1、2015-2016 学年天津市静海一中高三（上）12 月学业能力调研数学试卷（理科）一、选择题（每题 5 分，共 20 分）1 （5 分） （2014 河南一模）已知 F1、F 2 分别是双曲线 （a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若F 1PF2=90，且F 1PF2 的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A2 B3 C4 D52 （5 分） （2016 宿州一模）如图，BC 、DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径， ，则 的值是（ ）A B C D3 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）函数 f（x）= 有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）Aa0 或 a1 B
2、0a C a 1 Da04 （5 分） （2015 武昌区模拟）抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，准线为 l，A、B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB= ，设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N，则 的最大值为（ ）A1 B2 C3 D4二、填空题：（每题 5 分，共 35 分）5 （5 分） （2015 秋 上海校级期中）在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴为始边作锐角 ，它的终边与单位圆相交于点 A，且点 A 的横坐标为 ，则 的值为_6 （5 分） （2006 镇江模拟）函数 y=sinx+cosx 的图象可以看作是由函数 y=sinxcosx 的图象向左平移得到
3、的，则平移的最小长度为_7 （5 分） （2015 宁波模拟）设二次函数 f（x）=ax 24x+c 的值域为0，+） ，且 f（1）4，则的取值范围是_8 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）在直角坐标系中，圆 C1 的方程为 x2+y24x4y=0，圆 C2 的参数方程（ 是参数） ，若圆 C1 与圆 C2 相切，则实数 a 的值为_9 （5 分） （2013 上海）设 a 为实常数，y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=9x+ +7若 f（x）a +1 对一切 x0 成立，则 a 的取值范围为_10 （5 分） （2014 新课标 I）已知 a，b，c 分别
4、为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a=2 且（2+b）（sinAsinB）=（c b）sinC，则ABC 面积的最大值为_11 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）给出下列命题：（1）若 f（x 1）=f（1 x） ，则函数 f（x）的图象关于直线 x=1 对称；（2）y=f（x1 ）与 y=f（1x）的图象关于直线 x=0 对称；（3） 无最大值也无最小值；（4）y= 的最小正周期为 ；（5）y=sinx（0x2 ）有对称轴两条，对称中心三个； 则正确命题是_三、解答题：（共 75 分）12 （12 分） （2015 秋 天津校级月考） （）求和：a n+an1b+abn1+b
5、n（ab0） ；（）已知 ，将数列a n的各项依次作为数列c n的奇数项，将数列 ban的各项依次作为数列c n的偶数项，求数列c n的通项公式；（）数列a n满足 ，求数列a n的通项公式13 （10 分） （2015 秋 天津校级月考）已知 ， ，函数 f（x）=（mR ）的图象过点 M（ ，0） （）求 m 的值以及函数 f（x）的最小正周期和单调增区间；（）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，c，若 ccosB+bcosC=2acosB，求 f（A）的取值范围14 （12 分） （2015 秋 天津校级月考）已知数列a n前 n 项和 （）求数列a n的通项公式；（）
6、设 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn；（）求使不等式（1+ ） （1+ ）（1+ ）p 对一切 nN*均成立的最大实数 p 的值15 （17 分） （2015 秋 天津校级月考）已知中心在原点 O，焦点在 x 轴上的椭圆，离心率 ，且椭圆过点 （） 求该椭圆的方程；（）过点 D（1， ）的直线（斜率存在）与该椭圆 M 交于 P、Q 两点，且|DP|=|DQ|，求此直线的方程；（）过点 E（1，0）的直线（斜率存在）与该椭圆 M 交于 P、Q 两点，且|EP|=2|EQ|，求此直线的方程；（）设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P、Q 两点，满足直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次
7、成等比数列，求OPQ 面积的取值范围16 （12 分） （2015 秋 天津校级月考）已知函数 f（x）=ax 22x+1， （aR） ，g（x）=ln （x+1）（）y=g（x） x 在0，1上的最小值；（）存在 x（0，+）使不等式 成立，求实数 a 的取值范围17 （12 分） （2015 秋 天津校级月考） （1）记函数 （x）=ax 22x+1+ln（x+1）的图象为 C，l 为曲线 C在点 P（0，1）的切线，若存在 a ，使直线 l 与曲线 C 有且仅有一个公共点，求满足条件的所有 a 的值；（2）判断 xsinx=1（x（0， 5） ）实根的个数；（3）完成填空用方程表述 用函
8、数零点表述若函数 y=f（x）和 y=g（x）的图象在（a，b）内有交点四、提高题（共 20 分）18 （20 分） （2007 东城区一模）已知 f（x）=（x1） 2，g（x）=10（x1） ，数列a n满足a1=2， （a n+1an）g（a n）+f（a n）=0，b n= （1）求证：数列a n1是等比数列； （2）当 n 取何值时，b n取最大值，并求出最大值；（3）若 对任意 mN*恒成立，求实数 t 的取值范围2015-2016 学年天津市静海一中高三（上）12 月学业能力调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题 5 分，共 20 分）1 （5 分） （2014
9、河南一模）已知 F1、F 2 分别是双曲线 （a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若F 1PF2=90，且F 1PF2 的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】本题考查的是双曲线的简单性质，要求出双曲线的离心率，关键是要根据已知构造一个关于离心率 e，或是关于实半轴长 2a 与焦距 2C 的方程，解方程即可求出离心率，注意到已知条件中，F 1PF2=90，且F 1PF2 的三边长成等差数列，结合双曲线的定义，我们不难得到想要的方程，进而求出离心率【解答】解：设|PF 1|=m，|PF 2|=n，不妨设 P 在第一象限，则由已知得5a 26ac+c2=
10、0，方程两边同除 a2 得：即 e26e+5=0，解得 e=5 或 e=1（舍去） ，故选 D【点评】解题过程中，为了解答过程的简便，我们把未知|PF 1|设为 m，|PF 2|设为 n，这时要求离心率e，我们要找出 a，c 之间的关系，则至少需要三个方程，由已知中，若F 1PF2=90，且F 1PF2 的三边长成等差数列，我们不难得到两个方程，此时一定要注意双曲线的定义，即 P 点到两个焦点的距离之差的绝对值为定值2 （5 分） （2016 宿州一模）如图，BC 、DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径， ，则 的值是（ ）A B C D【分析】根据向量加法的三角形法则，把 分别用 表示出
11、来，代替 即可求得结果【解答】解： ， ，且 ， = =故选 B【点评】此题是个基础题考查向量加法的三角形法则和共线向量定理等基础知识，把 分别用表示出来是解决此题的关键，同时考查了学生的计算能力3 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）函数 f（x）= 有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）Aa0 或 a1 B0a C a 1 Da0【分析】根据函数 f（x）= 有且只有一个零点等价于 a0，要找出它的一个充分不必要条件，只要找出由条件可以推出 a0，反之不成立的条件，即要找出一个是不等式 a0 表示的集合的真子集即可【解答】解：如图，函数 f（ x）= 有且只有一个零点等价于a0，解
12、得：a0即函数 f（x）= 有且只有一个零点等价于 a0，要找出它的一个充分不必要条件，只要找出由条件可以推出 a0，反之不成立的条件，即要找出一个范围比不等式的范围a|a0小的真子集即可，只有 D 选项合格故选 D【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件与充要条件的判断，本题解题的关键是把命题之间的关系转化为集合之间的包含关系，本题是一个基础题4 （5 分） （2015 武昌区模拟）抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，准线为 l，A、B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB= ，设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N，则 的最大值为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】设|AF|
13、=a，|BF|=b，连接 AF、BF由抛物线定义得 2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b） 23ab，进而根据基本不等式，求得|AB |的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接 AF、BF，由抛物线定义，得|AF|= |AQ|，|BF|=|BP|，在梯形 ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP |=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos60=a2+b2ab，配方得，|AB| 2=（a+b） 23ab，又ab ，（a+b） 23ab（a+b） 2 （a +b） 2= （a +b） 2得到|AB| （a+b） 1，即 的最大值
14、为 1故选：A【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求 的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题二、填空题：（每题 5 分，共 35 分）5 （5 分） （2015 秋 上海校级期中）在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴为始边作锐角 ，它的终边与单位圆相交于点 A，且点 A 的横坐标为 ，则 的值为 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得 tan，再利用二倍角的正切公式、诱导公式求得 tan的值，可得 的值【解答】解：由题意可得点 A 的横坐标为 ，它的纵坐标为 ，故 tan= = ，再利用二倍角公式可得 = ，求得 tan
15、 = ，或 tan = （舍去） ，故 =tan = ，故答案为： 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式、诱导公式的应用，属于基础题6 （5 分） （2006 镇江模拟）函数 y=sinx+cosx 的图象可以看作是由函数 y=sinxcosx 的图象向左平移得到的，则平移的最小长度为 【分析】利用辅助角公式化简得 sinx+cosx= sinx（x+ ） 设 f（x）=sinx cosx，其图象向左平移 个单位得 f（x+）= sinx（x+ ）= sinx（x+ ） ，结合正弦函数的图象与性质列式，即可解出 的最小正值为 ，从而得到本题答案【解答】解：y=sinx+
16、cosx= （sinxcos +cosxsin ） = sinx（x+ ）同理可得 y=sinxcosx= sinx（x ）令 f（x）=sinx cosx= sinx（x ） ，设 y=f（x）图象向左平移 （ 0）个单位，得到 y=sinx+cosx 的图象则 f（x+ ）= sinx（x+ ）= sinx（x+ ） = +2k（kZ） ，取 k=0，得 的最小正值为即平移的最小长度为故答案为：【点评】本题给出三角函数的图象平移，求平移的最小单位着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于基础题7 （5 分） （2015 宁波模拟）设二次函数 f（x）=ax 24x+c 的值域
17、为0，+） ，且 f（1）4，则的取值范围是 【分析】根据 f（1）4，求得 4a+c8 由题意可知， a0，=0，从而求出 ac=4，将所求式子中的4 代换成 ac，利用裂项法进行整理，进而利用函数的单调性求得 的最大值【解答】解：f（x）的值域为 0，+） ，故 ，即 ，a+c2 =4，又 0f（1）4，即 0a 4+c4，所以 4a+c8， = = = ，t= ， = ，1t2 ，由 y=t 的单调性，u max= ，u min=1故答案为：【点评】利用基本不等式求函数最值是最值考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等同时注意数形结合
18、思想的运用换元法转化为常见的函数，利用单调性求解是中档题8 （5 分） （2015 秋 天津校级月考）在直角坐标系中，圆 C1 的方程为 x2+y24x4y=0，圆 C2 的参数方程（ 是参数） ，若圆 C1 与圆 C2 相切，则实数 a 的值为 或4 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据两圆相切列出方程解出【解答】解：圆 C1 的标准方程为（ x2） 2+（y2） 2=8，圆 C1 的圆心为（2，2） ，半径为 2 圆 C2 的普通方程为（x+1） 2+（y+1） 2=a2圆 C2 的圆心为（ 1，1） ，半径为|a|两圆的圆心距为 =3 圆 C1 与圆 C2 相切，3 =2 +|a|，或 3
19、 =|2 |a|，解得 a= 或 a=4 故答案为： 或 【点评】本题考查了参数方程与普通方程的转化，圆与圆的位置关系，是基础题9 （5 分） （2013 上海）设 a 为实常数，y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=9x+ +7若 f（x）a +1 对一切 x0 成立，则 a 的取值范围为 【分析】先利用 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数求出 x 0 时函数的解析式，将 f（x）a+1 对一切x0 成立转化为函数的最小值a+1，利用基本不等式求出 f（x）的最小值，解不等式求出 a 的范围【解答】解：因为 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以当 x=0 时，
20、f（x）=0 ；当 x0 时，则x0，所以 f（x）=9x +7因为 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以 f（x）=9x + 7；因为 f（x）a+1 对一切 x0 成立，所以当 x=0 时，0a+1 成立，所以 a1；当 x0 时，9x+ 7a +1 成立，只需要 9x+ 7 的最小值 a+1，因为 9x+ 7 2 =6|a|7，所以 6|a|7a+1，解得 ，所以 故答案为： 【点评】本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值10 （5 分） （2014 新课标 I）已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a
21、=2 且（2+b）（sinAsinB）=（c b）sinC，则ABC 面积的最大值为 【分析】由正弦定理化简已知可得 2ab2=c2bc，结合余弦定理可求 A 的值，由基本不等式可求 bc4，再利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：因为：（2+b） （sinAsinB）=（c b）sinC（2+b） （ab） =（c b）c2ab2=c2bc，又因为：a=2，所以： ，ABC 面积 ，而 b2+c2a2=bcb2+c2bc=a2b2+c2bc=4bc4所以： ，即ABC 面积的最大值为 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题
