1、2015-2016 学年山东师大附中高三（上）第二次模拟数学试卷（理科）一、选择题（每题 5 分，满分 50 分）1 （5 分）已知集合 A=x|x22x30，B=x|log 2（x 2x）1则 AB=（ ）A （2，3） B （2，3 C （ 3，2） D3，2）2 （5 分）若 f（x）=sin（2x+） ，则“f（x）的图象关于 x= 对称”是“= ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件3 （5 分）已知 f（x）=e xx，g（x）=lnx+x+1，命题 p： xR，f（x）0，命题 q：x 0（0，+） ，使得 g（x 0）=0，则下列说法正确
2、的是（ ）Ap 是真命题，p：x 0R，f（x 0）0Bp 是假命题，p：x 0R，f（x 0）0Cq 是真命题，q：x（0，+） ，g（x）0Dq 是假命题，q：x（ 0，+ ） ，g（x）04 （5 分）若 （0， ） ，且 cos2+cos（ +2）= ，则 tan（ ）A B C D5 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则下列不等式恒成立的是（ ）Ax3 By4 Cx+2y 80 D2xy+106 （5 分）将函数 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的 2 倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（ ）A B C D7 （5 分）设函数 f（x）=e xex2x，下列结
3、论正确的是（ ）Af（2x） min=f（0） Bf（2x） max=f（0）Cf（2x）在（，+）上递减，无极值 Df （2x）在（ ，+）上递增，无极值8 （5 分）函数 y= 的图象与函数 y=2sinx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A2 B4 C6 D89 （5 分）若函数 f（x）= 的最小值为 f（0） ，则实数 a 的取值范围（ ）A1， 2 B 1，0 C1，2 D0，210 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+1）=f（x） ，当 时，f（x）=log 2（x+1） ，则 f（x）在区间 内是（ ）A减函数且 f（x）0 B减函数且 f（x
4、）0 C增函数且 f（x）0 D增函数且 f（x）0二、填空题（每题 5 分，满分 25 分）11 （5 分）已知函数 的定义域是 ，则实数 a 的值为 12 （5 分）直线 y=m（m0）与函数 y=|log2x|的图象交于 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） （x 1x 2） ，下列结论正确的是 （填序号）0x 11x 2；x 1x2=1； 2 +2 4；2 +2 413 （5 分）设 ，则 = 14 （5 分）若对任意的 x0，1，不等式 1ax 1bx 恒成立，则 a 的最小值为 ，b 的最大值为 15 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（1）=1 ，且 2f（
5、x）1，当 x0，2 时，不等式f（2cosx）2cos 2 的解集为 三、解答题（本题满分 75 分）16 （12 分）已知 是函数 图象的一条对称轴（1）求 a 的值；（2）求函数 f（x）的单调增区间；（3）作出函数 f（x）在 x0，上的图象简图（列表，画图） 17 （12 分）已知函数 的部分图象如图所示（1）求函数 y=f（x）的解析式；（2）将函数 y= sin2xcos2x 的图象做怎样的平移变换可以得到函数 f（x）的图象；（3）若方程 上有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围18 （12 分）设函数 f（x）=cos 2xasinx+2，若对于任意的实数 x，都有 f（x
6、）5，求实数 a 的范围19 （12 分）设函数 f（x）=（ax 2+x1）e x（a0） （1）讨论 f（x）的单调性；（2）当 a=1 时，函数 y=f（ x）与 g（x）= x3+ x2+m 的图象有三个不同的交点，求实数 m 的范围20 （13 分）已知函数 f（x） =lnxx2+x （1）求函数 f（x）的单调递减区间：（2）若对于任意的 x0，不等式 f（x）（ 1）x 2+ax1 恒成立，求整数 a 的最小值21 （14 分）设函数 f（x）=x 22x+alnx（1）当 a=2 时，求函数 f（x ）在点（1，f （1） ）处的切线方程；（2）若函数 f（x）存在两个极值点
7、 x1、x 2（x 1x 2） ，求实数 a 的范围；证明： ln22015-2016 学年山东师大附中高三（上）第二次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题 5 分，满分 50 分）1 （5 分） （2016 河南模拟）已知集合 A=x|x22x30，B=x|log 2（x 2x）1则 AB=（ ）A （2，3） B （2，3 C （ 3，2） D3，2）【分析】求出 A，B 中 x 的范围确定出 A，B ，再求出两集合的交集即可【解答】解：由 A 中不等式变形得：（ x3） （x+1）0，解得：1x 3，即 A=1， 3，由 log2（x 2x）1，得到 x2x20，即 x
8、 1 或 x2，B=（， 1） （2，+） ，由 B 中则 AB=（2，3，故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2015 临沂二模）若 f（x）=sin（2x+ ） ，则“f（x）的图象关于 x= 对称”是“= ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若 f（x）的图象关于 x= 对称，则 2 += +k，解得 = +k，kZ ，此时 = 不一定成立，反之成立，即“f（x）的图象关于 x= 对称”是“= ”的必要不充分条件，故
9、选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键3 （5 分） （2016 晋中模拟）已知 f（x）=e xx，g（x）=lnx+x+1，命题 p：x R，f（x）0，命题q：x 0（0，+） ，使得 g（x 0）=0，则下列说法正确的是（ ）Ap 是真命题，p：x 0R，f（x 0）0Bp 是假命题，p：x 0R，f（x 0）0Cq 是真命题，q：x（0，+） ，g（x）0Dq 是假命题，q：x（ 0，+ ） ，g（x）0【分析】利用导数和函数零点存在条件分别判断命题 p，q 的真假，结合含有量词的命题的否定进行判断即可【解答】解：f（x）=e x1，
10、由 f（x）0 得 x0，由 f（x）0 得 x0，即当 x=0 时，函数 f（x）取得极小值，同时也是最小值 f（0）=e 00=10=10，xR ，f （x）0 成立，即 p 是真命题g（x）=lnx+x+ 1 在（0，+）上为增函数，当 x0 时，g（x）0，g（1）=0+1+1=20，则：x 0（0，+） ，使得 g（x 0）=0 成立，即命题 q 是真命题则p： x0R，f（x 0）0，q：x（0，+） ，g（x）0，综上只有 C 成立，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断以及含有量词的命题的否定，利用函数的性质进行判断是解决本题的关键4 （5 分） （2016 安徽模拟）若
11、（0， ） ，且 cos2+cos（ +2）= ，则 tan（ ）A B C D【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求得 3tan2+20tan7=0，解方程求得 tan 的值【解答】解：若 ，且 ，则 cos2sin2= （cos 2+sin2） ， cos2 sin22sincos=0，即 3tan2+20tan7=0求得 tan= ，或 tan=7（舍去） ，故选：B【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式、二倍角公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题5 （5 分） （2015 青岛二模）设 x，y 满足约束条件 ，则下列不等式恒成立
12、的是（ ）Ax3 By4 Cx+2y 80 D2xy+10【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行判断即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则 C（2，3） ，B（2，5） ，则 x3，y4 不成立，作出直线 x+2y8=0，和 2xy+1=0，由图象可知 2xy+10 不成立，恒成立的是 x+2y80，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键6 （5 分） （2016 包头校级一模）将函数 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的 2 倍，所得函数 g（x）图象的一个对称中心可以是（ ）A B C D【分析】根据 y=Asin（
13、x+）的图象变换规律可得所得图象对应的函数为 y=sin（ x+ ） ，由x+ =k，kz ，可得对称中心的横坐标，从而得出结论【解答】解： ，由 ， ，令 故选：C【点评】本题主要考查 y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的对称中心，属于中档题7 （5 分） （2016 春 辽宁校级期中）设函数 f（x）=e xex2x，下列结论正确的是（ ）Af（2x） min=f（0） Bf（2x） max=f（0）Cf（2x）在（，+）上递减，无极值 Df （2x）在（ ，+）上递增，无极值【分析】求出函数的导数，判断导函数的符号，推出函数的单调性，推出结果即可【解答】解： ，f（x）在（，+
14、）上递增，无极值故选：D【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力8 （5 分） （2011 新课标）函数 y= 的图象与函数 y=2sinx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A2 B4 C6 D8【分析】 的图象由奇函数 的图象向右平移 1 个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数 y2=2sinx 的图象的一个对称中心也是点（1，0） ，故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为 2由此不难得到正确答案【解答】解：函数 ，y 2=2sinx 的图象有公共的对称中心（1，0） ，作出两个函数的图象如图当
15、 1x4 时，y 10而函数 y2 在（1，4）上出现 1.5 个周期的图象，在 和 上是减函数；在 和 上是增函数函数 y1 在（1，4）上函数值为负数，且与 y2 的图象有四个交点 E、F、G、H相应地，y 1 在（2，1）上函数值为正数，且与 y2 的图象有四个交点 A、B、C 、D且：x A+xH=xB+xGx C+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为 8故选 D【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数 y2=2sinx 的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在9 （5 分） （2015 秋 山东校级月考）若函数 f（x）= 的最小值为 f（0）
16、 ，则实数 a 的取值范围（ ）A1， 2 B 1，0 C1，2 D0，2【分析】由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得 2+aa 2，又 a0，从而解得 a 的范围【解答】解：当 x0 时，f（ x）=x + +a2+a；（当且仅当 x= ，即 x=1 时，等号成立） ；故当 x=1 时取得最小值 2+a，f（0）是函数 f（x）的最小值，当 x0 时，f（x）=（x a） 2 单调递减，故 a0，此时的最小值为 f（0）=a 2，故 2+aa 2，解得，21a2又 a0，可得 0a 2故选：D【点评】本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，注意运用基本不等式和二次函数的
17、单调性，属于中档题10 （5 分） （2015 青岛二模）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+1）=f（x） ，当 时，f（x）=log 2（x+1） ，则 f（x）在区间 内是（ ）A减函数且 f（x）0 B减函数且 f（x）0 C增函数且 f（x）0 D增函数且 f（x）0【分析】令 x ，利用已知表达式及函数的奇偶性知 f（x）=log 2x，从而可得答案【解答】解：设 x ，则 x1 ，根据题意，f（x）=f（x+1）=f（x1）=log2（x 1+1）=log2x，故选：B【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，属于基础题二、填空题（每题 5 分，满分 25 分）11 （5 分
18、） （2014 秋 苏州期末）已知函数 的定义域是 ，则实数 a 的值为 【分析】根据函数的定义域，得出 x 时，1 0；由此求出函数的自变量 xlog 2a；令 log2a= ，即可求出 a 的值【解答】解：函数 的定义域是 ，当 x 时，1 0；即 1，a2 x，xlog 2a；令 log2a= ，得 a= = ；实数 a 的值为 故答案为： 【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，即求使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目12 （5 分） （2015 秋 山东校级月考）直线 y=m（m 0）与函数 y=|log2x|的图象交于 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） （x 1
19、x 2） ，下列结论正确的是 （填序号）0x 11x 2；x 1x2=1； 2 +2 4；2 +2 4【分析】分别画出两函数的图象，根据图象的性质和基本不等式解题【解答】解：画出 f（x）的图象，该函数先减后增，在 x=1 处取得最小值 0，再画出直线 y=m，两图象交于 A，B，如右图（A 在 B 左边） ，此时，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由图可知，0x 11x 2，因为 y1=y2，所以， log2x1=log2x2，解得 x1x2=1，所以 x1+x22，根据基本不等式： 2 2 =4，且 x1x 2，所以， 4，综合以上分析：正确；正确；错误， 正确；故填：【点评
20、】本题主要考查了对数函数的图象和性质，以及基本不等式的应用，属于中档题13 （5 分） （2015 绥化一模）设 ，则 = 【分析】由于函数 f（x）为分段函数，则 = ，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值【解答】解：由于 ，定义当 x1，e时，f（x）= ，则 = = ，故答案为 【点评】本题考查微积分基本定理，要注意被积函数为分段函数时，在每段的端点处，都应使函数有意义14 （5 分） （2015 秋 山东校级月考）若对任意的 x0，1，不等式 1ax 1 bx 恒成立，则 a 的最小值为 ，b 的最大值为 1 【分析】分类讨论，并构造函数，f（x）=1 ，证明 f（x）在（0，1为减函数，问题得以解决【解答】解：对任意的 x0，1，不等式 1ax 1bx 恒成立，当 x=0 时，不等式显然成立，设 f（x）=1 ，当 x（0，1时，等价于 恒成立，显然 f（x）在（0，1上为增函数， f（x）= （1 ）= = = ， f（x）在（0，1为减函数，1 f（x） ，a ，且 b1
