1、1xyF1 F2BA第 6 题图2012 届中山市四校联考 理科数学（龙山中学、中山实高、中山二中、桂山中学）（总分：150 分 时间：120 分钟）一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1、不等式 的解集是 （ 2370x）A、 B、 |1|23xx或C、 D、1|23x|2.下列结论错误的是 （ ）A若“p 且 q”与“ ”均为假命题，则 p 真 q 假.qp或B命题“ ”的否定是“ ”0,2xR0,2xRC “ ”是“ ”的充分不必要条件.1x3D “若 ”的逆命题为真.bama则,23在等差数列 中，其前 n 项和为 .若 , 是方程 的两个根，nnS2a100812x那么 的值
2、为 （ 1S）A.44 B.-44 C.66 D.-664、在 中， ，面积 ，则 等于 （ ABC160b， 320Sa）A. 49 B. 75 C. D. 515.抛物线 上一点 到焦点的距离为 3，则点 的横坐标 （ 24yxMMx）A1 B2 C3 D46. 已知点 F1、F 2 分别是椭圆 的左、右焦点，过 F1 且垂直2xyab于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点，若ABF 2 为正三角形，则该椭圆的离心率 是( )e2A B. C. D. 21317.若集合 的解集为空集，则实数 的值的集合是 （ 022axa）（A） （B） （C） （D ）80a88080a8在平面直线坐
3、标系 xoy 中，已知ABC 的顶点 A（4，0）和 C（4，0） ，顶点 B 在椭圆 （ Ayxsin1925上 ， 则） A、 B、 C、 D、345542第二卷9当 满足不等式组 时，目标函数 的最大值是 .xy、 021xyzxy10已知ABC 中，a= ,b= ,B=60,那么角 A 等于_ 311已知椭圆 的离心率 ，且它的焦点与双曲线 的焦点重台，则椭圆C2e24xy的方程为 12.设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则当 取得最大值时， 的值nSna41a50SnSn为 。13. 如图，把椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭圆的上2156xyAB8x半部分于
4、七个点， 是椭圆的一个焦点，则1234567,PPF.1 67FFP14.函数 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 上，)1,0(logaxya 01nymx其中 ，则 的最小值为 .0mnn213三、解答题(共 80 分)15. （本题 12 分）在 中， 为角 所对的三边，已知ABCcba、 CBA、22+cba（）求角 的值；A（）若 ， ，求 的长.33cosCc16、 （本题 12 分）（1 ）函数 的图像与 轴有交点，则实数 的范围；22()34mfxxxm（2）若 ，求 的最小值及相应的 的值； f（3 ）求与椭圆 有相同的焦点，且经过点 的椭圆的标准方程。2148xy(5,4
5、3)P17.（本题 14 分） 已知点 是 ： 上的任意一点，过 作 垂直 轴于 ,PO29xyPDx动点 满足 。Q23D（1）求动点 的轨迹方程；（2）若过点 的直线交动点 的轨迹于 、 两点，且 E 为线段 MN 的中点，求直线(1,)EQMN的方程。MN18 （ 本题 14 分）斜率为 的直线 l 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线相交于432ypx(1,0)FA、B 两点.（1 ）求该抛物线的标准方程和准线方程；（2 ）抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时，求ABP 面积的最大值 .419 （本题 14 分）某热电厂积极推进节能减排工作，技术改造项目“循 环 冷 却 水 系 统
6、”采用 双 曲 线 型 冷 却 塔 （如右图） ， 以 使 得 冷 却 器 中 排 出 的 热 水 在 其 中 冷 却 后 可 重 复 使 用 ， 从而 实 现 热 电 系 统 循 环 水 的 零 排 放 .（ 1） 冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，要求它的最小半径为 12 m，上口半径为 13 m，下口半径为 20 m，且双曲线的离心率为 ，试求冷却塔的高应当设34计为多少？（ 2） 该 项 目 首 次 需 投 入 资 金 4000 万 元 ， 每 年 节 能 后 可 增 加 收 入 600 万 元 . 投 入 使用 后 第 一 年 的 维 护 费 用 为 30 万 元
7、， 以 后 逐 年 递 增 20 万 元 . 为 使 年 平 均 节 能 减 排 收 益 达到 最 大 值 ， 多 少 年 后 报 废 该 套 冷 却 塔 系 统 比 较 适 合 ？20. （本题 14 分）已知二次函数 同时满足：不等式2fxaxR的解集有且只有一个元素；在定义域内存在 ，使得不等式0fx 120成立。设数列 的前12fnanSf项 和 ，P5（1）求数列 的通项公式；na（2）设 ,3nbb求 数 列 的 前 项 和 ；（3）设各项均不为零的数列 中，所有满足 这个数列c10iciA的 正 整 数 的 个 数 称 为的变号数。另nc1n na为 正 整 数 ， 求 数 列
8、的 变 号 数 。2012 届高二上学期段考 2 试题（理科数学）参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A D D A B D D C二、填空题（本大题 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 5 10. 11. 12. 4 或 5 13. 35 14. 8; 4218xy三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题 12 分）解:（） ， 22+cba221cosbcaAA03（）在 中， ， ， ABC33C216sin1cos由正弦定理知： = . ,s
9、iniaACsinacA632c26316.（ 1） （2） （3）（ -,+）357,x21064xy17、解：（1）设 ，依题意，则点 的坐标为 10(,),PxyQD0(,)x分6 2 分00(,)(,)DQxyPy又 4 分2302332xxy即 在 上，故 5 分PO209xy14x 点 的轨迹方程为 6 分Q14（2）假设椭圆 上存在两个不重合的两点 满足2194xy 12(,),MxyN因为 是线段 MN 的中点，且有 9 分(1,)E1212xyy即又 在椭圆 上12(,),MxyN2194x 两式相减，得 12 分22941xy12121212094xxyy 直线 MN 的方
10、程为 1249MNkx 9130xy 直线 的方程为 14 分130xy18. 解：（1 ）由焦点 ，得 ，解得 . （2 分）(1,0)F2p2所以抛物线的方程为 ，其准线方程为 ， （4 分）24yx1x（2 ）设 ， .1(,)Ax(,)B直线 l 的方程为 . （5 分）3与抛物线方程联立，得 ， （7 分）24(1)yx消去 y，整理得 ， （9 分）2170x ABFyxOAB7由抛物线的定义可知， .127254ABxp所以，线段 AB 的长为 . （13 分）5419. 解 ： （ 1） 如 图 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 . 设 双 曲 线 方 程 为 .21(0
11、,)xyabb由 题 意 可 知 ， ， ， 解 得 .（2 分）2a3412ce43c从 而 . （3 分）2(4)0bc 双 曲 线 方 程 为 . （4 分）21xy将 代 入 ， 解 得 ； 代 入 ， 解 得 . （6 分）13x5|320x80|3y所 以 ， 冷却塔的高为 . （7 分）281()m（ 2） 年 后 的 年 平 均 减 排 收 益 为n（9 分）2(1)603204105840nn. （11 分）41()581nA当 且 仅 当 即 时 等 号 成 立 . （12 分）02n所 以 ， 20 年 后 报 废 该 套 冷 却 塔 系 统 比 较 适 合 . （13
12、分）20（1） fx 的 解 集 有 且 只 有 一 个 元 素 。2404aaA或当 时，函数 20fx在 ， 上 递 增 ，故不存在 。1212,fxf使 得 不 等 式 成 立当 时，函数 ，4a24fx在 ， 上 递 减8故存在 12120,xfxf使 得 不 等 式 成 立 。综上，得 44,4nafS；1nS当 时 ，当 1225nn时 ， ,5na（2） 2341253n nT 513 得： 2345111253n nT 221313nnA 10 分11542632nnnT （3）解法一：由题设,25nc 时，n14803(25)3nnn 时，数列 递增3nc ，由 ，可知40a41025450a即 时，有且只有 1 个变号数n又 ，即 ，此处变号数有 2 个123,cc123,cc9综上得，数列 共有 3 个变号数，即变号数为 3 14 分nc解法二：由题设,14,25nn时，令 或2n19735002nc n或4又 ，即123,512c综上得，数列 共有 3 个变号数，即变号数为 3 14 分nc
