1、吉林五中奥赛培训八年级（上）染色与赋值2019-7-29- 1 -例 1 用 15 个“T”字形纸片和 1 个“田”字形纸片（如下图所示），能否覆盖一个88 的棋盘？解：如图，将 88 的棋盘染成黑白相间的形状。如果 15 个“T”字形纸片和 1 个“田”字形纸片能够覆盖一个 88 的棋盘，那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是 32 个，但是每个“T”字形纸片只能覆盖 1 个或 3 个白格，而 1 和 3 都是奇数，因此15 个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖 2 个白格，从而 15 个“T”字形纸片与 1 个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数，这与 32是
2、偶数矛盾，因此，用它们不能覆盖整个棋盘。例 2 如左下图，把正方体分割成 27 个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的 6 个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有的正方体吗？解：甲虫不能走遍所有的正方体。我们如右上图将正方体分割成 27 个小正方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。显然，在 27 个小正方体中，14 个是黑的，13 个是白的。甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色。故它走 27 步，应该经过 14 个
3、白色的小正方体、13 个黑色的小正方体。因此在 27 步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次。由此可见，如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小正方体。例 3、 88 的国际象棋棋盘能不能被剪成 7 个 22 的正方形和 9 个 41 的长方形？如果可以，请给出一种剪法；如果不行，请说明理由。 解：如下图，对 88 的棋盘染色，则每一个 41 的长方形能盖住 2 白2 黑小方格，每一个 22 的正方形能盖住 1 白 3 黑或 3 白 1 黑小方格。吉林五中奥赛培训八年级（上）染色与赋值2019-7-29- 2 -推知 7 个正方形盖住的黑格总数是一个奇数，但图中的黑格数为
4、 32，是一个偶数，故这种剪法是不存在的。例 4 在平面上有一个 2727 的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好 81 枚棋子，它们被摆成一个 99 的正方形。按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这枚棋子取出来。问：是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？解：如下图，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。按照游戏规则，每走一步，有两部分中的棋子数各减少了一个，而第三部分的棋子数增加了一个。这表明每走一步，每个部分的棋子数的奇偶性都要改变。因为一开始时，81 个棋子摆成一
5、个 99 的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，故每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为偶数，而另一部分的棋子数为奇数，这种结局是不可能的，即不存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。例 5 有一批商品，每件都是长方体形状，尺寸是 124。现在有一批现成的木箱，内空尺寸是 666。问：能不能用这些商品将木箱填满？解：我们用染色法来解决这个问题。先将 666 的木箱分成 216 个小正方体，这 216 个小正方体，可以组成 27 个棱长为 2 的正方体。我们将这些棱长为 2 的正方体按黑白相间涂上颜色（如下图）。容易计
6、算出，有 14 个黑色的，有 13 个白色的。现在将商品放入木箱内，不管怎么放，每件商品要占据 8 个棱长为 1 的正方体的空间，而且其中黑、白色的必须各占据 4 个。现在白色的小正方体共有 813=104（个），再配上 104 个黑色的小正方体，共可以放 26 件商品，这时木箱余下是 8 个黑色小正方体所占据的空间。这 8 个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是容不下这件商品。因此不能用这些商品刚好填满。例 6 下面的表 1 是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同时改变，或者使某一列四个字母同时改变。改变的规则是按照英文字母的顺序，每个英文吉林五中奥赛培训八年级（上
7、）染色与赋值2019-7-29- 3 -字母变成它的下一个字母（即 A 变成 B，B 变成 CZ 变成 A）。问：能否经过若干次操作，使表 1 变为表 2？如果能，请写出变化过程，如果不能，请说明理由。解：不能。将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即 A 用 1，B 用2Z 用 26 代替）。这样表 1 和表 2 就分别变成了表 3 和表 4。每一次操作中字母的置换相当于下面的置换：12，23，2526，261。19 15 2 18/20 26 6 16/8 15 3 14/1 4 22 24/表 311 2 4 19/8 5 24 7/18 20 2 19/3 6 25 1/表
8、4容易看出，每次操作使四个数字改变了奇偶性，而 16 个数字的和的奇偶性没有改变。因为表 3 中 16 个数字的和为 213，表 4 中 16 个数字的和为 174，它们的奇偶性不同，所以表 3 不能变成表 4，即表 1 不能变成表 2。例 7 平面上 n（n2）个点 A1，A2，An 顺次排在同一条直线上，每点涂上黑白两色中的某一种颜色。已知 A1 和 An 涂上的颜色不同。证明：相邻两点间连接的线段中，其两端点不同色的线段的条数必为奇数。证明：赋予黑点以整数值 1，白点以整数值 2，点 Ai 以整数值为 ai，当 Ai 为黑点时，ai=1，当 Ai 为白点时，ai=2。再赋予线段 AiAi
9、+1 以整数值 ai+ai+1，则两端同色的线段具有的整数值为 2 或 4，两端异色的线段具有的整数值为 3。所有线段对应的整数值的总和为（a1a2）（a2a3）（a3a4）（an-1an）a1an2（a2a3an-1）212（a2a3an-1）奇数。设具有整数值 2，3，4 的线段的条数依次为 l，m，n，则 2lm4n=奇数。由上式推知，m 必为奇数，证明完毕。练习1.中国象棋盘的任意位置有一只马，它跳了若干步正好回到原来的位置。问：马所跳的步数是奇数还是偶数？答：偶数。解：把棋盘上各点按黑白色间隔进行染色（图略） 。马如从黑点出发，一步吉林五中奥赛培训八年级（上）染色与赋值2019-7-
10、29- 4 -只能跳到白点，下一步再从白点跳到黑点，因此，从原始位置起相继经过：白、黑、白、黑要想回到黑点，必须黑、白成对，即经过偶数步，回到原来的位置。2.右图是某展览大厅的平面图，每相邻两展览室之间都有门相通。今有人想从进口进去，从出口出来，每间展览厅都要走到，既不能重复也不能遗漏，应如何走法？答：不能。解：用白、黑相间的方法对方格进行染色（如图） 。若满足题设要求的走法存在，必定从白色的展室走到黑色的展室，再从黑色的展室走到白色的展室，如此循环往复。现共有 36 间展室，从白色展室开始，最后应该是黑色展室。但右图中出口处的展室是白色的，矛盾。由此可以判定符合要求的走法不存在。3.能否用下
11、图中各种形状的纸片（不能剪开）拼成一个边长为 99 的正方形（图中每个小方格的边长为 1）？请说明理由。答：不能。解：我们将 9999 的正方形中每个单位正方形方格染上黑色或白色，使每两个相邻的方格颜色不同，由于 9999 为奇数，两种颜色的方格数相差为 1。而每一种纸片中，两种颜色的方格数相差数为 0 或 3，如果它们能拼成一个大正方形，那么其中两种颜色之差必为 3 的倍数。矛盾！4.用 15 个 14 的长方形和 1 个 22 的正方形，能否覆盖 88 的棋盘？ 答：不能。解：如图，给 88 的方格棋盘涂上 4 种不同的颜色（用数字 1，2，3，4 表示） 。显然标有 1，2，3，4 的小
12、方格各有 16 个。每个 14 的长方形恰好盖住标有 1，2，3，4的小方格各一个，但一个 22 的正方形只能盖住有三种数字的方格，故无法将每个方格盖住，即不可能有题目要求的覆盖。5.从 10 个英文字母 A，B，C，D，E，F，G，X ，Y ，Z 中任意选 5 个字母（字母允许重复）组成一个“词” ，将所有可能的“词”按“字典顺序” （即英汉辞典中英语词汇排列的顺序）排列，得到一个“词表”：AAAAA，AAAAB，AAAAZ，AAABA，AAABB，ZZZZY，ZZZZZ。设位于“词”CYZGB 与“词”XEFDA 之间（这两个词除外）的“词”的个数是 k，试写出吉林五中奥赛培训八年级（上）染色与赋值2019-7-29- 5 -“词表”中的第 k 个“词” 。 答：EFFGY。解：将 A，B，C，D，E，F，G，X ，Y ， Z 分别赋值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，则 CYZGB=28961，_XEFDA=74530。在 28961 与74530 之间共有 74530-28961-1=45568（个）数，词表中第 45568 个词是 EFFGY。
