1、离散数学练习福建农林大学东方学院2009 2010 学年第一学期第一篇 数理逻辑一、填空题及单项选择题：1、设解释 为：客体城 ，I3,2D01)3,()2,()3,(),(,)(,32 PPffba则 ， 。)(,)(,fPf (,)xy2、公式 的主析取范式为 。GQR3、下列命题等值式正确的是 【 】（A） ； （B） ；)()(PP)()(QPQ（C） ； （D） .Q4、设命题公式 ，则 是 【 ()()GG】（A）可满足的； （B）永真的； （C）永假的； （D）析取范式5、前提 与 的有效结论是 【 ()xP()()xQ】（A） ； （B） ；() ()xQ（C） ； （D） 。
2、.xP ()Px二、解答题：1、 将下列命题符号化：（1） 明天不下雨又有空的话，我就会去打球。（2） 只要她生病了，我都会去看她（只有她生病了，我才会去看她） 。（3） 每个旅客或坐头等舱或坐二等舱。（4） 有些汽车比任何火车都慢，但并非所有的汽车都比火车慢。2、 求公式 的主合取范式和主析取范式，并求使 取值为()GPQRG真的所有指派。练习第 1 页（共 6 页）三、逻辑推理题1、用演绎法证明：P（ QR） ， S P， Q, R S.（应注明每一步推理所采用的推理规则） 。2、找出下列推导过程中的错误，并问结论是否有效？如果是，写出正确的推导过程。（1） 规则 （前提引入）)(xQPx
3、P（2） (1) )y（3） 规则 （前提引入）(（4） (3) ) （5） (2),(4)假言推理(yQ（6） (5) )x3、有红、黄、绿、白四队参加足球联赛，如果红队第三，则当黄队不是第二时，绿队第四。或者白队不是第一，或者红队第三。已知绿队不是第四。试证明：如果白队第一，那么黄队第二。（要求：设 ：白队第一； ：黄队第二； ：红队第三； ：绿队第四。并写出前PQRS提和结论的符号化及推理过程。 ）第二篇 集合论一、填空题及单项选择题：1、 设 是集合 上的二元关系，且 ，则R,cbaA),(cabR， 。)(s )(ts2、 设 是 上的二元关系，且,dc，则 的关系矩阵)(),(,a
4、abRRRA3、偏序关系应具有的性质为 。4设 N、Z、Q、R 和 C 分别为自然数、整数、有理数、实数和复数集合， （0，1）为实数区间，则下列式子正确的是 【 】（A） ； （B） ； （C） ； （D） .NRQNQ(0,1)Z5设 N、R 分别为自然数和实数集合，则下列基数关系式正确的是 【 】（A） ； （B） ； （C） ； （D）card02Ncard02Ncr练习第 2 页（共 6 页）6按照阶从低到高的次序排列，则下列排列次序正确的是 【 】（A） ； （B） ；2,log,n 2lg,()nn（C） ； （D） ol,二、解答题1、设集合 ， 为 上的整除关系 ，试求：12
5、,RA（1）画出偏序集 的 Hasse 图；)(（2）写出 中的最大元、最小元、极大元、极小元；A（3）写出 的子集 的上界、下界及上、下确界。9,63B2、 （自然映射问题）习题八（P162）第 16 题。 （屈婉玲离散数学 ，下同）设 ，R 为 上的等价关系，且,abc,AabI求自然映射 。:/gA3、 （计数问题）习题六（P99）第 21，23 题。（1）某班有 25 个学生，其中 14 人会打篮球，12 人会打排球， 6 人会打篮球和排球，5 人会打篮球和网球，还有 2 人会打这三种球。已知 6 个会打网球的人都会打蓝球或排球。求不会打球的人数。（2）使用包含排斥原理求不超过 120
6、 的素数个数。三、证明题1、设 是非空集合 上的等价关系，试证 的逆关系 也是 上的等价关系。RARA2、设 是非空集合 上的偏序关系，试证 的逆关系 也是 上的偏序关系。3、设（0，1）和0，1为实数区间，证明： (0,1),*第三篇 代数系统一、填空题及单项选择题：1、设 ，且 ， ， ，6,S)1(312645634125则 = ， 的阶= 。2、设 ，运算 是按位加，则群 的子群有 个，非平,0,G),(G凡子群有 个，2 阶子群有 个。3、整数集 对于普通减法来说作成一个代数系统 ，则 【 】Z,Z,（A）是半群但没有单位元； （B）含有单位元；（C）有右单位元，但没有左单位元； （
7、D）有左单位元，但没有右单位元。练习第 3 页（共 6 页）4、设 ， 为模 3 乘法，即 ，0,12S,()mod3xySxy则代数系统 【 】（A）是可换群； （B）是群但不是可换群；（C）是半群但不是独异点； （D）是独异点。*5、设 是布尔代数， ，若 ，则下面不成立的公式是 【 )1,0,(Bba,b】（A） ； （B） ； （C） ； （D） 。ba10ab*6设 是整数集， 分别是普通加法和减法； 是非空集合，则 【 】I, A（A） 是格； （B） 不是格；),( ),2(（C） 不是格； （D） 和 是同一个格。2 ),(A二、解答题1、设 ， ，试列出 中的所有函数，并给出
8、 上合成运算的运算表。0,AASSS2、设在实数集 上有运算*如下： 。RRbaba,（1）求代数系统 的单位元 和零元 ；),(e（2）求出元 的逆元 。 中每一个元都有逆元吗？为什么？1a1),(R（3） 是群吗？若 ，则 是否为群？为什么？),(R*,*3、已知 3 次对称群 ，若3(1)2,3)(,12)(3S。(1),23()H（1）试验证 是 的一个正规子群；3S（2）求出子群 的所有左陪集及 在 的指数 ；(12)KK3S3:K（3）求出 的子群格，并画出它的偏序图。3三、证明题1、设（G，*）是群，aG，定义映射 f： G G，使 1(),fxaxG证明 f 是（G，*）的自同
9、构。2、设 G 是群，若 有 ，证明 G 为阿贝尔群。2e练习第 4 页（共 6 页）第四篇 图论一、填空题及单项选择题：1、邻接矩阵为 的有向图中，长度为 2 的非回路的路有 条，012长度为 2 的回路有 条。2、树叶权为 1，2，3，4，5 的最优树为。3、 具有 5 个结点的所有不同构的树为4、在下列的各种顶点度序列中可图解但不可简单图解的是 【 】（A） ; （B） ; （C） ; （D）(3,1)(5,321)d(1,)d2d5、二分图 也是 【 3,K】（A）欧拉图; （B）哈密尔顿图 ; （C）平面图; （D）完全图。6、下图是 【 】（A）Bipartite Graph; (
10、B)Planar Graph; （C）Eller Graph; (D)Hamilton Graph二、计算题1、设图 G 为平面图，它的边数是区域数的 2 倍，并且有一个 6 次顶点，四个 3 次顶点，三个 2 次顶点，其余顶点都是 1 次的。试求图 G 的顶点数、边数和区域数。2、一棵树有 2 个 2 次分枝点，1 个 3 次分枝点，3 个 4 次分枝点，其余顶点都是树叶，问这棵树有几片树叶？3、 设有无向图 ，其中 ，而 的邻接矩阵),(EVG,)(521aG练习第 5 页（共 6 页）， 0101A且当 时，边 的权数为 。试画出图 ，并求)(,(GEaji),(jia)5,2,(ji
11、G图 的一个最小生成树及最小生成树的权数。三、应用及证明题：1、 （哈米尔顿回路问题）习题十五（P306）第 15 题。某工厂生产由 6 种颜色的纱织成的双色布。已知在一批双色布中，每种颜色至少与其他 3 种颜色相搭配。证明可以从这批双色布中挑出 3 种，它们由不同颜色的纱织成。2、 （最短路问题）习题十五（P307）第 22 题。某工厂使用一台设备，每年年初要决定是继续使用，还是购买新的。预计该设备第一年的价格为 11 万元，以后每年涨 1 万元。使用的第 1 年，第 2 年，第 5 年的维修费分别为 5，6，8，11，18 万元。使用 1 年后的残值为 4 万元，以后每使用 1 年残值减少 1 万元。试制定购买维修该设备的 5 年计划，使总支出最小。3、试证，在完全二叉树中，边的总条数应该等于 ,其中的 是树叶的总片数。2()tntn练习第 6 页（共 6 页）
