1、2015-2016 学年四川省成都外国语学校高三（下）2 月月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1 （5 分）i 是虚数单位，复数（ 1i） 2 的虚部为（ ）A2 B2 C 2i D2i2 （5 分）已知幂函数 y=f（x）的图象过点（2， ） ，则（ ）Af（1）f （ 2） Bf（1）f（2）Cf（1）=f（2） Df（1）与 f（2）大小无法判定3 （5 分）ABC 中，AB 是 tanAtanB 的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不必要又不充分条件4 （5 分）已知两条不同的直线 l，m 和两个不同的平面 ，有如下命题：若 l，m，l
2、 ，m，则 ；若 l，l ，=m ，则 lm ；若 ，l ，则 l，其中正确命题的个数是（ ）A3 B2 C1 D05 （5 分）下列的算法流程图中，能够实现两个正整数的最大公约数的算法有（ ）个A1 B2 C3 D06 （5 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=2，AD=AA 1= 设长方体的截面四边形 ABC1D1 的内切圆为 O，圆 O 的正视图是椭圆 O，则椭圆 O的离心率等于（ ）A B C D7 （5 分）已知向量 =（cos ，sin ） ， =（cos ，sin） ，若（ ）= ，则向量 与向量 + 的夹角是（ ）A B C D8 （5 分）若实数 x，y 满
3、足不等式组 则 z=2|x|+y 的取值范围是（ ）A1， 3 B1，11 C1，3 D1，119 （5 分）已知双曲线 C： =1（a0，b0）左右顶点为 A1，A 2，左右焦点为 F1，F 2，P 为双曲线C 上异于顶点的一动点，直线 PA1 斜率为 k1，直线 PA2 斜率为 k2，且 k1k2=1，又PF 1F2 内切圆与 x 轴切于点（1，0） ，则双曲线方程为（ ）Ax 2y2=1 Bx 2 =1 Cx 2 =1 Dx 2 =110 （5 分）已知函数 f（x）定义域为（ 0，+） ，且满足 f（x）+xf （x）= ，f （e）= 则下列结论正确的是（ ）Af（x）有极大值无极小
4、值 Bf（x）有极小值无极大值Cf（x）既有极大值又有极小值 Df （x）没有极值二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）11 （5 分）已知集合 A=x| 0，B=x|log 2x2，则（ RA）B= 12 （5 分）计算 sin105cos105= 13 （5 分） 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于 14 （5 分）已知三棱锥 ABCD 中，AB面 BCD，BCD 为边长为 2 的正三角形，AB=2 ，则三棱锥的外接球体积为 15 （5 分）如图，在ABC 中， =0， =3 ，过点 D 的直线分别交直线 AB，AC 于点M，N若 = ， = （0， 0） ，则
5、 +2 的最小值是 三、解答题（共 6 小题，共 75 分）16 （12 分）已知在ABC 中，角 A、B 、C 的对边长分别为 a、b、c，已知向量=（sinA +sinC，sinBsinA） ， =（sinAsinC ，sinB） ，且 ，（1）求角 C 的大小；（2）若 ，试求 sin（AB ）的值17 （12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a1=2，a n+1=2Sn+2（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n的各项均为正数，且 bn 是 与 的等比中项，求 bn 的前 n 项和 Tn18 （12 分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，AD BC，A
6、BC=90 ，PD 平面ABCD，AD=1，AB= ，BC=4 （1）求证：BDPC；（2）若 PD=4，设点 E 在棱 PC 上， = ，求三棱锥 EPAB 的体积19 （12 分）如图是从成都某中学参加高三体育考试的学生中抽出的 60 名学生体育成绩（均为整数）的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间70，80）内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：（1）求成绩在区间70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；并估计这次考试的及格率（60 分及以上为及格） ；（2）假设成绩在80，90）内的学生中有 的成绩在 85 分以下，从成绩在80，90）内的学生中选出三人，记在 85 分
7、以上（含 85 分）的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望20 （13 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，它的一个顶点恰好是抛物线 x2=4y 的焦点（I）求椭圆 C 的方程；（）直线 x=2 与椭圆交于 P，Q 两点，P 点位于第一象限，A，B 是椭圆上位于直线 x=2 两侧的动点（i）若直线 AB 的斜率为 ，求四边形 APBQ 面积的最大值；（ii）当点 A，B 运动时，满足APQ=BPQ，问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由21 （14 分）已知函数 f（x） = （其中 a 为常数） （）当 a=0 时，求函数的单调区间；（） 当 0a1 时，设函
8、数 f（x）的 3 个极值点为 x1，x 2，x 3，且 x1x 2x 3证明：x 1+x3 2015-2016 学年四川省成都外国语学校高三（下）2 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1 （5 分） （2012 和平区校级模拟）i 是虚数单位，复数（1i ） 2 的虚部为（ ）A2 B2 C 2i D2i【分析】化简已知复数，由基本概念可得其虚部【解答】解：化简可得（1i） 2=12i+i2=12i1=2i，复数（1i） 2 的虚部为： 2故选：A【点评】本题考查复数的基本概念，属基础题2 （5 分） （2016 春 成都校级月考）已知幂函数
9、y=f（x）的图象过点（2， ） ，则（ ）Af（1）f （ 2） Bf（1）f（2）Cf（1）=f（2） Df（1）与 f（2）大小无法判定【分析】利用待定系数法求出幂函数 y=f（x）的解析式，判断 f（x）的单调性，即可得出结论【解答】解：设幂函数 y=f（x）=x ，其图象过点（2， ） ，2 = ，解得 = ，f（x）= ；f（x）在（0，+）上是单调减函数，f（1）f （2） 故选：A【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目3 （5 分） （2016 春 成都校级月考）ABC 中，A B 是 tanAtanB 的（ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件
10、D既不必要又不充分条件【分析】要判断 AB 是 tanAtanB 的什么条件，只要判断，其中一个成立时，另一个是否也成立即可，我们可以利用举反例进行判断【解答】解：当 A= ，B= 时，满足 AB，但是 tanA= ，tanB= ，tanAtanB，所以ABC 中， “AB”推不出 “tanAtanB”；当 tanAtanB ，取 A= ，B= ，满足 tanAtanB，推不出 AB ，“A B”是“tanAtanB”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题考查了充要条件的判断，做题时一定要细心，此题利用特殊值法进行判断会比较简单，是一道基础题4 （5 分） （2015 聊城二模）已知两条
11、不同的直线 l，m 和两个不同的平面 ，有如下命题：若 l，m，l ，m，则 ；若 l，l ，=m ，则 lm ；若 ，l ，则 l，其中正确命题的个数是（ ）A3 B2 C1 D0【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对三个命题分别分析解答【解答】解：对于，若 l，m ，l，m ，则 与 可能相交；故错误；对于，若 l，l ，=m，满足线面平行的性质定理，故 lm；故正确；对于，若 ，l ，如果 l，则 l；故 错误；故选 C【点评】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答5 （5 分） （2016 春 成都校级月考）下列的算法流程图中，能够实现两个正整
12、数的最大公约数的算法有（ ）个A1 B2 C3 D0【分析】先写出用辗转相除法和更相减损术求最大公约数的算法，模拟执行流程图，即可得解【解答】解：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里得算法，算法如下：第一步，输入两个正整数 m， n，第二步，m 除以 n 的余数是 r，接下来，将原来的除数作为新的被除数，原来的余数作为除数，继续上面的过程，直到余数 r=0，退出程序，输出两个正整数的最大公约数 m更相减损术，是出自九章算术的一种求最大公约数的算法，算法如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数若是，则用 2 约简；若不是则执行第二步第二步：以较大的数减较小的数
13、，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止则第一步中约掉的若干个 2 与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数结合算法，模拟执行流程图，即可得解能够实现两个正整数的最大公约数的算法有 3 个故选：C【点评】辗转相除法与更相减损术的区别：（1）都是求最大公因数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到6 （5 分） （2015 潍坊校级模拟）如图，
14、长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=2 ，AD=AA 1= 设长方体的截面四边形 ABC1D1 的内切圆为 O，圆 O 的正视图是椭圆 O，则椭圆 O的离心率等于（ ）A B C D【分析】根据题意，画出图形，结合图形，求出椭圆 O1 的长轴与短轴长，计算离心率 e 即可【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示：椭圆 O的长轴长为 2a=AB=2，短轴长为 2b=AA1= ，a=1，b= ，c= = = ，离心率为 e= = = 故选：B【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了椭圆的几何性质的应用问题，属于基础题7 （5 分） （2013 武侯区校级模拟）已知向量 =（
15、cos ， sin） ， =（cos ，sin） ，若（ ）= ，则向量 与向量 + 的夹角是（ ）A B C D【分析】利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的平方等于向量的平方求出 ；利用向量的数量积公式求出夹角余弦，求出夹角【解答】解：由已知 +sinsin=cos（ ）=3设向量 与向量 + 的夹角为 ，则 cos= =故选 B【点评】本题考查向量模的坐标形式的公式、向量的数量积表示向量的夹角、向量模的平方等于向量的平方8 （5 分） （2015 东城区二模）若实数 x，y 满足不等式组 则 z=2|x|+y 的取值范围是（ ）A1，
16、 3 B1，11 C1，3 D1，11【分析】先画出满足条件的平面区域，通过讨论 x 的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出 z 的范围【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然 x0 时，直线方程为：y=2x+z，过（0，1）时，z 最小，Z 最小值 =1，x0 时，直线方程为：y= 2x+z，过（6， 1）时，z 最大， Z 最大值 =11，故选：D【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题9 （5 分） （2016 春 成都校级月考）已知双曲线 C： =1（a 0，b0）左右顶点为 A1，A 2，左右焦点为 F1，F 2，P 为双曲线 C 上异于顶点
17、的一动点，直线 PA1 斜率为 k1，直线 PA2 斜率为 k2，且k1k2=1，又PF 1F2 内切圆与 x 轴切于点（1，0） ，则双曲线方程为（ ）Ax 2y2=1 Bx 2 =1 Cx 2 =1 Dx 2 =1【分析】设点 P 是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|PF 1|PF2|=2a，设三角形 PF1F2 的内切圆心在横轴上的投影为 A（x，0） ， B、C 分别为内切圆与 PF1、PF 2 的切点由同一点向圆引得两条切线相等知|PF1|PF2|=（PB +BF1）（PC+CF 2） ，由此得到PF 1F2 的内切圆的圆心横坐标即为 a=1，再由直线的斜率公式和点 P 满足双曲线
18、方程，化简整理，即可得到 b=1，进而得到双曲线方程【解答】解：设点 P 是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|PF 1|PF2|=2a，若设三角形 PF1F2 的内切圆心在横轴上的投影为 A（x，0） ，该点也是内切圆与横轴的切点设 B、C 分别为内切圆与 PF1、PF 2 的切点考虑到同一点向圆引的两条切线相等：则有：PF 1PF2=（PB +BF1）（PC+CF 2）=BF 1CF2=AF1F2A=（c+x） （c x）=2x=2a，即 x=a所以内切圆的圆心横坐标为 a由题意可得 a=1，顶点 A1（1，0） ，A 2（1，0） ，设 P（m，n） ，则 m2 =1，即 n2=b2（m
19、 21） ，k1k2=1，可得 =1，即有 =b2=1，即有双曲线的方程为 x2y2=1故选：A【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及直线的斜率公式的运用，切线的性质，考查运算能力，属于中档题10 （5 分） （2015 太原二模）已知函数 f（x）定义域为（0，+） ，且满足 f（x）+xf（x）= ，f（e）= 则下列结论正确的是（ ）Af（x）有极大值无极小值 Bf（x）有极小值无极大值Cf（x）既有极大值又有极小值 Df （x）没有极值【分析】由题意可得 xf（x） = （lnx） 2+c；再由 f（e）= 可得 c= ，从而可得 f（x）= （lnx）2+1） ；从而再求导判断即可【解答】解：f（x）+xf （x）= ，xf（x） = ，xf（x）= （lnx） 2+c；又f（e）= ，e = （lne） 2+c；故 c= ；故 f（x）= （ lnx） 2+1） ；f（x）= 0；故函数 f（x）在（0，+）上为减函数，故 f（x）没有极值；故选 D【点评】本题考查了导数的运算与积分的运算，同时考查了导数的综合应用，属于中档题
