1、2015-2016 学年山东省滨州市邹平双语学校一、二区高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共 10 题，每题 5 分，共 50 分）1 （5 分）若集合 M=xR|3x1，N=x Z|1x 2，则 MN=（ ）A0 B 1，0 C1，0，1 D2，1，0，1，22 （5 分）已知 a，b 是实数，则“a0 且 b0”是“a+b0 且 ab0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）函数 y= ln（1 x）的定义域为（ ）A （0，1） B0，1） C （0，1 D0，14 （5 分）曲线 f（x）=xlnx 在点 x=1 处的切
2、线方程为（ ）Ay=2x+2 By=2x2 Cy=x 1Dy=x +15 （5 分） （sin22.5+cos22.5） 2 的值为（ ）A B C D26 （5 分）已知函数 f（x）是奇函数，且当 x0 时，f （ x）=x 2+ ，则 f（ 1）=（ ）A2 B0 C1 D27 （5 分）函数 （ ）A在 单调递减 B在 单调递增C在 单调递减 D在 单调递增8 （5 分）函数 f（x）=Asin（ x+） （其中 A0， 0，| ）的图象如图所示，为了得到 g（x）=sin2x 的图象，则只需将 f（x）的图象（ ）A向左平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位C向右平移 个长度单位
3、D向左平移 个长度单位9 （5 分）已知函数 y=ex 的图象与函数 y=f（x）的图象关于直线 y=x 对称，则（ ）Af（2x）=e 2x（xR） Bf（2x）=ln2 lnx（x0）Cf（2x）=2e x（xR） Df （2x）=lnx+ln2（x0）10 （5 分）设 aR，函数 f（x）=e x+aex 的导函数是 f（x） ，且 f（x）是奇函数若曲线 y=f（x）的一条切线的斜率是 ，则切点的横坐标为（ ）Aln2 Bln2 C D二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分）11 （5 分）令 p（x）：ax 2+2x+10，若对 xR，p（x）是真命题，则实数 a 的取
4、值范围是 12 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f（x）=x 24x，则不等式 f（x）x 的解集用区间表示为 13 （5 分）设 为锐角，若 cos（+ ）= ，则 sin（2 + ）的值为 14 （5 分）已知向量 =（x 2，x+1） ， =（1x，t） ，若函数 f（x）= 在区间（ 1，1）上是增函数，则 t的取值范围为 15 （5 分）函数 f（x）=3x x3 在区间（a 212，a ）上有最小值，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（共 75 分）16 （12 分）设 A=4，2a 1，a 2，B=9，a 5，1a，若 AB=9，求实数 a 的值1
5、7 （12 分）已知函数 f（x） =2cos（x+ ） （其中 0，x R）的最小正周期为 10（1）求 的值；（2）设 ，0， ，f （5 + ）= ，f（5 ）= ，求 cos（ +）的值18 （12 分）已知向量 =（sinx，1） ， =（ Acosx， cos2x） （A0） ，函数 f（x）= 的最大值为6（）求 A；（）将函数 y=f（x）的图象像左平移 个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象求 g（x）在0， 上的值域19 （12 分）设函数 f（x）=ax 3+bx+c（a0）为奇函数，其图象在点（1，f（1） ）处的切线
6、与直线x6y7=0 垂直，导函数 f（x）的最小值为12（）求 a，b，c 的值；（）求函数 f（x）的单调递增区间，并求函数 f（x）在 1，3上的最大值和最小值20 （13 分）设函数 f（x）=ax（1+a 2）x 2，其中 a0，区间 I=x|f（x）0（）求 I 的长度（注：区间（ a，）的长度定义为 ） ；（）给定常数 k（0，1） ，当 1ka1+k 时，求 I 长度的最小值21 （14 分）已知函数 f（x） =（x 2+ax2a2+3a）e x，其中 aR（1）是否存在实数 a，使得函数 y=f（x）在 R 上单调递增？若存在，求出 a 的值或取值范围；否则，请说明理由（2）
7、若 a0，且函数 y=f（x）的极小值为 e，求函数的极大值；（3）若 a=1 时，不等式（mn）e f （x）（m +n）e 1 在1，1上恒成立，求 z=m2+n2 的取值范围2015-2016 学年山东省滨州市邹平双语学校一、二区高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 10 题，每题 5 分，共 50 分）1 （5 分） （2010 湖南模拟）若集合 M=xR|3x1，N=xZ| 1x2，则 MN=（ ）A0 B 1，0 C1，0，1 D2，1，0，1，2【分析】由集合 N 中的 x 的取值范围中的整数解确定出集合 N，然后求出两集合的交集即可【解答】解：由
8、集合 N=xZ|1x2，得到集合 N=1，0，1，2，又集合 M=xR|3x1，则 MN=1，0故选 B【点评】此题属于以不等式的整数解为平台，考查了交集的运算，是一道基础题2 （5 分） （2009 浙江）已知 a，b 是实数，则“a 0 且 b0”是“ a+b0 且 ab0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】由“a0 且 b0” “a+b0 且 ab0”， “a+b0 且 ab0”“a0 且 b0” ，知“a0 且 b0” 是“a+b0 且 ab 0”的充要条件【解答】解：a，b 是实数，“a0 且 b0” “a+b0 且 ab0”，“a+
9、b0 且 ab 0”“a0 且 b0”，“a0 且 b0”是“ a+b0 且 ab0”的充要条件故选 C【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答3 （5 分） （2013 江西）函数 y= ln（1x）的定义域为（ ）A （0，1） B0，1） C （0，1 D0，1【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组 ，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项【解答】解：由题意，自变量满足 ，解得 0x1，即函数 y= 的定义域为0，1）故选 B【点评】本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题4 （5 分）
10、 （2016 春 会宁县校级期中）曲线 f（x）=xlnx 在点 x=1 处的切线方程为（ ）Ay=2x+2 By=2x2 Cy=x 1Dy=x +1【分析】求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程【解答】解：求导函数，可得 y=lnx+1x=1 时，y =1， y=0曲线 y=xlnx 在点 x=1 处的切线方程是 y=x1即 y=x1故选：C【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题5 （5 分） （2011 秋 唐山期末） （sin22.5 +cos22.5） 2 的值为（ ）A B C D2【分析】用完全平方公式将原式展开，结合
11、二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方关系，即可得到本题的答案【解答】解：（sin22.5+cos22.5） 2=sin222.5+2sin22.5cos22.5+cos222.52sin22.5 cos22.5=sin45= ，sin 222.5+cos222.5=1（sin22.5 +cos22.5） 2=1+故选 B【点评】本题求 22.5 度的正、余弦值和的平方之值，着重考查了同角三角函数关系、特殊三角函数的值和二倍角正弦公式等知识，属于基础题6 （5 分） （2016 春 南昌县期末）已知函数 f（x）是奇函数，且当 x0 时，f （x）=x 2+ ，则 f（1）=（ ）A2 B0 C
12、1 D2【分析】由奇函数定义得，f（1）=f（1） ，根据 x0 的解析式，求出 f（1） ，从而得到 f（1） 【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（ x）=f （ x） ，f （ 1）=f （1） ，又当 x0 时，f（x）=x 2+ ，f（1）=1 2+1=2，f （ 1）=2，故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题7 （5 分） （2015 乌鲁木齐模拟）函数 （ ）A在 单调递减 B在 单调递增C在 单调递减 D在 单调递增【分析】将函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊
13、角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数在（0， ）上单调递增列出关于 x 的不等式，求出不等式的解集得到 x 的范围，即可得到f（x）在（0， ）单调递增【解答】解：f（x）= sin2x+cos2x=2（ sin2x+ cos2x）=2sin （2x+ ） ，由正弦函数在（0， ）上单调递增，故 02x+ ，解得：0x ，则 f（x）在（0， ）单调递增故选 D【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，利用三角函数的恒等变换将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键8 （5 分） （2015 日照一模）函数 f（x）=Asin（x+） （其中 A0，0，|
14、 ）的图象如图所示，为了得到 g（x）=sin2x 的图象，则只需将 f（x）的图象（ ）A向左平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位C向右平移 个长度单位 D向左平移 个长度单位【分析】由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式，再根据y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：由函数 f（x）=Asin（ x+）的图象可得 A=1，根据 = = ，求得 =2，再根据五点法作图可得 2 +=，求得 = ，f（x）=sin（2x+ ）=sin2 （x+ ） ，故把 f（x）的图象向右平移 个长度单位，可得 g（x）=sin2x 的图象，故选：C【
15、点评】本题主要考查利用 y=Asin（x+）的图象特征，由函数 y=Asin（x+ ）的部分图象求解析式，y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题9 （5 分） （2011 秋 南雄市校级期末）已知函数 y=ex 的图象与函数 y=f（x）的图象关于直线 y=x 对称，则（ ）Af（2x）=e 2x（xR） Bf（2x）=ln2 lnx（x0）Cf（2x）=2e x（xR） Df （2x）=lnx+ln2（x0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法根据函数 y=ex 的图象与函数 y=f（x）的图象关于直线 y=x 对称可知 f（x）是
16、 y=ex 的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得 f（2x） 【解答】解：函数 y=ex 的图象与函数 y=f（x）的图象关于直线 y=x 对称，所以 f（x）是 y=ex 的反函数，即 f（x）=lnx ，f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x 0） ，选 D【点评】本题属于基础性题，解题思路清晰，方向明确，注意抓住函数 y=ex 的图象与函数 y=f（x）的图象关于直线 y=x 对称这一特点，确认 f（x）是原函数的反函数非常重要，是本题解决的突破口10 （5 分） （2012 太原模拟）设 aR，函数 f（x）=e x+aex 的导函数是 f（x） ，且 f（x）是奇函数若曲线
17、 y=f（x）的一条切线的斜率是 ，则切点的横坐标为（ ）Aln2 Bln2 C D【分析】已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数入手求出切线的方程【解答】解：对 f（x）=e x+aex 求导得f（x）=e xaex又 f（x）是奇函数，故f（0）=1a=0解得 a=1，故有 f（x）=e xex，设切点为（x 0，y 0） ，则 ，得 或 （舍去） ，得 x0=ln2【点评】熟悉奇函数的性质是求解此题的关键，奇函数定义域若包含 x=0，则一定过原点二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分）11 （5 分） （2013 秋 下城区校级期末）令 p（x）
18、：ax 2+2x+10，若对xR ，p（x）是真命题，则实数 a的取值范围是 a1 【分析】首先把命题恒成立转化为不等式恒成立问题，然后分 a=0 和 a0 两种情况讨论，当 a=0 时为一次不等式，当 a0 为二次不等式，二次不等式恒成立时，结合不等式对应函数的图象的开口方向和与 x轴没交点得出不等式组，最后求解【解答】解：对xR，p（x）是真命题，是对 xR，ax 2+2x+10 恒成立，当 a=0 时，ax 2+2x+10 化为 2x+10，解得， ，不等式不是对xR 恒成立；若 a0，由题意，得 解得 a1所以xR ，ax 2+2x+10 恒成立的 a 的范围是 a1，即若对xR ，
19、p（x）是真命题，则实数 a 的取值范围是 a1故答案为 a1【点评】分类讨论思想是重要的数学思想，特别是解决含有未知量的恒成立问题，分类讨论尤为重要12 （5 分） （2013 江苏）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f（x）=x 24x，则不等式f（x）x 的解集用区间表示为 （5，0） （5，） 【分析】作出 x 大于 0 时，f（x）的图象，根据 f（x）为定义在 R 上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出 x 小于 0 的图象，所求不等式即为函数 y=f（x）图象在 y=x 上方，利用图形即可求出解集【解答】解：作出 f（x）=x 24x（x0）的图象，如图所
20、示，f（x）是定义在 R 上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称作出 x0 的图象，不等式 f（x）x 表示函数 y=f（x）图象在 y=x 上方，f（x）图象与 y=x 图象交于 P（5，5） ，Q （5，5） ，则由图象可得不等式 f（x） x 的解集为（5，0） （5，+） 故答案为：（5，0）（5，+）【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键13 （5 分） （2012 江苏）设 为锐角，若 cos（+ ）= ，则 sin（2+ ）的值为 【分析】先设 =+ ，根据 cos 求出 sin，进而求出 sin2 和 cos2，最后用两
21、角和的正弦公式得到sin（2+ ）的值【解答】解：设 =+ ，sin = ，sin2=2sin cos= ，cos2=2cos 21= ，sin（2+ ）=sin（2+ ）=sin（2 ）=sin2 cos cos2sin = 故答案为： 【点评】本题要我们在已知锐角 + 的余弦值的情况下，求 2+ 的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题14 （5 分） （2014 瓦房店市校级模拟）已知向量 =（x 2，x+1） ， =（1x，t ） ，若函数 f（x）= 在区间（1 ，1 ）上是增函数，则 t 的取值范围为 t5
22、 【分析】由数量积可得 f（x） ，求导数可化问题为 t3x 22x 在（ 1，1）上恒成立，由二次函数的知识可得函数的值域，可得结论【解答】解： =（x 2，x+1） ， =（1x，t） ，f（x）= =x2（1x）+t（ x+1）=x 3+x2+tx+1，f（x）=3x 2+2x+t，函数 f（x）= 在区间（ 1，1）上是增函数，f（x）=3x 2+2x+t0 在（ 1，1）上恒成立，t3x 22x 在（ 1，1）上恒成立，而函数 y=3x22x，x（1，1）的值域为 ，5）t5故答案为：t5【点评】本题考查平面向量数量积和函数的单调性，涉及导数和恒成立问题，属中档题15 （5 分） （
23、2015 秋 滨州校级月考）函数 f（x）=3xx 3 在区间（a 212，a）上有最小值，则实数 a 的取值范围是 （1， 2 【分析】求函数 f（x）=3x x3 导数，由于函数在区间（a 212，a）上有最小值，故最小值点的横坐标是集合（a 212，a）的元素，由此可以得到关于参数 a 的等式，解之求得实数 a 的取值范围【解答】解：由 f（x）=3x x3，得 f（x）=3 3x2，令 f（x）0，解得1x1 ；令 f（x）0 解得 x 1 或 x1由此得函数在（， 1）上是减函数，在（ 1，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数故函数在 x=1 处取到极小值2，因为函数在（a 212
24、，a）的端点处的函数值取不到，所以此极小值必是区间（a 212，a）上的最小值a 212 1a，解得1a 又当 x=2 时，f（2）= 2，故有 a2综上知 a（1，2故答案为（1， 2【点评】本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值，是中档题三、解答题（共 75 分）16 （12 分） （2011 秋 裕安区校级期末）设 A=4，2a 1，a 2，B= 9，a5，1a，若 AB=9，求实数 a的值【分析】由题意 AB=9，确定 A 中 a 的值，然后验证集合 B 即可【解答】解：由题意可知，2a 1=9 或 a2=9；所以 a=5 或3并且 a5 4，1 a4（要是等于的话，A 交 B 就不仅是9了）a5，1由集合的定义可知 2a14，a59，1 a9，a 51a，2a 1a 2故 a1.5，14，8，3，1所以 a=3【点评】本题是基础题，考查集合中元素的特征，互异性，确定性，无序性，注意要证集合 B，容易出错17 （12 分） （2012 广东）已知函数 f（x）=2cos（x+ ） （其中 0，x R）的最小正周期为 10（1）求 的值；（2）设 ，0， ，f （5 + ）= ，f（5 ）= ，求 cos（ +）的值
