1、 4轧制力和功率的计算轧制代表了很多关系分析的特殊问题，它也是一个重要的工业流程。其中板的轧制已经被广泛的研究了。4.1 通过局部应力分析的轧制力计算轧制过程与管材和带材的拉拔在形式上有很大的相似，但也有很重要的不同。在拉拔中，拉拔模具通常是固定的，而且有一个拉力作用于被拉的金属，施加的拉力是很重要的加工载荷。另一方面，通常有由电力驱动轧辊的轧机能在没有任何拉力的作用下将带材咬入。在轧辊上起限制作用的垂直载荷很重要，与拉拔中的模具载荷对应的。中间的条件很普通，因为轧机间适度的拉力能减少轧制力和提高带材的平直度，并能有效的控制其厚度。另一方面，空载轧辊有时被用在拉拔机上来对小区域冷加工，有时被用
2、在顶管机的心轴对管材热加工。然而，在典型的带材轧制流程中，驱动辊的圆周速率超过了带材的速度，如果摩擦力足够大，带钢最终会被咬入。当带钢的厚度减少时，它的长度延伸，线速度增加，直到出口处带钢的速度会比轧辊的线速度更快，而摩擦力作用于相反的方向。在辊缝中有一个中性点，在这个点上带钢表面的速度与轧辊的圆周速度相等而没有相对滑动，它是摩擦力改变方向临界点。这是轧制的一个重要特点。在冷轧带钢轧制力的估算中，我们作以下假设：1、平面应变条件2、变形区均匀变形3、摩擦系数恒定4、接触弧是恒定圆弧5、中性点在接触弧上6、忽略弹性形变这样假设后分析会相对简单，而且轧制力也可以通过小型模拟计算机对基本微分方程积分
3、来方便求解4.1.1 微分方程的推导和一般解在变形区域、中心点的出口一侧（如图 4.1）取单位宽度的单元体 A，在横向分解作用在单元体 A 上的力，如下：横向应力xxhd2 个轧辊上的径向压力sinco2pr图 4.1 带钢轧制的变形区域的剖视图，展示了带钢中性面两边的 2 个单元体的受力图。虚线表示在载荷作用下轧辊的变形，轧辊半径变为 R。2 个轧辊上的摩擦力cos2dxpr因为稳定轧制，所以单元体处于平衡状态：02tan2dxpdxphdrrx（4.1）在中性点入口一侧的单元体 B 也处于平衡状态，摩擦力的方向与其相反，我们得到一个类似的方程： 02tan2dxpdxphdrrx 为方便起
4、见，将 2 个方程统一表达：trrx（4.2）这里，上面的符号“-”表示前滑区，下面的符号“+”表示后滑区。带入公式得：tan2dh0cotdhphrrx或者： dhphdrx)cot1(（4.3）可以和带材拉拔的方程 3.19 比较。就像拉拔一样，可以将 和 联系起来，运用塑xrp性屈服准则作一个近似得：= ，以及 = =1x3yp( 的值由轧制力在垂直于轧制方向的分解求出：y)tan1(sincoscory rpdxupdx（4.4）通常 和 都很小，例如 ，它们的乘积与整体比较可以忽略t 1.0tan,7.不计。因此 ，所以径向的压力 与竖直方向的压力 相同，尾缀可以省略：ryprpp.
5、)ry将这些值带入平面应变的屈服条件：Sk231（2.18）)();pdpxx （4.5）如果金属没有应变强化，S 是个常数；但是当带钢从入口到出口变薄时，通常需要考虑 S 的增加，因此方程 4.3 变为：dhphSdhx cot1（4.6）由于假设轧辊的半径是恒定的，所以能方便的用极坐标（R,）替换 dh:sin2R又因为 cot1sin2RphSd根据量纲比 ，p/cot1sin21Shdcotsin2)(1RpdhSpSdh（4.7）由 Bland 和 Ford 于 1948 年提出的简化，让这个方程更直接的积分。在大多数情况下，轧制压力随辊缝里角度位置的变化比屈服应力随之的变化要大的多
6、。此外，hS 的乘积的变化将更小，因为 S 随 h 的减小而增加。因此，与式子 比较，式子Spdh1通常被忽略。当形变硬化率很高的时候，这个近似将不准确，因为这个式dp1子一般用于经过退火后的金属；或者当有很高的后张力作用时，这个近似也不准确。由方程 4.14 我们可以看到，后张力减小了 p/S 在接触面上的变化。因为大多数实际的轧制道次是瞬间的和连续的，上述错误的影响将只占很小比例。做这样的近似后，方程 4.7 变为：)cos(sin2RpSdh因为接触角通常很小，所以做进一步的近似：，sin12cs)o1(22RhRhaa又因为， 2Spda（4.8）22/RhdSpaa将这个方程两边积分
7、，于是得到一般解： consta/tan/12)/( 1 RhhInIa引入符号 aahRH1tn2（4.9） constaHRhInSpI因此，在前滑区 HeRhcSp（4.10a）在后滑区HehcSp（4.10b）积分常量的值能分别从入口处和出口处的应力条件得到。Load(a)springback(b) bhloadg *ahb(c) *apload图 4.2：（a）轧机回弹与载荷的关系，即需要得到带钢的厚度与轧辊辊缝之间的不同。 （b）带钢的初始厚度 到最终厚度 与所需轧制力之间的关系。它被称为塑性曲线。 （c）轧机刚度图与塑性曲线的结bha合表明它们的交点对应的就是初始辊缝下生产的实际
8、厚度，带钢的初始厚度是 bh4.1.2 无张力轧制 在没有前后张力的情况下，入口处和出口处的横向应力一定是零； .0xba；aHaeRhcSpaahR1tn2但是 ，0xa因此 ，又方程 4.5 得， ，所以a axaSp；Rhc1a在入口处；bHbecSpbaahR1tn2因为 ， ，而且0xbxbSp；bHeRhc1bHehRc因此方程 4.10 可以写成：在前滑区 HaehSp（4.11a）在后滑区 HbHbeehSp（4.11b）从这些方程中可以看出，轧制压力的变化与辊缝中的角度位置有关。通过接触面上竖直压力分量的积分，可以求出轧制力的大小，这里用到弹性压扁后的轧辊半径 R(方程 4.
9、17)：xRdpdpRdpxwp bNN 0（4.12） （方程 4.11 中指出的圆线部分）中性面的位置， ，通过曲线的交点可以求出；或者通过计算机计算，由 处的N N条件， 求出。任意位置的横向应力可以通过这些方程方便地求出，因为：p； SxSx1（4.13）在轧制中经常提到的这些图形是“摩擦山” ，因为这些图的形状像山（就像图 3.3） 。要么这样描述，但轧制压力通常被隐藏，因为轧制载荷是更显著的特点。摩擦力和轧制载荷的关系密切，因为摩擦力对横向应力的贡献，随中心点到入口或出口距离的增加而增加，这对竖直载荷下竖直区域的扩大提供了不断增加的阻力。因此，生产一个给定的变形量所需要的轧制载荷因
10、为横向“摩擦山”的存在而增加。4.1.3 带前后张力的轧制在大多数的轧机生产中，带钢一前一后的被咬入很多机架。为了既保持带钢平直，也能控制厚度，在机架间通常为带钢保留一定的张力。甚至在单机架轧机中，由驱动的卷曲机提供张力。这个张力对轧制载荷的减小有着很大的优势，可以看到将近似边界条件带入前张力 、后张力 ，和方程 4.10atbt在出口处： ， ，ax0aH因此屈服条件变成： aatSp方程 4.10a 中的积分常量为： aaHaaahRStcRhcect 1类似的，在入口处bHbehStc1这些常量对应于无张力条件下的常量，但是都乘了一个系数 。下面 2 个表达St1式给出了由于施加张力而减
11、少了的轧制压力：前滑区 HaehStp1后滑区 )(1HbbehStp（4.14）虽然这个公式预计将为很大部分的实际冷轧计算提供相当大的准确性，但是应该考虑到轧辊的弹性压扁。4.1.4 每道次最大压下量。每道次的压下量被带钢自然咬入的条件所限制，在入口处，轧辊表面摩擦力的横向分量必须大于径向压力的横向分量。参照图 4.1，上述条件可以表达为：brbr dApdApsin)(cos)(（4.15）的最大值为， ，称为“咬入角” ，或者“抓入角” 。在图 4.1 中b 1*tabRhhRhRLb /2/)(2/tan2因为 因此每道次最大压下量近似为：2max)(（4.16）4.2 轧辊压扁的考虑
12、；极限厚度 在前面，我们假设轧辊的半径保持不变，因为没有一个完整的理论考虑到了轧辊的弹性变形。人们建议作一个有用的近似：轧辊从侧面看仍是圆形，但是压扁后半径变大了。4.2.1 希区柯克方程希区柯克给出在载荷下变化的轧辊半径的方程，并做了如上这个假设：wPhcR1（4.17）其中 c 是取决于轧辊弹性模量的常量。它由赫兹的 2 个圆柱接触的弹性形变理论引出：。钢质轧辊的强度为 .因此举个2)1(6bExR /ton)i10/kN(3.40.m2例子，如果 ， 。)on/i4kN/m(0twPin).8.h1.8.01 对于更硬的带钢，在同样的轧制载荷下压下量将更小，轧辊的压扁会更大。变形后轧辊的
13、半径 应该用来计算轧制载荷。然而我们必需先找到一个近似的载荷 PR通过方程 4.17 来估算 。最简单的估算方法就是利用墩粗的压力来分析轧制压力。轧辊被当作墩粗中的压板，长 L，宽 w，参照图 4.1，由几何关系： hRLhR222)/(hRL（4.18）如果主屈服应力是 ,因此和墩粗力相等轧制力可以写为ShwLP（4.19）其中， 是考虑到摩擦力的一个因素，一般在冷轧中取 1.2。4.2.2 薄带钢轧制的极限厚度再次参照墩粗的分析，我们可以看到墩粗力或者轧制力会随带钢高宽比的增加而增加，即方程 3.34。这最终会增加轧辊的压扁，进而增加轧制力。最终我们所期望的整个厚度方向的压下量将被轧辊的弹
14、性形变所替代，特别是很硬的带钢。在实际生产中，我们发现极限厚度与摩擦系数、轧辊半径以及带钢硬度成正比，而与轧辊的杨氏模量成反比。对于钢制轧辊而言：m035.limSRh（4.20）4.3 轧辊的弯曲和轧机的回弹由于两个支撑端点中间施加的载荷而产生的弯曲与剪切，轧辊也会偏转。简支梁弯曲理论的拓展为中心偏转提供了一个方程：AGWlkEIldsb3（4.21）常量 和 的值分别取决于轧辊的参数和带钢的参数， 是梁的有效长度， 是轧制bs lW载荷，E 和 G 分别是轧辊的弹性模量和剪切模量， A 是轧辊的横截面积。对于满宽度带钢轧制， ，如果带钢宽度只有轧辊的一半，则 。2.0,.1sbk 1.0,
15、5.sbk这样弯曲的轧辊生产的带钢往往中间比边缘厚，所以轧辊本身需要弯曲，来保证与带钢接触的地方在最大载荷下近似平直。考虑到轧辊的弹性变形，在轧制力下轧机主要的框架会伸长。如果在带钢轧制前辊缝为 g，由于轧机的回弹 s，带钢出口厚度将会比 g 大:ha（4.22）因为和带钢的厚度比起来，轧机的支架要长的多，必须考虑并且校核。在图 4.2 中我们可以由几何关系估算 s，或者在每道次后的设定操作中测出。4.4 轧机功率 4.4.1 轧辊扭矩通过方程 4.11 计算当前轧制压力和摩擦系数后，我们可以计算出净周向力。然而，这是不准确的，因为两个摩擦力的方向相反（展现出“摩擦山” ） ，所以在两个值中，
16、净扭矩有很小的不同。当竖直的合力合成到坐标轴时，我们可以用一个不同的方法。如果合成力的作用线到坐标轴的距离是一个分数 ,弹性变形的轧辊的接触弦长度为 L,则PLtorque（4.23）这个公式忽略了横向力，横向的力会使合力稍微偏离垂直方向。分数 成为“力臂” 。bpdRLwPT0（4.24）hRLbsin在热轧中力臂的值大约是 0.5，而在冷轧中大约是 0.45。P 的值可以由轧制压力求得（方程 4.11） ，或者更简单的使用半经验公式 4.19。4.4.2 轧机功率当轧辊的角速度为 时，施加在每个轧辊上的功率 kNm/sec(kW)，再加上辊颈轴承 T处的摩擦力消耗的功率。每个轴承承受的载荷
17、是 ，所以摩擦阻力为 ，克服摩擦P21Pn21阻力所需的扭矩为 ，其中 是轴承处的摩擦系数，d 是轴承直径。因此，由于 2Pn41N个轧辊有 4 个轴承，所以总功率应该是：TWnNR22（4.25）由于考虑到在电机和传动处会有功率的损耗，于是用 和 分别表示电机和传动处mt的效率。因此，轧机运行所需总功率为：kW PdTWntmM21（4.26a）在英制单位里，转速的单位是圈数每分钟，N ，扭矩的单位是吨每平方英寸，所以功率单位要首先转化成英尺磅每秒，而后转化成马力。因此，带有 4 个轴承的 2 个轧辊的马力为：50124611 NPdTWntmNRtmM （4.26b）5滑移线场理论基础5.
18、1 简介 我们对表面应力的分析应该考虑摩擦力的因素，其大小往往占总加工载荷的20%30%。在实际的金属材料制造中，如果摩擦系数已知，并且包含了最小可能切变的工件内部的变形与外形变化相一致，这个结果与所测量的加工载荷十分吻合。关于合适摩擦系数计算的问题，我们将在第 8 章中讨论。然而，由于约束条件的影响，金属必然沿着特别的路径流动，所以实际的作用力比预测的大很多。一般地，切应力线越弯曲，金属流动所需要的压力越大。为克服从整个形状变化上不能发现的多余约束而施加的功，称为多余变形功。在硬度测试中，我们可以看到多余变形功增加了载荷，例如，处于近乎三向压应力状态的小圆柱的单向压缩需要多余变形功，又例如处
19、于两向或两向以上的挤压也需要它。表面应力分析没有考虑多余变形功，实际上也没有一个通用的分析理论。在特殊条件下，整个流动曲线在一个平面上，而在垂直于这个平面的方向上没有变形（如在 xy 面内流动，同时 ） ，我们可以得到一种图解。因此，平面变形条件就相当重要了，虽然平0z面变形条件一般不会出现实际中。实际的几何学提供了近似平面变形，比如小工具镦粗薄而宽的带材（如图 5.5，5.6） ，其结果与预测的结果非常接近。然而平面变形理论有效的证明了包含了轴对称（线的拉拔，棒材的挤压）以及更复杂条件下实际过程的理解。被称为滑移线场分析的图解理论取决于变形工件上塑性流动模型的计算。金属主要通过滑移，在一个原
20、子排列中沿晶面发生塑形流动。位错是滑移的基本现象，位错运动过程的细节近年来已被广泛研究。感兴趣的读者可通过很多综合书籍更深的了解金属变形基础行为。我们现在的目标，就是认识到塑性流动的本质是切变的过程，这是很重要的。真实金属材料中，在密排原子面上，以及最靠近最大切应力作用线的原子线方向上，滑移最容易发生。然而，金属制造与包含大量晶体的金属相关。因此，我们几乎一直近似作适当的假设，即大量原子朝向原始滑移方向，原始滑移方向与最大切应力方向一致。简单起见，我们通常假设材料无结构、均匀以及各向同性，这样滑移会准确地沿着最大剪应力的方向发生。因此，这个方向在考虑金属流动中很重要。一旦确定，理想化材料的属性
21、流动方向也确定，这与真实材料的流动十分近似。虽然所有的金属都是多晶体，在变形的过程中趋向于各向异性，但很不幸的是考虑真实材料的各向异性是非常复杂的。对大多数工业材料均匀性的假设相对较好，结构的影响通常也不重要，除了密排六方结构（如 Zn、Ca 、Mg、Be）,在晶体中它们只有一个活动的滑移面。我们应该将注意力转移到简单、理想的材料上。同样先考虑没有发生加工硬化的材料会方便不少，以至于在变形中屈服应力的值保持恒定。虽然对于退火后的金属，这是一个简陋的假设，但对大多数金属来说，应力-应变曲线的斜率在适当的变形后很小。做了这个假设后，我们能估算平面变形的工作力，包括多余变形功也能通过滑移线场的运用来
22、估算。5.2 单向压缩中的形变在第二章中我们已经知道，最大切应力的方向与主应力的方向成 45角（如图 2.2） 。如果一个立方体在其两个相反的面上受压，在实验中我们可以看到，它将因切应力沿着对角斜面失效。图 5.1 中，一个含铝 10%的黄铜圆柱体，它已沿着 45锥面发生切变，剩下一个 2 个光滑、光亮的锥面形成的固体核心。我们在混凝土的标准压缩测试中也能发现相同的图样。虽然塑性越好的金属越会以同样的方式变形，但是图中的各个部分不会分离，一直到大的形变后次生拉应力变得更大，各个部分才会分离，这常常使图样令人费解。三向变形的一般问题仍然很难处理，但是对于两向应变我们可以通过滑移线的思考来预测加工
23、载荷，滑移线场中的线条展示了塑性变形体中每一处最大切应力的方向。在这一章节中，我们假设平面应变条件成立，即在主应力方向没有应变，即 ，所以对于所02有垂直于主应力方向的平面这个图形都一样。如果带钢在两个平行的铁砧之间受压，铁砧的宽度 b 等于带钢的厚度 h，在铁砧每一面上，没有变形的带钢保留原来的宽度 w，其宽展受到限制。如果 w 比 10b 更大，那么可以忽略其横向的应变和其最后的影响，以至于可以应用平面应变条件。图 5.5 展示了这样的压缩。在切应力的作用下，变形沿着对角线发生，四块金属，开始一块沿一块像固定不变形的金属体一样滑动。这个滑动方向与最大切应力的方向一致，在 5.3 节中我们可
24、以看到平面应变条件下的变形是一个纯剪切的过程，在这个过程中屈服出现在时。kmax在这个例子中，我们能找到产生切应力 k 所必需的直接应力。两个主应力作用在与最大切应力方向成 45角的方向，所以在图 5.5 中，这两个方向应该是水平的和垂直的。作用在 AC 线上任意点的水平的应力一定是零，因为没有力作用在刚性块上。因此水平主应力是 。因为 ，垂直的主应力是 ，因此作用在铁砧 AB 表面上03312k1的应力等于 2k。所以铁砧压入力为q1（5.1） 这个值与屈服应力 S=2k 相同，如果拉伸实验在平面应变的条件下实施，我们能找到这个 S 的值。然而，我们应该认识到，一般拉伸测试的工件是圆棒或者宽
25、带钢，它没有包含平面应变的约束，所以所测值是 Y。如果用冯米塞斯屈服准则计算，那么 Y=2k/1.55。引起平面应变屈服所必需增加的直接应力，是由必要的外部施加引起的，它使金属的流动在拉伸中没有侧向紧缩，而在压缩中没有侧向的伸展。图 5.1 含铝 10%的黄铜圆柱压缩至破裂的轨迹图5.3 运用滑移线估算应力上述微元体计算是在最大切应力的方向、剪切屈服应力的大小已知的情况下计算加工载荷的。这就是滑移线场解法的基础。滑移线场图展示了变形体内每一点的最大切应力方向。如图 5.5，就是一个简单滑移线场图。由于为了保持转矩平衡，一个切应力总是伴随着另一个大小相等、方向相反的切应力成对出现，所以两个方向相
26、互垂直的最大切应力出现在每一点上。最终，这些方向的一般图解包含两组相互垂直的直线。在最简单的例子中，所有的线将变得平直，进而形成笛卡尔网格。然而，这些线不需要平直，我们经常应用由平直的半径和同心圆组成的极坐标系统。在图 5.7 中，我们能看到这两种图。更深入的研究采用直角的网格，而在这个网格里两组线都是曲线（例如，见第六章）线与线之间的间隔可以自由选择。在平直的区域中，间隔的大小不重要。当线条弯曲时，我们可以通过画小角度割线来获得更大的准确性。通常 5的间隔足以得到够用的高准确性。15的间隔一般也足以。在上述单向压缩的例子中，应力能直接以切应力的形式计算得到。在更复杂的系统中，我们必须考虑塑性变形体中点与点之间变化的静水压力。静水压力的重要性可以从摩尔圆中看到，如下。滑移线场的解总是对应于平面应变，在这个条件下，正如第二章所说，对于不能压缩的理想塑性材料而言其主应力为：312（2.17）这个公式的表达经过实验检验与真实材料十分接近。我们可以画出平面应变条件下的摩尔圆，其半径为 )(213max（2.6b） 并且依据方程 2.17，以 为圆心作图，如图 5.2 所示。2
