1、2015-2016 学年山西省太原外国语学校高三（下）5 月半月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1 （5 分）函数 f（x）= 的定义域为（ ）A （，0 B （ ，0） C （0， ） D （， ）2 （5 分）复数 的共轭复数是（ ）A12i B1+2i C 1+2i D12i3 （5 分）平面向量 与 的夹角等于 ，| |=1，| |=2，则 + 与 的夹角的余弦值等于（ ）A B C D4 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a4=9，a 6=11，则 S9 等于（ ）A180 B90 C72
2、D105 （5 分）函数 f（x）=sin2x 和函数 g（x）的部分图象如图所示，则函数 g（x）的解析式可以是（ ）Ag（x）=sin （2x ） Bg（x）=sin （2x+ ） Cg（x）=cos（2x+ ） Dg（x）=cos（2x ）6 （5 分）下列命题正确的个数是（ ）A “在三角形 ABC 中，若 sinAsinB，则 AB”的逆命题是真命题；B命题 p：x2 或 y3，命题 q：x+y5 则 p 是 q 的必要不充分条件；C “xR，x 3x2+10” 的否定是 “xR，x 3x2+10”；D “若 ab，则 2a2 b1”的否命题为 “若 ab，则 2a2 b1”A1 B
3、2 C3 D47 （5 分）已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为 2a 的正三角形，俯视图是边长为 a 的正六边形，则该几何体的侧视图的面积为（ ）A a2 B a2 C3a 2 D a28 （5 分）按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中的整数 M 的值是（ ）A5 B6 C7 D89 （5 分）点 A 是抛物线 C1：y 2=2px（p0）与双曲线 C2： （a0，b0）的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p，则双曲线 C2 的离心率等于（ ）A B C D10 （5 分）已知角 在第四象限，且 cos= ，则 等于（ ）A
4、B C D11 （5 分）已知函数 f（x） = x3 ax2+bx+c 在 x1 处取得极大值，在 x2 处取得极小值，满足x1（1 ，0） ，x 2（0，1） ，则 的取值范围是（ ）A （0，2） B （1，3） C0，3 D1，312 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（2x）=f（x） ，且在0，1）上单调递减，若方程 f（x）=1在0，1）上有实数根，则方程 f（x）=1 在区间 1，7上所有实根之和是（ ）A12 B14 C6 D7二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）设函数 f（x）= ，则方程 f（x）= 的解集为 14
5、 （5 分）已知各项都不相等的等差数列a n满足 a4=10，且 a1，a 2，a 6 成等比数列若 +2n，则数列b n的前 n 项和 Sn= 15 （5 分）若点 P（cos，sin ）在直线 y=2x 上，则 的值等于 16 （5 分）已知四面体 PABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且 PO平面 ABC，2AC= AB，若四面体PABC 的体积为 ，则该球的体积为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知函数 f（x） = sin2xcos2x ，x R（）求函数 f（x）的最小正周期和在区间（ 0， ）上的值域；
6、（）设在ABC 中，内角所对边的边长分别为，且 c=2 ，f（C）=0，若 sinB=2sinA，求 a，b 的值18 （12 分）如图，四边形 ABCD 为梯形，ABCD，PD平面 ABCD，BAD=ADC=90，DC=2AB=2a， DA= ，E 为 BC 中点（1）求证：平面 PBC平面 PDE；（2）线段 PC 上是否存在一点 F，使 PA平面 BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由19 （12 分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进” 三个等级进行学生互评某校高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度测评结果
7、的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表 1：男生 表 2：女生等级 优秀 合格 尚待改进 等级 优秀 合格 尚待改进频数 15 x 5 频数 15 3 y（1）从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈，求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边 22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“ 测评结果优秀与性别有关”男生 女生 总计优秀非优秀总计参考数据与公式：K2= ，其中 n=a+b+c+d临界值表：P（K 2k 0） 0.05 0.05 0.01k0 2.706 3.841 6.63520 （12 分
8、）已知椭圆 C： + =1（ab0）的右焦点 F1 与抛物线 y2=4x 的焦点重合，原点到过点A（a，0） ，B（0，b）的直线的距离是 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设动直线 l：y=kx +m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P，过 F1 作 PF1 的垂直于直线 l 交于点 Q，求证：点 Q 在定直线上，并求出定直线的方程21 （12 分）已知函数 f（x） =x2axalnx（a R） （1）若函数 f（x）在 x=1 处取得极值，求 a 的值（2）在（1）的条件下，求证：f（x） + 4x+ ；（3）当 xe， +） ，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围选修 4-1：几何证明
9、选讲22 （10 分）如图所示，AB 为圆 O 的直径，CB ，CD 为圆 O 的切线，B，D 为切点（1）求证：ADOC；（2）若圆 O 的半径为 2，求 ADOC 的值选修 4-4：坐标系与参数方程 23在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系已知曲线C： sin2=2acos（a 0） ，过点 P（2， 4）的直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，直线 l 与曲线 C 分别交于 M、N 两点（1）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程；（2）若|PM|， |MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x）=|x+3|m ，m 0
10、，f （x 3）0 的解集为（ ，22，+） （）求 m 的值；（）若 xR，使得 成立，求实数 t 的取值范围2015-2016 学年山西省太原外国语学校高三（下）5 月半月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 60 分每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1 （5 分） （2015 中山二模）函数 f（x）= 的定义域为（ ）A （，0 B （ ，0） C （0， ） D （， ）【分析】根据函数 f（x）的解析式，列出不等式，求出解集即可【解答】解：函数 f（x）= ，lg（12x）0，即 12x 1，解得 x0；f（x）的定义域为（，0故选：A【
11、点评】本题考查了根据函数的解析式，求函数定义域的问题，是基础题目2 （5 分） （2015 张掖二模）复数 的共轭复数是（ ）A12i B1+2i C 1+2i D12i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到 a+bi 的形式，根据复数的共轭复数的特点得到结果【解答】解：因为 ，所以其共轭复数为 1+2i故选 B【点评】本题主要考查复数的除法运算以及共轭复数知识，本题解题的关键是先做出复数的除法运算，得到复数的代数形式的标准形式，本题是一个基础题3 （5 分） （2016 春 太原校级月考）平面向量 与 的夹角等于 ，| |=1，| |=2，则 + 与 的夹角的余
12、弦值等于（ ）A B C D【分析】分别计算（ ） （ ） ，| |，| |，代入夹角公式计算即可【解答】解： =12cos =1，（ ） 2= +2 + =1+2+4=7， （ ） 2= 2 + =12+4=3，| |= ，| |= ，（ ） （ ）= =3设 + 与 的夹角为 ，cos= = = 故选：D【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题4 （5 分） （2014 孝感二模）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a4=9，a 6=11，则 S9 等于（ ）A180 B90 C72 D10【分析】由 a4=9，a 6=11 利用等差数列的性质可得 a1+a9=a4+a6
13、=20，代入等差数列的前 n 项和公式可求【解答】解：a 4=9，a 6=11由等差数列的性质可得 a1+a9=a4+a6=20故选 B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若 m+n=p+q，则 am+an=ap+aq 和数列的求和解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量5 （5 分） （2016 湖南模拟）函数 f（x）=sin2x 和函数 g（x）的部分图象如图所示，则函数 g（x）的解析式可以是（ ）Ag（x）=sin （2x ） Bg（x）=sin （2x+ ） Cg（x）=cos（2x+ ） Dg（x）=cos（2x ）【分析】由图象可得 g（x）的图象经过
14、点（ ， ） ，逐个选项验证可得【解答】解：代值计算可得 f（ ）=sin = ，由图象可得 g（x）的图象经过点（ ， ） ，代入验证可得选项 A，g（ ）=sin ，故错误；选项 B，g（ ）=sin ，故错误；选项 D，g（ ）=cos =cos = ，故错误；选项 C，g（ ）=cos =cos = ，故正确故选：C【点评】本题考查三角函数图象和解析式，逐个验证是解决问题的关键，属基础题6 （5 分） （2015 固原校级模拟）下列命题正确的个数是（ ）A “在三角形 ABC 中，若 sinAsinB，则 AB”的逆命题是真命题；B命题 p：x2 或 y3，命题 q：x+y5 则 p
15、是 q 的必要不充分条件；C “xR，x 3x2+10” 的否定是 “xR，x 3x2+10”；D “若 ab，则 2a2 b1”的否命题为 “若 ab，则 2a2 b1”A1 B2 C3 D4【分析】A 项根据正弦定理以及四种命题之间的关系即可判断；B 项根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确；C 项根据全称命题和存在性命题的否定的判断；D 项写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论【解答】解：对于 A 项“在 ABC 中，若 sinAsinB，则 AB”的逆命题为“ 在ABC 中，若 AB，则sinAsinB ”，若 AB，则 ab，根据正弦定理可知 sinAsinB
16、，逆命题是真命题，A 正确；对于 B 项，由 x2，或 y3 ，得不到 x+y5，比如 x=1，y=4，x+y=5 ，p 不是 q 的充分条件；若 x+y5，则一定有 x2 且 y3，即能得到 x2，或 y3，p 是 q 的必要条件；p 是 q 的必要不充分条件，所以 B 正确；对于 C 项， “xR，x 3x2+10”的否定是“ xR，x 3x2+10”；所以 C 不对对于 D 项， “若 ab，则 2a2 b1”的否命题为“若 ab，则 2a2 b1”所以 D 正确故选：C【点评】本题主要考查各种命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强7 （5 分） （2015 衡水三模）已知一个几何
17、体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为 2a 的正三角形，俯视图是边长为 a 的正六边形，则该几何体的侧视图的面积为（ ）A a2 B a2 C3a 2 D a2【分析】利用正视图与左视图的高相等，求得左视图的高，再利用俯视图与左视图的宽相等求得左视图三角形的底边长，代入三角形的面积公式计算【解答】解：由主视图是边长为 2a 的正三角形，得正六棱锥的高为 a，左视图的高为 a，俯视图是边长为 a 的正六边形，可得左视图三角形的底边长为 2 a，几何体的左视图的面积 S= a a= a2故选：A【点评】本题考查了由几何体的正视图与俯视图求左视图的面积，根据正视图与左视图的高相等，俯视图与左视
18、图的宽相等来求解8 （5 分） （2016 蔡甸区校级一模）按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中的整数M 的值是（ ）A5 B6 C7 D8【分析】由图知，每次进入循环体后，S 的值被施加的运算是乘以 2 加上 1，由此运算规律进行计算，经过运算后输出的结果是 63，从而得解【解答】解：由图知运算规则是对 S=2S+1，执行程序框图，可得A=1，S=1满足条件 AM，第一次进入循环体后 S=21+1=3，满足条件 AM，第二次进入循环体后 S=23+1=7，满足条件 AM，第三次进入循环体后 S=27+1=15，满足条件 AM，第四次进入循环体后 S=215+1=31，满
19、足条件 AM，第五次进入循环体后 S=231+1=63，由于 A 的初值为 1，每进入一次循环体其值增大 1，第五次进入循环体后 A=5故判断框中的整数 M 的值应为 5，这样就可保证循环体只能被运行五次故选：A【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与最后运算结果，求运算次数的一个题是算法中一种常见的题型，属于基础题9 （5 分） （2016 潮南区模拟）点 A 是抛物线 C1：y 2=2px（p0）与双曲线C2： （a 0，b0）的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p，则双曲线C2 的离心率等于（ ）A B C D【分析】先根据条件求出店 A 的坐标，再结合点 A
20、到抛物线 C1 的准线的距离为 p；得到 = ，再代入离心率计算公式即可得到答案【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y= x，联立 ；故 A（ ， ） 点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p， + =p； = 双曲线 C2 的离心率 e= = = 故选：C【点评】本题考查双曲线的性质及其方程双曲线 的离心率 e 和渐近线的斜率 之间有关系 10 （5 分） （2016 春 太原校级月考）已知角 在第四象限，且 cos= ，则 等于（ ）A B C D【分析】根据条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值【解答】解：角 在第四象限，且 cos= ，sin = = ，则 = = =2cos+2sin= = ，故选：D【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题
