1、2017 届江苏省常州市武进区高三第一学期期中考试数学文科试卷 高三文科数学试题一、填空题：本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.1.已知集合 ， ，则 1,256A23,4BAB2.设 ，若复数 的虚部为零，则 aR()iaa3.要得到函数 的图象，须将函数 的图象向右平移 个单位sn3fxsin2yx4.“直线 垂直于平面 内的两条直线”是“直线 垂直于平面 ”的 条件 （填“充分不必要”ll， “必要不充分” ， “充要” ， “既不充分也不必要” ）5.已知函数 ，则 1()2xf221(log3)(l)ff6.已知向量 ， ，若向量 与向量 共线，则实数 ,a,0ba
2、b(,2)c7.设 是首项不为零的等差数列 的前 项和，且 成等比数列，则 nSn124,S21a8.如图，在平行四边形 中， ， ， ，点 分别在 边上，且ABCD43A3DB,EF,BCD， ，则 12BEFEF9.已知锐角 满足 ，则 的值为 4sin()2655cos()610.已知正数 满足 ，则 的最小值为 ,xy31xy11.设数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则 nanS2712naS*nN5S12.长方体 中， ， ，则四面体 的体积为 1ABCD4ABC3A1ABCD第卷（共 90 分）13.已知 的内角 满足 ，则 的最大值为 ,sinco()tan14.已知函数 在区
3、间 上的最大值与最小值之差为 4，则实数 的值为 3()fx1,0aa二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 15. （本小题满分 14 分）已知函数 的最大值为 2，且最小正周期为 2()2sinco3cosfxaxx(0,)a（1）求函数 的解析式及其对称轴方程；（2）求函数 的单调递增区间()fx16. （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 中， ， 分别是 的中点， 是 上一1ABC13ABC,DE,BCAF1C点，且 12F（1）求证： 平面 ；/EDF（2）若 ，求证： 平面 BC1BA17. （本小题满分 14 分）在 中
4、， ， ， ABC5c26b3cosaA（1）求 的值；a（2）求证： A18. （本小题满分 12 分）某药厂在动物体内进行新药实验，已知每投放剂量为 的药剂后，经过 小时该药剂在动物体内(0)mx释放的浓度 （毫克/升）满足函数 ，其中 ，当药剂在动y()yfx2218,04()log,16xf x物体内中释放的浓度不低于 12（毫克/升）时，称为该药剂达到有效（1）为了使在 8 小时之内（从投放药剂算起包括 8 小时）始终有效，求应该投放的药剂 的最小值；m（2）若 ， 为整数，若该药在 小时之内始终有效，求 的最大值mkkk19. （本小题满分 16 分）已知 ，函数 的图象与 轴相切
5、aR()(1)xfeax（1）求 的单调区间；()fx（2）若 时， ，求实数 的取值范围2()fmx20. （本小题满分 12 分）已知数列 中， ，且 na1()t12,nna为 奇 数为 偶 数（1）证明：数列 是等比数列，并求 ；2n2n（2）若数列 的前 项和为 a2nS当 时，求 ；t2nS若 单调递增，求 的取值范围2nt试卷答案1 2 1 3 4必要不充分 51 6 71 或 368 9 1011202 1216 13 14 或 03592415 （本小题满分 14 分）解：（1） ， 2 分sin23cos2fxaxx由题意 的周期为 ，所以 ，得 ， 4 分fx21最大值为
6、 ，故 ，23a又 ， ， 0a17 分sinfxx令 ，解得 的对称轴为 （ ） 10 分23kf12kx（2）由 ，sin23fxx(仅作出函数 图像得增区间只得 2 分)2sin3fxx16 （本小题满分 14 分）证明：（1） （证法一）连接 与 交于点 ，连接 .CEADHF因为 是 的中点， 是 中点，DBB所以 是 的重心， 2 分HA所以 ， 3 分2CE又因为 ，1F所以 ， 5 分1/因为 平面 ， 平面 ，HAD1CEADF所以 平面 ， 7 分1CE/F（证法二）取 中点 ，连接 .BDH1,EC因为 是 的中点， 是 中点，所以 ， AB/HAD因为 平面 ， 平面
7、，所以 平面 ， 2 分AFFEF又因为 ， 所以 ，同理 平面 ， 5 分12C2D1/C1C/A所以平面 平面 ， 6 分EH1/EHAD又 平面 ，所以 平面 ， 7 分11 F（2）因为 且 是 中点， ， ABCDBC直三棱柱 ， 平面 ， 11BA1AD又 , ， 平面 ，D1， 10 分1ABF， ， ，在 与 中， ， ，3C12C12,F1BCFD12BCF1CD， ， 11 分1DD， ， ， 13 分BF190B1(由 ,根据勾股定理得 也可)15,0BFD， 平面 . 14 分DA1AD17 （本小题满分 14 分）解：（1）因为 ，所以 . 3 分36cos2a223
8、6bcaa因为 ， ，5c26b所以 .234093a解得： ，或 （舍）. 6 分（2） （解法一）由（1）可得： . 8 分26cos3A所以 . 10 分21coss3A因为 ， ， ，所以 . 3a56b221cos3acbB所以 . 12 分cos2因为 ， 所以 .(0,)2A因为 ，所以 . 14 分(0,)BB（解法二）因为 ，所以 .8 分(,)23sin1cosA由正弦定理得： .所以 . 10 分263sinBiB所以 . 12 分2si2sin3A因为 ，所以 ， .cbasin(0,)4A(,)2B所以 . 14 分2B18 （本小题满分 14 分）解:（1）由 ，2
9、2()10,4,()log,16,mxxyf可知在区间 上有，即 ， 2 分(0,4810y又 在区间 上单调递减， ， 4 分)fx,1685mf为使 恒成立，只要 ， 6 分2y125即 ，可得 . 125m125即:为了使在 8 小时之内达到有效，投放的药剂剂量 m的最小值为 .8 分125(2) 时，设22416,04,log16xxyg，当 时， ，显然符合题意 10 分04x216又 在区间 上单调递减，()f(,由 ， 12 分22618log618l361g， 14 分(7)749可得 ， 即 k 的最大值为 6. 16 分619 （本小题满分 16 分）解：（1） ，依题意，
10、 设切点为 ，2 分exfa0(,)x则 即0(),fx0(1)0,x解得 4 分0,1a不 合所以 ，exf所以，当 时， ；当 时， 0fx0fx所以， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 6 分f (,),(猜出 并求出单调递减区间为 ，单调递增区间为 仅得 3 分)1a（2）法一、令 ，2()gxfmx则 ， ，)e2xg1令 ，则 ， ， 8 分(hexh1（）当 时，m因为当 时， ，所以 ，1xx()0x所以 即 在 上单调递增()hg,又因为 ，2e所以当 即 时， ， ，1(1)0g()0gx从而 在 上单调递增，()gx,而 ， ， ，2em2me， 成立10 分1e当 时
11、，必存在 使得 即 ，201,x0hx0gx当 时 ，当 时 ，01,xgg故 在 单调递减，在 单调递增， ，gx01,0,x13(1)220egem当 时 ，不合题意.12 分gx（）若 ，令 ，解得 ，2em()hln(2)m， 在 单调递增 ，(1)0h1,必存在 使得 即 ，,x0x10gx当 时 ，当 时 ，1 ,h故 在 单调递减，在 单调递增，14 分, 1， ，即 ， 在 恒成立，()2hem()hx()x0gx1,x在 单调递减，gx1,， ，不合题意 .4()20e1综上，实数 的取值范围是 .16 分,（2）法二、由题意得 ，即 在 恒成立，8 分21xemx-2xem
12、-()1,+设 ，则 ，9 分21(),xeh-=() 3),xh+=设 ， ，,xs+ xse-在 恒成立， 在 单调递增， 11 分()0x),()x)1,， 即 在 恒成立， 13 分13e-(0sh(+故 在 单调递增，h,， ， 15 分()2=2m-即实数 的取值范围是 . 16 分,e20. 解：（1）证明：设 ，则 ，21nba21ba， ， 1 分21at0t， 22 212 11 1n nn nn aa ab(得 也可)3 分221()nn数列 是公比为 2 的等比数列，故数列 是等比数列， 4 分nba， ， 6 分112nntt21nnt（2）由（1）得， ，2 1naa， 7 分1nat， 8 分2132n，23421n nSaaa， 10 分1 33122312n nt nt 当 时， ；11 分t126 6nnS 单调递增，2n（解法一） 对 且 恒成立， 12 分12320nnSt2n*N即 ，设 ， 13nt1,P则 ，1022nnP在 且 单调递减， 14 分*N， ，即 ，23312t1t故 的取值范围为 . 16 分t,（解法二） 对 恒成立， 12 分23120nnSt*nN即 ，设 ， 31t*,nPN则 ，111()022nnP在 单调递减， 14 分*N， ，即 ，132312tt故 的取值范围为 . 16 分t,
