1、2015-2016 学年天津一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，M=1，3，5，7，N=5，6，7，则 U（MN）=（ ）A5，7 B2，4 C2，4，8 D1，3，5，6，72 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=5x+y 的最大值为（ ）A2 B3 C4 D53 （5 分）设命题甲为：0x5，命题乙为：|x2|3，则甲是乙的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件4 （5 分）如图是一个算法框图，则输出的 k 的值是（ ）A3 B4 C5 D65 （5 分）如
2、图，已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F，E 是 AB 延长线上一点，且DF=CF= ，AF=2BF ，若 CE 与圆相切，且 CE= ，则 BE 的长为（ ）A1 B C D26 （5 分）已知双曲线 C1： =1（a0，b0）的离心率为 2，若抛物线 C2：x 2=2py（p0）的焦点到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2，则抛物线 C2 的方程是（ ）A Bx 2= y Cx 2=8y Dx 2=16y7 （5 分）已知定义域为 R 的奇函数 f（x）的导数为 f（x） ，当 x0 时，f（x）+ 0，若 a= f（） ，b= 2f（2） ，c=ln f（ln2 ） ，则下列关于
3、a，b，c 的大小关系正确的是（ ）Aabc Ba cb Cc ba Dbac8 （5 分）已知函数 ，若方程 f（x）=x+a 在区间2，4内有 3 个不等实根，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa|2a 0 Ba |2a0Ca| 2a0 或 1a 2 Da|2a0 或 a=1二、填空题：9 （5 分）复数 （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 10 （5 分）一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积 V= 11 （5 分）曲线 y=x2+1 与直线 x=0，x=1 及 x 轴所围成的图形的面积是 12 （5 分）在（x ） 8 的二项展开式中， x2 的系数
4、是 13 （5 分）在ABC 中，BC= ，AC=2，ABC 的面积为 4，则 AB 的长为 14 （5 分）已知椭圆 =1，P 为 x 轴上一个动点，PA、PB 为该椭圆的两条切线，A 、B 为切点，则的最小值为 三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）15 （12 分）己知函数 f（x） = （xR） （1）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当 时，求函数 f（x）的最小值和最大值16 （12 分）某学校高一年级开设了 A，B，C，D，E 五门选修课为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的（）求甲
5、、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；（）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；（）设随机变量 X 为甲、乙、丙这三名学生参加 A 课程的人数，求 X 的分布列与数学期望17 （13 分）如图四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，AD BC ，ADCD，且 AD=CD=2 ，BC=4，PA=2，点 M 在线段 PD 上（1）求证：ABPC（2）若二面角 MACD 的大小为 45，求 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值18 （13 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a2=8，S 4=40数列b n的前 n 项和为 Tn，且Tn2bn+3=0，n
6、N *（）求数列a n，b n的通项公式；（）设 cn= ，求数列c n的前 n 项和 Pn19 （16 分）如图，已知椭圆 C： =1（ab0）的离心率为 ，以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T：（x+2） 2+y2=r2（r0 ） ，设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N（1）求椭圆 C 的方程；（2）求 的最小值，并求此时圆 T 的方程；（3）设点 P 是椭圆 C 上异于 M，N 的任意一点，且直线 MP，NP 分别与 x 轴交于点 R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|OS|为定值20 （14 分）设函数 f（x）=e xa（x+1） （e 是自然对数的底数，e=2.71828
7、） （1）若 f（0）=0，求实数 a 的值，并求函数 f（x）的单调区间；（2）设 g（x）=f（x）+ ，且 A（x 1，g（x 1） ） ，B （x 2，g（x 2） ） （x 1x 2）是曲线 y=g（x）上任意两点，若对任意的 a1，恒有 g（x 2）g（x 1）m（x 2x1）成立，求实数 m 的取值范围；（3）求证：1 n+3n+（2n1） n 2015-2016 学年天津一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1 （5 分） （2009 全国卷）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，M=1，3，5，7，N=5，6，7，则 U（M N） =（
8、 ）A5，7 B2，4 C2，4，8 D1，3，5，6，7【分析】先求集合 MN，后求它的补集即可，注意全集的范围【解答】解：M=1，3，5，7，N=5，6，7，MN=1，3 ，5，6，7，U=1 ，2，3，4，5，6，7，8， U（M N） =2，4，8故选 C【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题2 （5 分） （2008 天津）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=5x+y 的最大值为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件 的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函
9、数 Z=5x+y 的最小值【解答】解：满足约束条件 的可行域如图，由图象可知：目标函数 z=5x+y 过点 A（1， 0）时z 取得最大值，z max=5，故选 D【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解3 （5 分） （2013 宜宾一模）设命题甲为：0x5，命题乙为：|x2|3，则甲是乙的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【分析】如果能从命题甲推出命题乙，且能从命题乙推出命题甲，那么 条件乙与条件甲互为充分必要条件，简称充要条件，如果只是其中之一
10、，则是充分不必要条件或是必要不充分条件【解答】解：|x2|3，1 x 5，显然，甲乙，但乙不能 甲，故甲是乙的充分不必要条件故选 A【点评】本题主要考查了充要条件，以及绝对值不等式的解法，属于基础题如果能从命题 p 推出命题q，且能从命题 q 推出命题 p，那么 条件 q 与条件 p 互为充分必要条件，简称充要条件4 （5 分） （2014 呼伦贝尔一模）如图是一个算法框图，则输出的 k 的值是（ ）A3 B4 C5 D6【分析】算法的功能是求满足不等式 k25k+40 最小正整数解，通过解不等式求得输出的 k 值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足不等式 k25k+40 最小正整数解
11、，k 25k+40k4 或 k1，输出 k=5故选：C【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键5 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）如图，已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F，E 是 AB 延长线上一点，且 DF=CF= ，AF=2BF ，若 CE 与圆相切，且 CE= ，则 BE 的长为（ ）A1 B C D2【分析】利用相交弦定理可得 BFAF=DFFC，解出 BF；再利用切割线定理可得 CE2=BEEA，解得 BE【解答】解：由相交弦定理得 BFAF=DFFC，DF=CF= ，AF=2BF ，2BF 2=（ ） 2，解得 BF=1，AF=2
12、CE 与圆相切，由切割线定理可得 CE2=BEEA，（ ） 2=BE（BE+1+2） ，BE0，解得 BE= 故选：B【点评】本题考查了与圆有关的比例线段，熟练掌握相交弦定理和切割线定理是解题的关键6 （5 分） （2012 山东）已知双曲线 C1： =1（a 0，b0）的离心率为 2，若抛物线C2：x 2=2py（p0）的焦点到双曲线 C1 的涟近线的距离是 2，则抛物线 C2 的方程是（ ）A Bx 2= y Cx 2=8y Dx 2=16y【分析】利用双曲线的离心率推出 a，b 的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出 p，即可得到抛物线的方程【解答】解：双曲线 C1： 的离
13、心率为 2所以 ，即： =4，所以 ；双曲线的渐近线方程为：抛物线 的焦点（0， ）到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，所以 2= ，因为 ，所以 p=8抛物线 C2 的方程为 x2=16y故选 D【点评】本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力7 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）已知定义域为 R 的奇函数 f（x）的导数为 f（x） ，当 x0 时，f（x）+ 0，若 a= f（ ） ，b=2f（2） ，c=ln f（ln2） ，则下列关于 a，b，c 的大小关系正确的是（ ）Aabc Ba cb Cc ba Dbac【分析】利用条件构造函数
14、h（x）=xf（x） ，然后利用导数研究函数 h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小【解答】解：设 h（x）=xf（x） ，h（x）=f（x）+x f（x） ，y=f（x）是定义在实数集 R 上的奇函数，h（x）是定义在实数集 R 上的偶函数，当 x0 时，h（x）=f（x）+xf（x）0，此时函数 h（x）单调递增a= f（ ） =h（ ） ，b= 2f（ 2）=2f （2）=h（2） ，c=（ln ）f （ln2 ）=h（ln2） ，又 2ln2 ，bcabac故选：D【点评】本题主要考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目本题属于中档题8 （5 分） （2015 杭州校
15、级模拟）已知函数 ，若方程 f（x）=x+a 在区间2， 4内有 3 个不等实根，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa|2a 0 Ba |2a0Ca| 2a0 或 1a 2 Da|2a0 或 a=1【分析】作出函数 y=f（x）和 y=x+a 的图象利用两个图象的交点个数问题确定 a 的取值范围【解答】解：若 0x2，则2x 20，f（x）=2f（x2）=2 （1|x2+1|）=22|x 1|，0x2若 2x4，则 0x22，f（x）=2f（x2）=2 （22|x2 1|）=4 4|x3|，2x4f（1）=2 ，f（2）=0，f（3 ）=4设 y=f（x）和 y=x+a，则方程 f（x）=x +
16、a 在区间2，4内有 3 个不等实根， 、等价为函数 y=f（x）和 y=x+a 在区间2，4内有 3 个不同的零点作出函数 f（x）和 y=x+a 的图象，如图：当直线经过点 A（2，0）时，两个图象有 2 个交点，此时直线 y=x+a 为 y=x2，当直线经过点 O（0，0）时，两个图象有 4 个交点，此时直线 y=x+a 为 y=x，当直线经过点 B（3，4）和 C（1，2）时，两个图象有 3 个交点，此时直线 y=x+a 为 y=x+1，要使方程 f（x）=x+a 在区间 2，4内有 3 个不等实根，则 a=1 或 2a 0故选：D【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函
17、数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法二、填空题：9 （5 分） （2015 闸北区一模）复数 （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 4 【分析】化简复数为 a+bi（a，b R） ，然后由复数的实部等于零且虚部不等于 0 求出实数 a 的值【解答】解： = 复数 是纯虚数 ，解得：a=4故答案为：4【点评】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题10 （5 分） （2016 杭州模拟）一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积V= 【分析】由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可
18、得答案【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积 S= （1+2）2=3，又左视图是等边三角形，高 h= ，故棱锥的体积 V= = ，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键11 （5 分） （2014 福建二模）曲线 y=x2+1 与直线 x=0，x=1 及 x 轴所围成的图形的面积是 【分析】确定积分公式中 x 的取值范围，根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可【解答】解：由题意，S= （x 2+1）dx=（ ） = ，故答案为： 【点评】本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分
19、的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题12 （5 分） （2013 和平区一模）在（x ） 8 的二项展开式中，x 2 的系数是 7 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 2 求出展开式中 x2 项的系数【解答】解：根据二项式定理， （x ） 8 的通项为 Tr+1=C8r（x） 8r（ ） r=（ ） rC8r（x） 82r，当 82r=2 时，即 r=3 时，可得 T4= x2=7x2即 x2 项的系数为7，故答案为：7【点评】本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别13 （5 分） （2016 湖南模拟）在ABC 中，BC= ，AC
20、=2，ABC 的面积为 4，则 AB 的长为 4 或【分析】利用三角形的面积公式，求出 ，可得 cosC= ，利用余弦定理可求 AB 的长【解答】解：BC= ，AC=2，ABC 的面积为 4，4= ， ，cosC= ，AB 2= =16，AB=4 ；或 AB2= =32，AB= AB 的长为 4 或 故答案为：4 或【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题14 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）已知椭圆 =1，P 为 x 轴上一个动点，PA、PB 为该椭圆的两条切线，A、B 为切点，则 的最小值为 4 9 【分析】设 P（m ，n） ，A （
21、x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，运用椭圆的一点处的切线斜率 +2yy=0，求出直线PA，PB 的方程，进而得到 AB 的方程为，代入椭圆方程，利用数量积公式，以及韦达定理，化简整理，由 P 为 x 轴上一个动点，可知 n=0，利用基本不等式的关系，即可求得 的最小值【解答】解：设 P（m ，n） ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则对 =1 两边求导，得 +2yy=0，则过切点 A 的斜率为 ，切线方程为：yy 1= （xx 1） ，又 ，化简即得 PA： ，同理可得，PB ： ，PA、PB 为该椭圆的两条切线，直线 AB 的方程为 ，代入椭圆方程可得（4n 2+m
22、2） x28mx+（16 16n2）=0 ，由韦达定理可知：x 1+x2= ，x 1x2= ， =（x 1m） （x 2m）+ （y 1m） （y 2m） ，=x 1x2+m2m（x 1+x2）+y 1y2n（y 1+y2）+n 2，= +m2n26，P 为 X 轴上一个动点，n=0，= +m292 =4 9，当且仅当 =m2，即 m2=2 时取等号故答案为：4 9【点评】本题主要考查椭圆的简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理，平面向量的数量积和基本不等式的综合应用，属于中档题三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）15 （12 分） （2015 秋 天津校级月考）己知函数 f（x）= （xR）
