1、新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数882010 考研强化班线形代数讲义主讲：尤承业欢迎使用新东方在线电子教材第五讲 线性方程组概念部分一. 线性方程组解的情况的判别即AXnxx21有解 可用 表示,1 )(),(221 nnrr.A有唯一解 .AXr)(判别其解的情况用三个数:未知数的个数 .)(,n 无解 .)()Ar 有唯一解 .(当 A 是方阵时,就推出克莱姆法则.) 有无穷多解 .nr)()方程的个数 m 虽然在判别公式中没有出现,但它是 和 的上界,因此)(Ar)新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数89当 时, 一定有解.mAr)
2、(X当 时,一定不是唯一解.n对于齐次方程组 ,判别解的情况用两个数: .0)(,Arn只有零解r)(有非零解.nAA 列满秩 只有零解.0X推论 1 当 A 列满秩时, A 在矩阵乘法中有左消去律:.;BCB证明 设 ， ,),(21t),(21tA则 . 都是 的解. sii ,0i 0X而 A 列满秩, 只有零解, ,即 .X,0sii B 推论 2 如果 A 列满秩,则 .)(rB证明 只用证明齐次方程组 和 同解.(此时矩阵 和 的列XA向量组有相同的线性关系,从而秩相等.)是 的解 是 的解. 0BX00BX二. 线性方程组的通解1. 齐次方程组 A(1) 解的性质:如果 是齐次方
3、程组 的一组解,则它们的任何线s,21 0A性组合 也都是解.scc1.)( 212 ss c(2) 齐次方程组的基础解系和通解如果齐次方程组 有非零解,则它的解集 J(全部解的集合)是无穷集,称 J 的每0AX个极大无关组为 的基础解系 .新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数90判别一组向量 是 的基础解系的条件为s,21 0AX 是 的一组解.s,21 线性无关.s 的每个解 可同 线性表示.0AXs,21于是, 当 是 的基础解系时:s,21 0AX向量 是 的解 可用 线性表示. s,21的通解为:0, 其中 可取任何常数.scc21 sc,21定理 设 有
4、n 个未知数,则 .即它的基础解系中包含解的AX)()(ArnJr个数为 .)(s于是“ 的每个解 可同 线性表示.”可换成0s,21 .)(rns推论 如果 , 为 的列数( 的行数),则 .ABBnBrA)(,则每个 都是齐次方程组 的解.即)(21s i0X是 的部分组。于是s, J)()(,()21 rnJrrs即 .nBAr(2.非齐次方程组 X(1) 非齐次方程组解的性质命题 1 如果 是 的一组解,则s,2 A 它们的线性组合 也是 解的scc21 AX.21scc 它们的线性组合 是 的解s21 0B新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数91.021sc
5、css AcAA 211 )(.2s命题 2 如果 是 的一个解,0X则: 向量 也是 的解 是导出齐次方程组 的解.00X命题 2 也就是说, 也是解 是 与导出组 的一个解的和.A(2) 非齐次方程组的通解如果 是非齐次方程组 的解, 是导出组 的基0 AXs,21础解系,则 的通解(一般解)为, 其中 可取任何常数.scc210 sc21例题部分一. 概念题例 1 和 都是 元方程组，判断下列断言的正确性.AX0Bn(1) 和 同解 .)(BrA(2) 和 同解.)(r0X(3) 的解都是 的解 . 0)(r(4) 的解都是 的解 .AXB(5) 的解都是 的解.0)(r0例 2 设 是
6、 矩阵,它的列向量组为 ,则nmn,21(A)如果非齐次方程组 有唯一解,则 ,并且 不为 0.mA(B)如果 线性相关,则非齐次方程组 有无穷多解.n,21 X(C)总存在 维向量 ,使得方程组 无解.A(D)如果 有唯一解, 则 .AX新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数92例 3 都是非齐次方程组 的解,其中 ,321,AXT)15,02(1 .则 的通解为 . T)09,(2)(r例 4 设 是 矩阵, ,则下列 4 个断言中不正确为( ).A(A) 只有零解. X(B) 有非零解. 0T(C) 对于任何 3 维向量 一定有解. XAT,(D) 对于任何 4
7、维向量 一定有解.例 5 线性方程组的通解可以表示为0213214xx(A) 任意. ccTT,),(),(B) 任意.T)0,1(021 (C) ， 任意. ),(),2(TT 21,c(D) 任意.21 ),(ccT二.计算题(求通解)二.计算题(求通解)例 6 齐次方程组 AX=0 的系数矩阵为1+a 1 1 12 2+a 2 2A = 3 3 3+a 3 , n n n n+a a 为什么数时 AX=0 有非零解?求通解.(04 一)解：当 时，显然 , 有非零时，并且它与00Ax同解。一个基础解系为：21nxx新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数93101,
8、01,121 n同解为 任意。121 ,nnccc当 时a nanaannnaA 11)(0201122 Cnnan 1101)(2010 于是，当 即 时02na )2(n方程组也有非零解，此时新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数940012110 nnC向量 是一个解，构成基础解系，同解为 ， 任意。T),21(c例 7 讨论 p,t 的取值对下面方程组解的影响, 并在有无穷多解时求通解.(96 四)txxp4321432161730解：（1） tptpA 01420813161732rBtp20083当 时方程组有无穷多解。 时 无解。2t t)(Ar（2） 时
9、8p得 的同解方程组010241rBAx新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数951244321xx令 得一特解 .,043 T)0,(0与 同解A4321xx基础解系： ， .T),(1T)1,2(2同解为 任意。20c1当 时 8pt0104rB同解方程组 12341x特解 T)0,(0的基础解系 ,AxT)12,(2同解 任意。,0c例 8 线性方程组的增广矩阵为又已知(1,-1,1,-1)T 是它的一个解.1042321baA(1) 用导出组的基础解系表示通解.(2) 写出满足 x2=x3 的全部解.(04 四)解：先用已知解求 代入得,（1） 已有了特解 ，且
10、再求 的基础解系。T)1,(0Ax新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数96 13100242321aaA10若 ，则12a 0132032B得同解方程组 4321x求得基础解系 ,T)0,(1T)2,01(2同解为 ， 任意。20c1若 ，则12a 210103B求出 的基础解系 ,同解 任意。AxT2,0c（2） 从原方程组的解中挑出满足 的3x当 时，原方程组的解01a223cx13新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数97即32x121cc1c得 ， 任意43c时，用同法求出只有一个解012a10例 9 已知线性方程组 354421432
11、1bxax有 3 个线性无关的解. 证明此方程组的系数矩阵 A 的秩为 2. 求 a,b 的值和方程组的通解.解：（1） ba31542)(r设 为原方程的 3 个无关解，则 为导出组的两个无关解，于是321,1312,而)(4Ar)(r（2） 13541barBa2452401新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数98由 得 求出 。2)(Ar054ba3,2ba 025143101B求出同解 ， 任意。10542031c21,c例 10 设线性方程组为342441333222111axax(1)证明当 两两不相等时,方程组无解.321,(2)设 ,并且(-1,1,1
12、)T 和(1,1,-1)T 都是解,求此方程组k4的通解.(94)解： 343214321aA（1）当 不等时， 无解。321,a3)(,)(Arr（2）此时，原方程组可化简为3321kxkx可用 和 代入求出 ，再求同解。T),(T)1,( 1,2k直接写出同解，已有了特解，和导出组的一个非零解 ,由于 ，T20,0k新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数9921kr是导出组的基础系同解： ， 任意。201c例 11 已知1(1,1,-1,-1)T 和2(1,0,-1,0)T 是线性方程组rtxtxsqp3214321的解,=(2,-2,1,1)T 是它的导出组的解,
13、求方程组的通解.解：已有了特解和导出组的两个无关解： ，它们构成导出组的基础解系。12,任意。2121,)(cc例 12 设矩阵 ,其中 线性无关, .又43A432, 321设 ，求 的通解.321AX解：方法一：先设定 满足需求。,43211004321方法二：原方程组 由条件得432xx 3232432321)(x41由 无关得321,新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数100求出通解 任意。10324321xc,012方法三：由条件 是一个特解。T,3)(nAr，021从而 是导出组的一个非零解，构成基础通解：T,任意c,012例 13 设矩阵 ，方程组 的通
14、解为 ,),(321AAXc.又设矩阵 其中TT4,)( ),(4321B,求方程组 的通解214 Y解：由条件 )(r32104由得 是 的一个特解。),(BY由得 是 的一个解。T23由 32114 而 0432得 的另一个解 ，0BYT,新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数101通解 任意。2121,043cc例 14 已知 3 阶矩阵 A 的第一行为(a,b,c),a,b,c 不全为 0, 矩阵 ,并kB63421且 , 求齐次线性方程组 的通解. 0B0X解： 说明1） 3)(rA2) B 的 3 个列向量 都是 的解。k6,4210AX对 k 讨论（1） ， ,则 .92)(r2)(,1)(rnr是两个无关解。通解 任意。k63,2 2121,63ckc（或 任意）2121,0cc（2） ， ,则 或 29k)(Br)(Ar 则 ，,A1n通解为 ，c 任意321新东方在线 2010 考研数学网络课堂电子教材系列 线性代数102 2)(,1)(Arnr此时 A 的第一行 是行向量一个极大无关组。,cba有同解方程 。0X0321cxba则 都是解，取其中非零的与 构成基础解系。acb, 3
