被动接收状态和附庸的地位一点也未改变。
8、2、 定义的理解教师：函数的奇偶性的定义，有两句话组成，一句话描述自变量。一句话描述函数值。各用了一个关键的字眼：“任何(一个 x)“都有” （一个恒等式） ，这两个关键词都要真正的理解知道吗？学生：（齐）知道！教师：理解吗？学生：（齐）理解！教师：好！现在问，这两句话中，那一句话对函数性质的刻划更实质？对我们掌握这个概念更重要？学生 9：我想是第二句 “都有 ”与“都有()=()”()=()教师：对，为了判断一个函数是佛具有奇偶性，我们要去验证等式 是否成立；反过来。若已知函数的奇偶性，便有上述恒等式成立。现在我们就根据这个标准来判别上列五个函数的奇偶性。学生 10： f(x)=2x 为奇函
9、数学生 11： 为奇函数()=3学生 12： 的奇偶性不知道()=2+1教师：是不知道怎么判别它还是判别之后不知道怎么下结论？学生 12：我验证了， f(-x) 既不恒等于 f(x)，又不恒等于 f(x) ，因此，不知道他叫做什么函数。教师：哦！明白了，你是验证之后不知道怎么称呼他，这是老师的问题，因为老师还没有给它起名字（有学生笑了） ，所以，你也就不知道怎么叫他了。好， 既不是奇函数，也不是偶函()=2+1数，我们就叫它非奇非偶函数吧，下面继续判别第（4） 、 （5 ）个函数。学生 13： 是奇函数。()=1学生 14： 是偶函数()=2+1教师：下面我们来讨论下一个更深入的问题，函数(6
10、) ()=22+2+1的奇偶性如何？学生 15：既不是奇函数也不是偶函数教师：为什么？学生:因为 与 -f(x) 及 f(x) 的表达式都不一样()=222+1,教师：其它同学的意见呢？学生 16：是奇函数，因为()=2(+1)+1 =2它就是我们上面说的第（1）个函数 ，所以是奇函数。()=2教师：好，我理解你的意思：因为函数（6）与函数（1 ）是同一个函数，而函数（1）是奇函数，所以函数（6 ）也是奇函数是这样吗？学生 16：是的。教师：现在我们有两个意见，一个说非奇非偶函数，一个说奇函数，你们大家独立思考，畅所欲言。学生 17：函数（6）与函数（1）不是同一函数，因为它们的定义域不尽相同
11、。（1） 的定义域是全体实数。（2）()=2(+1)+1 =2 应 有 1但是，我拿不稳定义域的这一点微小变化是否影响函数的奇偶性。学生 18：我同意是奇函数，既然后者的定义域在前者的范围内，那么，全体所具有的性质在它的部分上也一定成立。学生 19：我不认为是全体和部分的关系，判别 的()=2(1)奇偶性应根据定义。教师：大家的发言很踊跃，很好。需要指出的是，到目前为止。除定义之外，我们还没有别的办法，及时以后有了更多的方法，也需要通过定义来证实它的正确性，请全体同学都用定义来验证一下函数 的奇偶性。()=2(1)点评：既要有学生的思想交锋，又要有教师的宏观指导，看准火候，及时点拨，点到要害处
12、、拨到关节上，这既是一种能力，又是一种艺术。学生 20：我验证的结果是：除 x=1 之外，其余的情况下都是()=()教师：那么，把 x=1 除外与定义中的“任意 ”一个 x 相符不相符？学生（齐）：不相符教师：与定义中的“任意” 、 “都有”相符不相符？学生（齐）：不相符教师：那他是奇函数吗？学生：（齐）不是教师：会是偶函数吗？学生：（齐）更不是。教师：所以函数（6）既不是奇函数也不是偶函数。（然后，提问学生 15 和 16，明白了吗？都回答：明白了）点评：这个例子不仅强调了定义中的定义域，而且是对奇偶性概念的反面理解，一箭双雕。教师：由上面的讨论我们可以看到，虽然函数奇偶性定义中最本质的是恒
13、等式 但这有一个前提，即 f(x)与 f(-x)同时()=()有定义，也就是 x 与-x 同时属于函数 f(x)的定义域，由此，可以得出一个简单推论。 （出示推论全文）推论：奇函数、偶函数的定义域在 x 轴上对应的点集关于原点对称。（但是不一定是对称区间）教师：现在我们继续讨论下一个问题。按照定义，有的函数为奇函数，有的函数为偶函数，还有的函数为非奇非偶函数，那么，有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？点评：数学思维中最积极的成分是问题，不断地提出问题，不断地解决问题，这是数学教学的灵魂。教师：这是一个探索性的问题，我们可以先假设某一个函数具有这样的性质，然后推到，看看得出的是一个合理的结论还是
14、一个矛盾的结论。我们一起来做。若函数 f(x)为奇函数，应有 ()=()若函数 f(x)又是偶函数，又应有 ()=()两式同时成立，可解出 ()0反之，若函数 f(x)恒等于 0，且定义域关于原点对称，当然有()=0=()()=0=()同时成立，按定义，f(x)及是奇函数又是偶函数。点评：下文准备好了既是奇函数又是偶函数的例子教师：以上，我们对函数的定义进行了字面上的理解，领悟了它的实质内容，分析了定义域的结构，也明白了按照函数奇偶性的定义，函数将被分成 4 类(图 1-17)：A：是奇函数而不是偶函数；B：是偶函数而不是奇函数；C：既是奇函数又是偶函数；D：既不是奇函数又不是偶函数；当然，这
15、些理解还不是我们对奇偶函数的全部认识，下节课我们要从几何意义上继续理解，但是，目前的初步理解，已足以给出函数的奇偶性和判别方法。 （出示判别方法）3、 函数奇偶性的判别方法根据函数奇偶性的定义和上面的理解，可以总结出判别函数奇偶性的 4 各步骤：第一步：求函数定义域，目的在于确定当函数 f(x)有定义时，f(-x)是否有意义，若 f(-x)无定义，当然既不是奇函数也不是偶函数。 （如函数（6） ）第二步：计算 f(-x)第三步：判别 f(-x)与 f(x)或-f(x)是否有恒等关系。若有，相当于证明了一个恒等式；若无，举一反列即可否定；第四步：下结论，即指明是上述 A、B、C、D 四类函数中的
16、某一类。这四部中，最实质性的步骤是第三步。点评：在这一教学过程中，教师通过设问、启发、引导、讨论，让学生参加了知识的发生过程，把握了概念的实质，并且提炼出程序、操作性方法，学生的认识水平获得了气高，学习方法得到了锻炼，这实际上即使教学内容又是教学方法，既教数学解题的方法，又教数学认识的方法。例 1 判断下列函数的奇偶性（1） ()=3+13;（2） ()=24+32;（3） ()=+1（4） ()= 12+21;（5） ()=()=解：（1）函数的定义域为 (,0)(0,+),对 0,有()=()3+()13=313=(3+13),即 ()=()所以 为奇函数。()=3+13第（2）题，请一名
17、学生口述解答过程。第（3） 、 （4） 、 （5）小题请三位学生上黑板板演。点评：这是第一次正式做函数奇偶性的题目，教师必须首先做出书写格式的示范，否则学生无本可依，会造成“胡写乱画“的后果，以后再纠正就难了。但教师不用独角戏唱到底。看看学生的板演，然后针对性的在作出修订与讲评是一种恰当的安排。第（3）小题，因为 ,()=+1有 ()+1且 ()()所以 不是奇函数也不是偶函数()=+1点评：其实有一点 x0 破坏恒等式就够了。第（4）小题，由开平方非负，知由 120 2102=1定义域为-1,1，这时()= 12+21=0有 ()=()=0 ,()=()=0 1,1所以， 既是奇函数又是偶函
18、数()= 12+21第（5）题，函数的定义域为 R当 a=0 时，f(x) 既是奇函数又是偶函数；当 a 不等于 0 时，f(-x)=a=f(x)是偶函数（教师在规范地订正板演后，提出一个问题让学生课后思考，由上面的例子请你猜想，对奇偶函数做加减乘除运算后，齐奇偶性如何？4、 深化提高（沟通函数奇偶性与函数单调性的联系，揭示函数奇偶性对函数性质研究的作用）例 2 已知 f(x)是奇函数，而且在 上是增函数，f （x ）（ 0， +）在 是增函数还是减函数？（ ， 0）教师：我们先来分析题意，探索思路。为了考察函数在 （ ， 0）上的增减性，我们需要对满足 的(2），但 (1)=(1)， (2)
19、=(2）只需证 0(2）由和成立知，整个证明的思路已经打通。奇函数的定义 增函数的定义 (书写略 ) 教师：有这个例子我们可以看到函数奇偶性的一个应用。为了研究函数在 的性质，由奇偶性，可以转移到 上的性质。于是，对奇偶函数而言，为了研究其再定义域上的种种性质，只需研究其在 上（常常是在第一象限）的性质，这就达到了化难为易，化繁为简的目的。上面关于幂函数的研究，已经使用了这种构想。点评：这一点拨，反映了对教材内容的实质理解和思想方法上的自觉提炼，为什么年年备课，有的教师常备常新，有的教师“十年一贯制” ，关键就在于能否透过字面看出内容的实质，能否通过实质的把握提炼出观点与思想。5、 小结上面，
20、我们讲了函数奇偶性的定义，总结了判别函数奇偶性的方法，同时也看到了它的初步应用，在概念方法应用当中，方法是本节课的重点，同学们要真正掌握如何判别奇偶函数的全过程，这个方法可以叫做定义法，随着学习的深入，将还会有更多的方法。现在，我们翻开课本 40 页，回答练习第一题（过程略） ，其中第 2 题恰好提供了记忆、区别奇函数与偶函数的一个辅助方法 中的奇次方时为奇函数，偶次方时为偶函数。作业：42 页 8、10 题补充思考题（1） 若 f(x)为奇函数，且 x=0 时有定义，则 f(0)的值为多少？（2） 判别函数 的奇偶性()=123(12)（3） 在关于原点对称的公共定义域上，奇偶函数的和、差、商、积的奇偶性如何？重点思考题 （1） 从本节课例及点评中分析常规教学的基本结构。 、（2） 结合函数奇偶性定义的教学，分析定义教学的一般过程。（3） 本课例中如何调动学生参与的？（4） 谈谈你想谈的任何体会，谈谈你想提的任何问题。
