上海市黄浦区2013届高三第一学期期终考试数学试卷(文科).doc

1、金太阳新课标资源网 第 1 页 共 13 页 金太阳新课标资源网 （解析版）上海市黄浦区 2013 届高三第一学期期终考试数学试卷( 文科) 2013 年 1 月 17 日考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3本试卷共 23 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟一、填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分1函数 的最小正周期为 sin2yx【答案】 【 解析】

2、因为 ，所以函数的最小正周期为 。2T2 已知集合 ， ，则 |03Ax2|4BxAB【答案】 (,3)【 解析】因为 ，所以 。2|42Bxx或 23(,)x3若 ( 为虚数单位)为纯虚数，则实数 的值为 (1i)zai a【答案】2【 解析】因为 为纯虚数，所以 ，(2i)2(1)zai20,(1)0a解得 。a4若数列 的通项公式为 ，则 n 3n(*)N12lim4na【答案】 12【 解析】因为 ，所以 , ，所以3na(*)134nan15a。124529limlilim44nnna 金太阳新课标资源网 第 2 页 共 13 页 金太阳新课标资源网 5若双曲线 的一条渐近线过点

3、P(1, 2)，则 b 的值为_21(0)4xyb【答案】4【 解析】双曲线的渐近线方程为 ，因为点 P(1, 2)在第一象限，所以点 P(1, 2)在2byx渐近线 上，所以有 ，所以 。2byx246已知 ， ，则 的值为 1tan=1ta()3tan(2)【答案】 【 解析】因为 所以tan()tatan(2)tan()1nbbb-=-=+。tan(2)b-=13()2-+7已知直线 ： 和 ： ，则 的充要条件是 = 1l0xayl(2)360axya1l2a【答案】3【 解析】因为 的斜截式方程为 ，斜率存在为2:()360laxya23ayx，所以直线 的斜率也存在所以 ，即 ，所

4、以23ak1:l 012:la要使 ，则有 ，解得 或 且 ，所以 。1l2 2,aa3a38 的展开式中 的系数是 （用数字作答） 9()x5x【答案】36【 解析】展开式的通项为 ，由 ，得 ，所以9921()kkkTCxx52k，所以 的系数是 36.25396TCx5x9执行右边的程序框图，若 0p，则输出的 S = 金太阳新课标资源网 第 3 页 共 13 页 金太阳新课标资源网 【答案】81【 解析】由程序框图可知该程序是计算 .当 10p时，由13(2)Sn得 ，所以所求的 。10n9 7913(29)8S10盒中装有形状、大小完全相同的 7 个球，其中红色球 4 个，黄色球

5、3 个若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 【答案】 47【 解析】从 7 个球中取 2 个有 种，颜色不同的有 ，所以取出的 2 个球颜色不同27C143C的概率等于 。14327C11已知 xf3log)(2)0(，且函数 有且仅有两个零点，则实数()Fxfaa的取值范围是 金太阳新课标资源网 第 4 页 共 13 页 金太阳新课标资源网 【答案】 (,1【 解析】由 )(0Fxfa得 ()fxa，设 (),yfxa。做出函数xf3log)(2)0(的图象， 当 1yx时，直线1y与 yf有两个交点，所以要使 ()Fxfa有且仅有两个零点，则有 ，即实数 a的

6、取值范围是 。a(,112已知函数 ( 且 )满足 ，若 是 的反函数，则关)xf0a(2)3f1()fxf于 x 的不等式 的解集是 1【答案】 (,)a【 解析】因为 ，所以 ，解得 。因为 是 的2(3)f23a01a1()yfx()yfx反函数，所以 ， 。所以由 得 ，即1logyx01()fxloga，解得 ，即不等式 的解集是 。01xa()f1,)13 已知抛物线 上一点 (m0)到其焦点 F 的距离为 5，该抛物线的2(0)ypx1,M顶点在直线 MF 上的射影为点 P，则点 P 的坐标为 【答案】 648(,)25【 解析】抛物线的焦点坐标 ，准线方程为 。因为 ，(,0)

7、2pF2px1()52pMF所以解得 。所以抛物线方程为 ，即 ，所以 。即 ， 则8p16y16m4,直线 MF 的方程为 ，斜率为 。因为 ,所以 的斜率为 ，43x43OP34金太阳新课标资源网 第 5 页 共 13 页 金太阳新课标资源网 即直线 的方程为 ，即 所以由 解得 ，即OP34yx0y43160xy64258xy点 P 的坐标为 。68(,)2514已知命题“若 ， ，则集合2fxm2()gxm”1|(), xfg是假命题，则实数 的取值范围是 【答案】 (7,0)【 解析】题意即不等式 在 时有解. )(xgf12mx222)(2mx令 ，则 ，又令 ，则 的图像是直线

8、，不等式t14tmtth)()2)(th有解的充要条件是 ，或 ，或0)(th104024222m ，或 -7-x20，f(x) 在0,+) 上单调递增，f (-x1) f(-x2)f(0)=0 f 2(-x1) f 2 (-x2) f 2(x1) f 2 (x2)，f (x1) f(-x1)=- f 2(x1)- f 2(x2)= f(x2) f(-x2) y=f(x)f(-x)在(-,0上单调递增，故 对.所以选 B.三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤金太阳新课标资源网 第 7 页 共 13 页 金太阳新课标资

9、源网 N PMD CBAFD1 C1B1A1D CBAE19 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分如图所示，在棱长为 2 的正方体 中， , 分别为线段 , 的ABCDF中点（1 ）求三棱锥 的体积； EF（2 ）求异面直线 与 所成的角20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，且 A, B, C 成等差数列（1 ）若 ，且 ，求 的值；3b（2 ）若 ，求 的取值范围sin1coMA21 （本题满分 14 分）本题

10、共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分如图所示， 是一个矩形花坛，其中 AB= 6 米，AD = 4 米现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园 ，要求：B 在 上，D 在 上，对角线ABAMPNAN过 C 点， 且矩形 的面积小于 150 平方米 MN（1 ）设 长为 米，矩形 的面积为 平方米，试用解析式将 表示成 的函xSSx数，并写出该函数的定义域；（2 ）当 的长度是多少时，矩形 的面积最小? 并求最小面积AAP22 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小金太阳新课标资源网 第 8

11、页 共 13 页 金太阳新课标资源网 题满分 6 分给定椭圆 ： ，称圆心在原点 O、半径是 的圆为椭圆 CC21(0)xyab2ab的“准圆” 已知椭圆 C 的一个焦点为 ，其短轴的一个端点到点 F 的距离为 (2,0)F 3（1 ）求椭圆 C 和其“准圆”的方程； （2 ）过椭圆 C 的“准圆”与 轴正半轴的交点 P 作直线 ，使得 与椭圆 C 都只y12,l12,l有一个交点，求 的方程；12,l（3 ）若点 是椭圆 的“准圆 ”与 轴正半轴的交点， 是椭圆 上的两相异点，Ax,BD且 轴，求 的取值范围BDxBD23 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分

12、，第 2 小题满分 7 分，第 3小题满分 8 分对于函数 与常数 ，若 恒成立，则称 为函数()yfx,ab(2)(fxafb(,)ab的一个“P 数对” 设函数 的定义域为 ，且 )(xf R(1)3f（1 ）若 是 的一个“P 数对” ，求 ；(,)(fx10(2)f（2 ）若 是 的一个 “P 数对” ，且当 时 ，求 在,0) ,x()fx2)k()fx区间 上的最大值与最小值；1,)n(*N（3 ）若 是增函数，且 是 的一个“P 数对” ，试比较下列各组中两个式fx(2,)(fx子的大小，并说明理由 与 ； 与 (2)nf(*)Nn()fx21(,2*)Nnx金太阳新课标资源网

13、 第 9 页 共 13 页 金太阳新课标资源网 EA BCDA1 B1C1D1F参考答案一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得 4 分，否则一律得零分1 ； 2 ； 32； 4 ； 54 6 ； 73 ； 836； (,)1219 81； 10 ； 11 12 ； 13 ； 7(,(,)a64(,)2514 (,0)二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分15 A 16D 17C 18B三、解答题（本

14、大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤19 （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分解：（1）在正方体 中，1ABCD 是 的中点，F ， 3 分22CDACS又 平面 ，即 平面 ，EBECDF故 ，1133CDFFVS所以三棱锥 的体积为 6 分A（2 ）连 ，由 、 分别为线段 、 的中点，1BE1DB可得 ，故 即为异面直线 与 所成的角 8 分FD1BCEFC 平面 ， 平面 ， ，C1111D在 中， ， ，Rt1B212C金太阳新课标资源网 第 10 页 共 13

15、页 金太阳新课标资源网 N PMD CBA ， 11tan2DCB1arctn2BC所以异面直线 EF 与 所成的角为 12 分rt20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分解：（1） A、 B、 C 成等差数列，,BAC又 ， ， 2 分 3由 得， ， 4 分2cosa6ac又由余弦定理得 22,3b ， 6 分218ac24ac由、得， 8 分6（2 ） 3sin3cosin1AMA11 分si()由（1）得 ， ， 3B23AC由 且 ，可得 故 ，20C0,3A所以 ，sin()(3,)A即 的取值范围为 14 分M(,)21

16、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分解：（1）由NDC NAM ，可得 ，DNCAM ，即 ，3 分46xAM64x故 ， 5 分2SN金太阳新课标资源网 第 11 页 共 13 页 金太阳新课标资源网 由 且 ，可得 ，解得 ，261504xS4x2510x520x故所求函数的解析式为 ，定义域为 8 分6S(,2)（2 ）令 ，则由 ，可得 ，4xt(5,20)x1,6t故 10 分226()168Stt， 12 分1(8)9t当且仅当 ，即 时 又 ，故当 时， 取最小值 966t4t96S4(1,6)4tS故当 的长为 时，

17、矩形 的面积最小，最小面积为 （平方米）14 分AN8AMPN9622 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分解：（1）由题意知 ，且 ，可得 ，2c23abc1b故椭圆 C 的方程为 ，其“准圆”方程为 4 分13xy24xy（2 ）由题意可得 点坐标为 ，设直线 过 且与椭圆 C 只有一个交点，P(0,2)lP则直线 的方程可设为 ，将其代入椭圆方程可得 6 分lykx，即 ，223()xk2(31)90kx由 ，解得 ， 8 分160k所以直线 的方程为 ， 的方程为 ，1l2yxl2yx或直线 的方程为 ，

18、 的方程为 10 分2（3 ）由题意，可设 ，则有 ，(,),)BmnD(3)m213n又 A 点坐标为 ，故 ， 12 分2,02,A故22()4(1)3BDn金太阳新课标资源网 第 12 页 共 13 页 金太阳新课标资源网 , 14 分22443()3m又 ，故 ， 20,7所以 的取值范围是 16 分ABD,43)23 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 7 分，第 3小题满分 8 分解：（1）由题意知 恒成立，令 ，(2)fxf2(*)Nkx可得 ，数列 是公差为 1 的等差数列，1(2)kkf(2)k故 ，又 ，故 3 分000

19、3f03f（2 ）当 时， ，令 ，可得 ，由1,2)x()2)xk1x()fk(1)f可得 ，即 时， ， 4 分3k,3(f可知 在 上的取值范围是 ()fx1,20,又 是 的一个“P 数对” ，故 恒成立，,0(2)()fxf当 时， ，12,)kx(*)N1,kx ， 6 分()4fff1(2)kf故当 为奇数时， 的取值范围是 ；k()fx0,3k当 为偶数时， 的取值范围是 8 分12,)k由此可得 在 上的最大值为 ，最小值为 10 分()fx21,)n3n213n（3 ）由 是 的一个 “P 数对” ，可知 恒成立，,f (2)(fxf即 恒成立， ()(2)1fx令 ，可得 ， 12 分k*N1()()2kkff金太阳新课标资源网 第 13 页 共 13 页 金太阳新课标资源网 即 ，又 ，11()2()2kkff(*)N01()2()1ff 是一个等比数列， ，1kf nnf所以 15 分(2)nf当 时，由 是增函数，故 ，1,(*)Nx()fx1()2)nfx又 ，故有 18 分122nn2