1、复变小结1.幅角（不赞成死记，学会分析） .2argt20,rct,20artgxyyxyz其 中-arg z Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 Arg(z1/z2)=Argz1-Argz22. 求根：由 z= =r(cos +isin )得 = = (cosn +isinn ) iezneirn当 r=1 时， = （*1）s(cosi(co当 zwnw= （*2）zarg例： 可直接利用（*1）式求解可令 z=1+i,利用（*2）式求解3.复函数：a. 一般情况下：w=f(z), 直接将 z=x+iy 代换求解但遇到特殊情况时：如课本 P12 例 1.13（3）可考虑：z= =r
2、(cos +isin )代换。ie222cossin0,1,1k knkinnnzre求 方 根 公 式 (牢 记 !):其 中 。(sincs)541ib.对于 P12 例题 1.11 可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C）共线所满足的公式:(向量) OC=tOA+（ 1-t）OB=OB+tBAc.对于 P15 例题 1.14 中可直接转换成 X 和 Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。d.判断函数 f(z)在区域 D 内是否连续可借助课本 P17 定义1.84.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程a.在某个区域内可导与解析是等价的。但
3、在某一点解析一定可导，可导不一定解析。b.柯西黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加）c.指数函数:复数转换成三角的定义。d.只需记住：Lnz=lnz+i(argz+2k )e.幂函数：底数为 e 时直接运算（一般转换成三角形式）当底数不为 e 时， w= = (幂指数为 Ln 而非 ln)zaLnz能够区分： 的计算。f.三角函数和双曲函数：只需记住： 及 其他可自己试着去推导一下。反三角中前三个最好自己记住，特别 iziz1Ln2Arctg,iei)15.2(esin,2ecosizziziizi yiiyyshesc2co因为下一章求积分会用到 (如第三章的习题 9)1)(arctn
4、,2z5.复变函数的积分a.注：只有当函数解析即满足柯西- 黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。 （勿乱用）例如: 与路径无关。而 与路径有关。czddzcb.柯西-古萨基本定理：当函数 f(z)在以简单闭曲线 C 为边界的有界区域 D 内解析且在闭区域上连续时：重要公式c.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分：d.调和函数： .0,0,2)(d| 100 nizrz n ()d0CfzA)17.3(.d)(21)( 00Czzfizf()0 10!()(.20)1,2n nCnffz ziz A。22(,) 0xyxy调 和 :一般与柯西-黎曼公式一起用: 熟知课本 P52
5、 中的例 3.11 中三种解法即可。 6.级数a.熟知课本 P59 定理 4.2 及其推导（其中 1 最重要）性质。b.阿贝尔定理:判断收敛和发散区间。c. 幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。 （方法同于高数级数）d.泰勒级数： 五个重要初等函数展开式：其余可由式： .1|,)1(12 zzzz n直接推导。 （注意各展开式的z取值范围）e.洛朗展开式:与泰勒展开式的主要区别在于其包含 Z 的负次数方幂。泰勒展开式是洛朗展开式的特殊形式。 （即当洛.,210),(!1, )()(0)00nzfnczzfnn其 中成 立 )8.4(.!21e nzzz )1.4(!2)!421cos )0.
6、(!1)1!53sin 2 nzzz zzz nn朗展开式中奇点为可去奇点时展开式为泰勒形式）f.零点，奇点，极点零点:即使得函数 f(z)=0 的点。奇点：即使得函数 f(z)无意义的点。 （P82 定理 4.18 的三条关于孤立奇点的等价式实为可去奇点的特征）奇点又分为：可去奇点，本性奇点，一般奇点。可去奇点：即洛朗展开式中不存在 Z 的负次数方幂。本性奇点：即展开式中存在 Z 的负无穷次方幂。一般奇点：即展开式中存在 Z 的有限次负次数方幂。极点：即为奇点中除去可去奇点后的所有奇点。极点一定是奇点，但奇点不一定是奇点。（奇点容易判断，极点可借助 P83 定理 4.19 判断同时可以学会判
7、断是几阶极点，对于第五章中求留数有用）P84 定理 4.22：极点和零点的关系。7.留数a.留数定理：利用课本 P93-94 三种情形及第五章中判断极点的阶数求留数（没什么特殊方法，希望大家通过多练来掌握）b.利用留数定理求积分： 有些情况下利用留数和定理： 更便于求解01Res(),()d(5.3)2CfzfziA)7.5(.),(Res2d)(1nkkC zfizf .0d)(21d)(21 ,Res,Res CCnk kzfizfiz特殊转换： 0,1Res),(Res 2zfzfc.用留数计算实积分：形如： 的积分，一般令 z= ie使用条件：R(x,y)变量 x，y 的有理函数，并且
8、在单位圆上分母不为零。形如 的积分xRd)(使用条件：函数 R(x)是 x 的有理函数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且 R(x)在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的. 形如： 的积分dxfeix)(使用条件:其中 f(z)在 Imz0 内除可能有有限各孤立奇点外处处解析，并且当 z 在 Imz0 上时 P104 引理 5.3 中（5.15）式成立。 （具体理解大家可参考课本中的例题）老师所给划题目：P22- 例、P26- 例、P33-3P26-例、P33-1 P55-7（1、2）、相关例子 P46-例、P47 例、P55-8P88-11（1-6） P79-80 例、P89-16（2、5） P90-18（1、2 、3 ）P113-5、相关例子 P97 例、P113-6（1-5） P114-8、相关例子以上基本上是理论的东西。有些东西仅为个人理解，如有20 d)sin,(coR问题可提出来。例题大家可参考吴林峰发到群邮箱内的试卷。里面全部附有答案（如果找不到的可找我要） 。复变看书是作用不是很大，大家还是多做做题练习一下，效果会更好。
