1、2015-2016 学年湖北省华师一附中、荆州中学、黄冈中学等八校高三（下）3 月联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=x|x22x30，B=x|y=ln（2x），则 AB=（ ）A （1，3） B （1，3 C 1，2） D （1，2）2 （5 分）若复数 z=（cos ）+（sin ）i 是纯虚数（ i 为虚数单位） ，则 tan（ ）的值为（ ）A7 B C 7 D7 或3 （5 分）在各项均为正数的等比数列a n中，a 1=2 且 a2，a 4+2，a 5 成等差
2、数列，记 Sn 是数列a n的前 n项和，则 S5=（ ）A32 B62 C27 D814 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x+） （ 0，| ）的最小正周期为 ，且其图象向左平移 个单位后得到函数 g（x）=cosx 的图象，则函数 f（x）的图象（ ）A关于直线 x= 对称 B关于直线 x= 对称C关于点（ ，0）对称 D关于点（ ，0）对称5 （5 分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（ ）A1 B C D6 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）=f（x） ，f（1+x）=f（1x） ，且当 x0，1，f（x
3、）=log2（x+1） ，则 f（31）= （ ）A0 B1 C2 D17 （5 分）若如图框图所给的程序运行结果为 S=41，则图中的判断框（1）中应填入的是（ ）Ai6？ Bi6？ Ci 5？ Di5？8 （5 分）有 6 名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4 号或 5 号选手得第一名；观众乙猜测：3 号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6 号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6 号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对比赛结果，此人是（ ）A甲 B乙 C丙 D丁9 （5 分）设 F1，F 2 为椭圆 =1 的两个焦点，点 P 在椭圆
4、上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则的值为（ ）A B C D10 （5 分）已知变量 x，y 满足 ，若目标函数 z=ax+y（a0）取到最大值 6，则 a 的值为（ ）A2 B C 或 2 D211 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 12 （5 分）已知直线 x9y8=0 与曲线 C：y=x 3px2+3x 相交于 A，B ，且曲线 C 在 A，B 处的切线平行，则实数 p 的值为（ ）A4 B4 或 3 C 3 或1 D3二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知
5、 m=3 sinxdx，则二项式（a+2b3c） m 的展开式中 ab2cm3 的系数为 14 （5 分）在 RtABC 中，A=90，AB=AC=2 ，点 D 为 AC 中点，点 E 满足 ，则 = 15 （5 分）已知双曲线 =1（a0，b0）的渐近线被圆 x2+y26x+5=0 截得的弦长为 2，则离心率e= 16 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，对任意 nN+，S n=（ 1） nan+ +n3 且（ta n+1） （t an）0 恒成立，则实数 t 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）在AB
6、C 中，角 A，B ，C 的对边分别为 abc，且满足 2bsin（C+ ）=a+c（I）求角 B 的大小；（）若点 M 为 BC 中点，且 AM=AC，求 sinBAC 18 （12 分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200 名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间（分钟）0，10）10，20）20，30）30，40）40，50）50，60）总人数 20 36 44 50 40 10将学生日均课外课外体育运动时间在40，60）上的学生评价为“课外体育达标” （）请根据上述表格中的统计数据填写下面
7、 22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标 课外体育达标 合计男女 20 110合计（）将上述调查所得到的频率视为概率现在从该校高三学生中，抽取 3 名学生，记被抽取的 3 名学生中的“ 课外体育达标” 学生人数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的数学期望和方差参考公式： ，其中 n=a+b+c+d参考数据：P（K 2k 0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819 （12 分）已知四棱锥 PA
8、BCD，底面 ABCD 是直角梯形，AD BC ，BCD=90 ，PA底面ABCD，ABM 是边长为 2 的等边三角形， （）求证：平面 PAM平面 PDM；（）若点 E 为 PC 中点，求二面角 PMDE 的余弦值20 （12 分）已知抛物线 x2=2py 上点 P 处的切线方程为 xy1=0（）求抛物线的方程；（）设 A（x 1，y 1）和 B（x 2，y 2）为抛物线上的两个动点，其中 y1y 2 且 y1+y2=4，线段 AB 的垂直平分线 l 与 y 轴交于点 C，求ABC 面积的最大值21 （12 分）已知函数 （）当 x（0，1）时，求 f（x）的单调性；（）若 h（x）=（x
9、2x） f（x） ，且方程 h（x）=m 有两个不相等的实数根 x1，x 2求证：x 1+x21选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，在锐角三角形 ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的圆 O 与边 BC，AC 另外的交点分别为 D，E，且 DFAC 于 F（）求证：DF 是O 的切线；（）若 CD=3， ，求 AB 的长选修 4-4：坐标系与参数方程 23以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 P 的直角坐标为（1，2） ，点 M 的极坐标为 ，若直线 l 过点 P，且倾斜角为 ，圆 C 以 M 为圆心，3 为半径（）求直线 l 的参数方程
10、和圆 C 的极坐标方程；（）设直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求|PA|PB|选修 4-5：不等式选讲24已知函数 的定义域为 R（）求实数 m 的范围；（）若 m 的最大值为 n，当正数 a，b 满足 时，求 4a+7b 的最小值2015-2016 学年湖北省华师一附中、荆州中学、黄冈中学等八校高三（下）3 月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2016 大庆校级二模）已知集合 A=x|x22x30，B=x|y=ln（2 x），则 AB=（ ）A （
11、1，3） B （1，3 C 1，2） D （1，2）【分析】化简集合 A、B，求出 AB 即可【解答】解：集合 A=x|x22x30= x|1x3= 1，3，B=x|y=ln（2x）= x|2x0=x|x2=（，2） ；AB=1，2 ） 故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2 （5 分） （2016 春 南城县校级期中）若复数 z=（cos ）+（sin ）i 是纯虚数（i 为虚数单位） ，则tan（ ）的值为（ ）A7 B C 7 D7 或【分析】复数 z=（cos ）+（sin ）i 是纯虚数，可得： cos =0，sin 0，于是 sin= ，再利用同角三角函数基本
12、关系式、和差化积公式即可得出【解答】解：复数 z=（cos ）+（sin ）i 是纯虚数，cos =0，sin 0，sin= ，tan= 则 tan（ ）= = =7故选：C【点评】本题考查了纯虚数的定义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3 （5 分） （2016 大庆校级二模）在各项均为正数的等比数列a n中，a 1=2 且 a2，a 4+2，a 5 成等差数列，记 Sn 是数列a n的前 n 项和，则 S5=（ ）A32 B62 C27 D81【分析】利用等差数列的性质及等比数列的通项公式求出公比，然后代入等比数列的前 n 项和公式得答案【解答】解：设各项均为正数的等比数
13、列a n的公比为 q，又 a1=2，则 a2=2q，a 4+2=2q3+2，a 5=2q4，a 2，a 4+2，a 5 成等差数列，4q 3+4=2q+2q4，2（q 3+1）=q（q 3+1） ，由 q0，解得 q=2， 故选：B【点评】本题考查等比数列前 n 项和，考查了等差数列性质的应用，是基础的计算题4 （5 分） （2016 秋 长沙校级月考）已知函数 f（x）=sin（x+） （0，| ）的最小正周期为，且其图象向左平移 个单位后得到函数 g（x）=cosx 的图象，则函数 f（x）的图象（ ）A关于直线 x= 对称 B关于直线 x= 对称C关于点（ ，0）对称 D关于点（ ，0）
14、对称【分析】利用正弦函数的周期性、函数 y=Asin（x+）的图象变换规律、诱导公式，求得 f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：函数 f（x）=sin（x+） （ 0，| ）的最小正周期为 ， =， =2把其图象向左平移 个单位后得到函数 g（x）=cosx=sin（2x+ +）的图象， +=k+ ，kZ，= ，f（x）=sin（2x ） 由于当 x= 时，函数 f（x）=0，故 A 不满足条件，而 C 满足条件；令 x= ，求得函数 f（x）=sin = ，故 B、D 不满足条件，故选：C【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、诱导公式，函数 y=Asin（x+
15、）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题5 （5 分） （2016 河南模拟）甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（ ）A1 B C D【分析】使用捆绑法分别计算甲乙相邻，和甲同时与乙，丙相邻的排队顺序个数，利用古典概型的概率公式得出概率【解答】解：甲乙相邻的排队顺序共有 2A =48 种，其中甲乙相邻，甲丙相邻的排队顺序共有 2A =12 种，甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为 故选：B【点评】本题考查了排列数公式的应用，古典概型的概率计算，属于基础题6 （5 分） （2016 江西校级三模）已知定义在 R 上的函数 f（x）满足
16、 f（x）=f（x） ，f（1+x）=f（1x） ，且当 x0，1，f（x）=log 2（x+1） ，则 f（31）=（ ）A0 B1 C2 D1【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为 4 的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论【解答】解：奇函数 f（x）满足 f（x+1）=f（1x） ，f（x+1）=f（1x）= f（x1） ，即 f（x+2）= f（x） ，则 f（x+4）= f（x+2）=f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4 的函数，当 x0，1时，f（x）=log 2（x+1） ，f（31）=f（321）=f（ 1）=f（1）=log 22=1，故选：D
17、【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件求出函数的周期性，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键7 （5 分） （2016 大庆校级二模）若如图框图所给的程序运行结果为 S=41，则图中的判断框（1）中应填入的是（ ）Ai6？ Bi6？ Ci 5？ Di5？【分析】模拟程序的运行，当 k=5 时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论【解答】解：模拟执行程序，可得i=10，S=1满足条件，执行循环体，第 1 次循环，S=11，K=9，满足条件，执行循环体，第 2 次循环，S=20，K=8，满足条件，执行循环体，第 3 次循环，S=28，K=7，满足条件，执行循环体，第 4 次循环
18、，S=35，K=6，满足条件，执行循环体，第 5 次循环，S=41，K=5，此时 S 不满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为 k5故选：C【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题8 （5 分） （2016 春 张家口期末）有 6 名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4 号或 5 号选手得第一名；观众乙猜测：3 号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6 号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6 号选手都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对比赛结果，此人是（ ）A甲 B乙 C丙 D丁【分析
19、】本题应用了合情推理【解答】解：假设甲猜对，则乙也猜对了，所以假设不成立；假设乙猜对，则丙、丁中必有一人对，所以假设不成立；假设丙猜对，则乙一定对，假设不成立；假设丁猜对，则甲、乙、丙都错，假设成立，故选：D【点评】本题考查了合情推理，属于易考题型9 （5 分） （2016 大庆校级二模）设 F1，F 2 为椭圆 =1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则 的值为（ ）A B C D【分析】求得椭圆的 a，b，c，运用椭圆的定义和三角形的中位线定理，可得 PF2x 轴，|PF2|= ，|PF 1|= ，计算即可所求值【解答】解：椭圆 =1 的 a=3，b= ，c
20、= =2，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF2|=2a=6，由中位线定理可得 PF2x 轴，令 x=2，可得 y= = ，即有|PF 2|= ，|PF 1|=6 = ，则 = 故选：C【点评】本题考查椭圆的定义，三角形的中位线定理的运用，考查运算能力，属于基础题10 （5 分） （2016 春 黄冈校级月考）已知变量 x，y 满足 ，若目标函数 z=ax+y（a0）取到最大值 6，则 a 的值为（ ）A2 B C 或 2 D2【分析】画出满足条件的平面区域，求出 A，B 的坐标，由 z=ax+y 得：y=ax+z，结合函数的图象显然直线 y=ax+z 过 A，B 时，z 最大，求出 a 的值
21、即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由 ，解得： ，由 z=ax+y 得： y=ax+z，当直线 y=ax+z 过 A（1，4）时，B （4，1） ，z 最大，此时，6=a+4，或 6=4a+1，解得：a=2 或 a= ，故选：C【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题11 （5 分） （2016 春 黄冈校级月考）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 OABCD，正方体的棱长为 2，A，D 为棱的中点，利用球的几何性质求解即可【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 OABCD，正方体的棱长为 2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过 A，D 的平行于底面的中截面上，设球心到截面 BCO 的距离为 x，则到 AD 的距离为：2x，R 2=x2+（ ） 2，R 2=12+（2 x） 2，
