1、2015-2016 学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）1 （3 分）已知集合 A=x|x+1|2，x z，B=y|y=x 2，1x1，则 AB=（ ）A （，1 B 1，1 C0，1 D1，0，12 （3 分）若 z 是复数，且（3+z）i=1 （i 为虚数单位） ，则 z 的值为（ ）A3+i B3 i C3+i D3i3 （3 分）已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为（ ）A ，S 2 甲 S 2 乙 B ，S 2 甲 S 2 乙C ，S 2
2、 甲 S 2 乙 D ，S 2 甲 S 2 乙4 （3 分）设 x，y 满足 ，若目标函数 z=ax+y（a0）最大值为 14，则 a 为（ ）A B23 C2 D15 （3 分）设 Sn 是等比数列a n的前 n 项的和，S m1=45，S m=93，则 Sm+1=189，则 m=（ ）A6 B5 C4 D36 （3 分）在ABC 中，点 D 满足 ，点 E 是线段 AD 上的一个动点，若 ，则t=（ 1） 2+2 的最小值是（ ）A B C D7 （3 分）设集合 I=1，2，3，4，5选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数，则不同的选择方法共有（
3、）A50 种 B49 种 C48 种 D47 种8 （3 分）设集合 A=1，2，B=1，2，3，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确定平面上的一个点 P（a，b） ，记“点 P（a，b）落在直线 x+y=n 上” 为事件 Cn（2n5，nN） ，若事件 Cn 的概率最大，则 n 的所有可能值为（ ）A3 B4 C2 和 5 D3 和 49 （3 分）已知函数 f（x）= ，若存在 x1，x 2，当 0x 14x 26 时，f （x 1）=f（x 2） ，则 x1f（x 2）的取值范围是（ ）A0，1） B1，4 C1，6 D0，1 3，810 （3 分）某几何体的三视图如图
4、所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）A10+6 +4（cm 2） B16+6 +4（cm 2） C12+4 （cm 2） D22+4（cm 2）11 （3 分）已知抛物线 C1： y= x2（p0）的焦点与双曲线 C2： y2=1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M，若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p=（ ）A B C D12 （3 分）关于曲线 C： ，给出下列四个命题：A曲线 C 关于原点对称 B曲线 C 有且只有两条对称轴C曲线 C 的周长 l 满足 D曲线 C 上的点到原点的距离的最小值为上述命题中，真命题的个数是（ ）A1
5、B2 C3 D4二、填空题（本大题共四小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的 A 地测得塔尖的仰角为 45，沿着 A 向北偏东30前进 100 米到达 B 地（假设 A 和 B 在海拔相同的地面上） ，在 B 地测得塔尖的仰角为 30，则塔高为 米14 （5 分）在（1+x）+（1+x） 2+（1+x） 9 的展开式中，x 2 项的系数是 （用数字作答）15 （5 分）已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线 =1（a0，b0）交于 A、B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 16 （5 分）半
6、径为 1 的球的内部有 4 个大小相同的半径为 r 的小球，则小球半径 r 可能的最大值为 三、解答题（本大题共六小题共 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）已知函数（）求 f（x）的单调递减区间；（）将函数 y=f（x）的图象向左平移 个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象，求函数 y=g（x）在 ，0上的值域18 （12 分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，AD BC，ABC=90 ，PD 面ABCDAD=1， ，BC=4（1）求证：BDPC；（2）求直线 AB 与平面 PDC 所
7、成角；（3）设点 E 在棱 PC、上， ，若 DE面 PAB，求 的值19 （12 分）微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商） 为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各 50 名其中每天玩微信时间超过 6 小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控” ，调查结果如表：微信控 非微信控 合计男性 26 24 50女性 30 20 50合计 56 44 100（1）根据以上数据，能否有 60%的把握认为“ 微信控”与“ 性别”有
8、关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取的 5 人中“微信控”和 “非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的 5 人中再随机抽取 3 人赠送价值 200 元的护肤品套装，记这 3 人中“微信控” 的人数为 X，试求 X 的分布列及数学期望参考公式： ，其中 n=a+b+c+d P（K2k 0）0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010k0 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63520 （12 分）已知椭圆 的两个焦点分别为 F1（c，0）和 F2（c，0） （c0） ，过点的直线与椭圆相交于
9、 A，B 两点，且 F1AF 2B，|F 1A|=2|F2B|（1）求椭圆的离心率；（2）求直线 AB 的斜率；（3）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 F2B 上有一点 H（m，n） （m 0）在AF 1C 的外接圆上，求 的值21 （12 分）设函数 （1）求 f（x）的单调区间和极值；（2）是否存在实数 a，使得关于 x 的不等式 f（x）a 的解集为（ 0，+）？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，试说明理由选修 4 一 1：几何证明选讲22 （10 分）已知 AB 为半圆 O 的直径，AB=4，C 为半圆上一点，过点 C 作半圆的切线 CD，过点 A 作ADCD 于 D，交
10、半圆于点 E，DE=1 （）求证：AC 平分BAD；（）求 BC 的长选修 4-4：坐标系与参数方程23 （10 分）已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程是以极点为原点，极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系，点 M（1，0） ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点（1）写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程；（2）线段 MA，MB 长度分别记|MA |，|MB |，求|MA| |MB|的值选修 4 一 5 不等式选讲24 （10 分）设函数 f（x）=|x 1|+|x2|（1）求不等式 f（x）3 的解集；（2）若不等式|a+b|a b|a|f（x）
11、 （a0，aR，bR）恒成立，求实数 x 的范围2015-2016 学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）1 （3 分） （2015 秋 衡水校级月考）已知集合 A=x|x+1|2，xz，B=y|y=x 2，1x1，则AB=（ ）A （，1 B 1，1 C0，1 D1，0，1【分析】分别求出 A 和 B，由此能求出 AB【解答】解：集合 A=x|x+1|2，x z=x|3 x1，xZ=3， 2， 1，0，1，B=y|y=x2，1 x1= y|0y1，AB=0，1故选：C【点评】本题考查交集的求法，是基础题，
12、解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用2 （3 分） （2010 宿州三模）若 z 是复数，且（3+z ）i=1（i 为虚数单位） ，则 z 的值为（ ）A3+i B3 i C3+i D3i【分析】由（3+z）i=1，可得 z= ，再利用两个复数代数形式的除法法则，运算求出 z 的值【解答】解：（3+z）i=1，z= =3i，故选 B【点评】本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题3 （3 分） （2015 秋 衡水校级月考）已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为（ ）A ，S 2 甲 S 2 乙 B ，S 2
13、甲 S 2 乙C ，S 2 甲 S 2 乙 D ，S 2 甲 S 2 乙【分析】由茎叶图，分别求出 和 ，由茎叶图知：甲的数据较分散，乙的数所较集中，由此能求出结果【解答】解：由茎叶图，得：= （15+24+23+31+36+37+39+49+44+50）=34.8，= （18+16+14+13+28+26+23+51）=23.625， ，又由茎叶图知：甲的数据较分散，乙的数所较集中， ，故选：D【点评】本题考查两组数据的平均数、方差的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用4 （3 分） （2014 贵州校级模拟）设 x，y 满足 ，若目标函数 z=ax+y（a0）最大值为
14、14，则 a 为（ ）A B23 C2 D1【分析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值求出 a 的值【解答】解：画出约束条件 的可行域，如图：目标函数 z=ax+y（a0）最大值为 14，即目标函数 z=ax+y（a 0）在 的交点 M（4，6）处，目标函数 z 最大值为 14，所以 4a+6=14，所以 a=2故选 C【点评】本题直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，正确作出可行域是解题的关键5 （3 分） （2015 秋 衡水校级月考）设 Sn 是等比数列a n的前 n 项的和，S m1=45，S m=93，则 Sm+1=18
15、9，则 m=（ ）A6 B5 C4 D3【分析】由题意得 = = =2，再由 Sm= =93 解得 a1=3，从而求 m【解答】解： = = =2，S m= = =93，故 a1=3，故 am=32m1=48，解得，m=5，故选 B【点评】本题考查了等比数列前 n 项和公式与通项公式的应用6 （3 分） （2015 常德一模）在ABC 中，点 D 满足 ，点 E 是线段 AD 上的一个动点，若，则 t=（1） 2+2 的最小值是（ ）A B C D【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数 k， ，0k1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到 ，从而得到 代入 t，进行配方即可
16、求出 t 的最小值【解答】解：如图，E 在线段 AD 上，所以存在实数 k 使得 ； = = ； ； = ； 时，t 取最小值 故选：C【点评】考查共线向量基本定理，向量的加法、减法的几何意义，以及平面向量基本定理，配方法求二次函数最值7 （3 分） （2011 泸州一模）设集合 I=1，2，3，4，5选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）A50 种 B49 种 C48 种 D47 种【分析】解法一，根据题意，按 A、B 的元素数目不同，分 9 种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B 中最小的数
17、大于 A 中最大的数，则集合 A、B 中没有相同的元素，且都不是空集，按 A、B 中元素数目这和的情况，分 4 种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案【解答】解：解法一，若集合 A、B 中分别有一个元素，则选法种数有 C52=10 种；若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有 C53=10 种；若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有三个元素，则选法种数有 C54=5 种；若集合 A 中有一个元素，集合 B 中有四个元素，则选法种数有 C55=1 种；若集合 A 中有两个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 C53=10 种；若集合 A 中有两个元素，集合
18、 B 中有两个元素，则选法种数有 C54=5 种；若集合 A 中有两个元素，集合 B 中有三个元素，则选法种数有 C55=1 种；若集合 A 中有三个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 C54=5 种；若集合 A 中有三个元素，集合 B 中有两个元素，则选法种数有 C55=1 种；若集合 A 中有四个元素，集合 B 中有一个元素，则选法种数有 C55=1 种；总计有 49 种，选 B解法二：集合 A、B 中没有相同的元素，且都不是空集，从 5 个元素中选出 2 个元素，有 C52=10 种选法，小的给 A 集合，大的给 B 集合；从 5 个元素中选出 3 个元素，有 C53=10 种选
19、法，再分成 1、2 两组，较小元素的一组给 A 集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有 210=20 种方法；从 5 个元素中选出 4 个元素，有 C54=5 种选法，再分成 1、3；2、2；3、1 两组，较小元素的一组给 A 集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有 35=15 种方法；从 5 个元素中选出 5 个元素，有 C55=1 种选法，再分成 1、4；2、3；3、2；4、1 两组，较小元素的一组给 A 集合，较大元素的一组的给 B 集合，共有 41=4 种方法；总计为 10+20+15+4=49 种方法选 B【点评】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，进而区别运用8 （
20、3 分） （2007 山东）设集合 A=1，2，B=1，2，3 ，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确定平面上的一个点 P（a，b） ，记“点 P（a，b）落在直线 x+y=n 上” 为事件 Cn（2n5，nN） ，若事件Cn 的概率最大，则 n 的所有可能值为（ ）A3 B4 C2 和 5 D3 和 4【分析】分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，组成一个有序数对，共有 23 中方法，要计算事件Cn 的概率最大时 n 的所有可能值，要把题目中所有的情况进行分析求解，比较出 n 的所有可能值【解答】解：事件 Cn 的总事件数为 6只要求出当 n=2，3，4，5
21、时的基本事件个数即可当 n=2 时，落在直线 x+y=2 上的点为（1，1） ；当 n=3 时，落在直线 x+y=3 上的点为（1，2） 、 （2，1） ；当 n=4 时，落在直线 x+y=4 上的点为（1，3） 、 （2，2） ；当 n=5 时，落在直线 x+y=5 上的点为（2，3） ；显然当 n=3，4 时，事件 Cn 的概率最大为 ，故选 D【点评】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点9 （3 分） （2015 泸州模拟）已知函数 f（x）= ，若存在 x1，x 2，
22、当0x 14x 26 时，f（x 1） =f（x 2） ，则 x1f（x 2）的取值范围是（ ）A0，1） B1，4 C1，6 D0，1 3，8【分析】根据已知将 x1f（x 2）转化为 x1f（x 1） ，再根据函数 y=xf（x）的性质求解【解答】解：当 0x 14x 26 时，因为 f（x 1）=f（x 2） ，由 f（x 1）=f（x 2）=1 或 f（x 1）=f（x 2）=2，得到 x1 的取值范围是1，3，所以 x1f（x 2）=x 1f（x 1）=x 1（1 |x1|2）= ，即 x1f（x 2）的范围是1，4故选 B【点评】本题考查了分段函数的有关性质，体现了转化与化归的思想
23、10 （3 分） （2015 池州二模）某几何体的三视图如图所示，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）A10+6 +4（cm 2） B16+6 +4（cm 2） C12+4 （cm 2） D22+4（cm 2）【分析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰长为 2 的等腰直角三角形，高是 3，圆柱的底面半径是 1，高是 3，写出表面积【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为 2 的等腰直角三角形，高是 3，半圆柱的底面半径是 1，高是 3，组合体的表面积是 22+2 3+23+132=10+6
24、 +4故选：A【点评】本题考查由三视图还原几何体的直观图，解题时要注意，本题要求组合体的表面积，注意有一部分面积在两个图形拼接时去掉了，注意运算时不要忽略11 （3 分） （2015 贵阳一模）已知抛物线 C1：y= x2（p0）的焦点与双曲线 C2： y2=1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M，若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p=（ ）A B C D【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数 y=x2（p0）在 x 取直线与抛物线交点 M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与 p
25、的关系，把 M 点的坐标代入直线方程即可求得 p 的值【解答】解：由抛物线 C1： y= x2（p0）得 x2=2py（p0） ，所以抛物线的焦点坐标为 F（0， ） 由 y2=1 得 a= ，b=1，c=2所以双曲线的右焦点为（2，0） 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为 ，即 设该直线交抛物线于 M（ ） ，则 C1 在点 M 处的切线的斜率为 由题意可知 = ，得 x0= ，代入 M 点得 M（ ， ）把 M 点代入得： 解得 p= 故选：D【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题12 （3 分） （2015 唐山三模）关于曲线 C： ，给出下列四个命题：A曲线 C 关于原点对称 B曲线 C 有且只有两条对称轴C曲线 C 的周长 l 满足 D曲线 C 上的点到原点的距离的最小值为上述命题中，真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可【解答】解：把曲线 C 中的（ x，y ）同时换成（ x，y ） ，方程不变，曲线 C 关于原点对称，即 A 正确；
