1、1重读高中数学教材谨以此献给正在高中数学学习中苦苦思索的同学们序言笔者也是名高中生，经过三年的高中学习，笔者发现我们最熟悉的数学教材中仍有许多我们学生值得思考的地方，或许正是这些地方，脱胎换骨后成为了高考中的所谓难题。然而，有许多这样的地方我们的许多学生都还不太熟知或是了解。这样的情况，对高三即将高考的同学，高一高二的同学，都是非常值得引起重视的。社会舆论常说要回归书本，可很多人都是事后诸葛亮，高考卷分析的头头是道，却少有人对教材仔细的做一次研究，那么我们学生自己来做。所以笔者现在在这里，根据我们最熟悉的课本做一次大概的总结和提要。这里仅仅是一些提要和目录，仅仅是给大家的重读教材指一条大致的方
2、向。高三的学习节奏非常紧张，但笔者仍希望同学们自己去重读一遍高中数学教材，重新咀嚼一遍书上的思路和过程，因为这对数学素养、数学水平、数学思维方式的发展与巩固都是很重要的，也是很必要的。本文分两部分，第一是概述，大致的谈谈高中数学学习。第二部分是具体的知识内容，分了十部分。每个知识点后面都标明了页码，方便同学们查读（1BP10 表示高一第二学期第十页） 。其中还掺差了数学家的介绍，目的有二：提高同学的数学素养、激发同学们的数学学习热情。笔者带着极高的数学学习的热情，抽出了时间写下了这些内容，但由于水平和时间的限制，难免有所纰漏，望广大同学多提意见，也要多多包涵。文中的观点，多是笔者所感，如有雷同
3、，不胜荣幸。如果对本文有什么问题或建议，欢迎通过 与我交流。但如果想找人帮忙做数学作业，就不用来找我了。2010.12.31【一】概述一高中数学的能力要求在高中数学的第一分册中的【编者的话】中有这样一段话：“学习数学就是要学习方法” ，可见高中的考查重点是方法的应用和迁移。在【编者的话】中提到了这样几点，估算和判断能力；逻辑推理能力；表达能力。其实这三点加在一起，就成了一道题的解题过程，或者是解题思路。这点同学们可以自己体会一下，这绝对不是瞎说的。二清醒的认识我们做题，不能局限于会做一道题，这只是基本的，但也不能局限于会做一类题，我们要触类旁通，举一反三。要做到这些其实并不难，但有一点非常重
4、要，这一点也常常被绝大多数学生忘记，那就是真正的理解自己所学习的知识：不仅要“知其然” ，还要“知其所以然” 。许多老师常常给个公式，然后说“没道理，就是记住它” ，这是非常不负责任的，一个只会接受不会思考的学生永远只能跟在老师后面，永远无法超越课本。而思考的基础就是一个清醒的认识。你要知道自己在学什么，学这东西有什么应用意义，这东西是怎么2得出来的，最后一点同学们可能不能总是搞清楚，但我认为，至少要尽力的去搞清楚。【二】具体内容一集合与命题1.集合元素三个性质 确定 互异 无序 1AP52.有个小框问，什么时候要用列举法，什么时候要用描述法，这句话就是要同学们自己掌握表示的方法的使用，自己会
5、挑选 1AP73.要判定 A=B，要做两次，A 属于 B，B 属于 A 都要考虑，如果 AB 描述法做出来相同那就不必要了，但如果其他具体情况，就千万不能忘了双向 1AP84.CI（AB）=CI ACI B CI（AB）=CI ACI B 1AP135.判断假命题 举反例 1AP156.一个命题可能由条件和结果组成，这样就是有两个命题组成了。否命题必须有条件，有结果。但否定形式不一定，要注意否命题与否定形式的区别 1AP177.充分条件是“有它既可” ，而必要条件是“非他不可” 1AP208.De Morgan 英国人 现代符号逻辑和数理逻辑奠基人 De Morgan 法则就是 card（）的
6、计算法则 1AP25二不等式1.不等式八条性质 1AP312.半开半闭区间的定义 1AP333.不等式和方程有密切联系，具体例子 1AP384.分式不等式的分母恒正，乘过去，这在书上出现了，说明是必须掌握的 1AP405.解整式绝对值不等式，书上给出的唯一方法是考虑几何意义，这提醒我们在高考题中，一般不会出现要讨论的绝对值题，肯定从几何意义考虑 1AP416.书中要求 算术平均数 几何平均数 的概念了解和概念由来 1AP437.书中强调了“当且仅当、 、 、 ”这样的表达,说明高考中出现表达不够专业，扣分是必然的 1AP438.书中对 和定、积定时去求积、求和的问题 要求有敏锐的直觉和洞察力
7、1AP44、459.证明不等式 书中有三种要求掌握的方法 比较法、分析法和综合法 他们的语句表达在书中都有举例，希望同学们对这点仔细吃透 1AP47三函数、幂指对函数0.基本性质：书上要求“基本性质” ，这说明如果高考中要求写“性质” ，那么适当的超离书本的内容是完全可以做答的，这点要注意1.Dene Descartes 法国人 解析几何创始人，引入了变量，第一次真正把代数运用进了几何，促成了微积分的出现 1AP532.书上要求学生会自己确定函数的自变量、定义域、值域，这体现了函数考察的重点所在，所以那些只写表达式而不写定义域的同学们，不是粗心，是数学素养的缺乏 1AP533.求定义域注意两点
8、 1P544.建模的定义和练习 【市场上数学建模的书鱼龙混杂，数量庞大，我们还是要基于书本，不必要去看那些书，自己要多想，课本的应用题例题和解题过程及其表达要多咀嚼】 31AP57 5.阶梯函数，高斯函数，取整函数，在书上其实都出现过，还出现过例题，根本不是新定义！那么在这个题型上完全有可能出现进阶形的题目，对于这，同学们要做好准备 1AP596.图像的关系从代数上来分析，要充分理解（x=k1x+b1） 、 （x=k1x+b1，y=k2y+b2）这两种题型，虽然不要求坐标轴的变换，但新教材中对图像的直观感受和函数的代数关系仍然有很高的重视 1AP65 右上角 1AP82 小框7.给图像求零点在
9、教科书上出现过，所以也不是新题型！要重视了 1AP738.张遂 发明二分法 1AP759.幂指数的单调性 1AP8110.函数应用题开始解题时先要设定一切初始量，说明变量，作图要列表 1AP8811.单调函数的递变快慢是单调函数的重要性质，这是书上的原话，可想而知高考中出现要求写单调函数的性质的题目，哪个东西是不可少的了吧 1AP9112.常用对数、自然对数 的定义，首数、尾数的定义 1BP513.函数和反函数的图像关于 y=x 对称 1BP1514.书上说“研究原函数的图像是研究反函数的图像的一种方法” ，但并没有说一个函数的所有性质都允许从图像中得来，大家应该看出书的人的用意所在了吧：研究
10、原函数的性质不是研究反函数的性质的一种有力方法 1BP17、18 小框15.对数代数式的写法的注意点 1BP24 小框四三角函数与反三角函数1.什么叫一弧度，书上有明确定义 1BP312.L.Euler 瑞士数学家 提出弧度制 1BP333.单位圆的定义 1BP374.1+tanAtanA=secAsecA 1+cotAcotA=cscAcscA 这公式同学们不熟，加深记忆 1BP435.恒等式的定义，对于等号的左右的表达式的定义域的交集中的任意元素，作为左右的自变量时等式恒成立的等式 1BP436.书上有一个很明确的求三角比的方法 “利用直角三角形计算三角比，象限确定符号” 这都是书上的原话
11、，不是新思维！必须要掌握的！ 1BP447.切割划弦在书上明确提出 1BP508.在三角函数中，或者说在函数中，对于自变量一定不要太拘泥于形式，要有整体变量的意识，也就是要有整体意识，书上对代换思想非常重视 1BP53、849.三角代数式的化简或是求证，要会观察变量的位置（分开的还是一起的） 1BP5610.复角：多个角的和，数学书上出现了这个概念 1BP5911.对于已经给出边的量化大小关系的三角形，可以直接写三角比，只要写“易得、 、 ”就行了 1BP5912.书上有这样一句话“多倍角的三角比可以多次运用和角公式求得” ，意思就是说如果考个多倍角公式比如 sin5A 完全是有可能的 1BP
12、6213.和角正切的变形 tanA-tanB=tan(A-B)(1+tanAtanB)，这个咱们也可以叫正切的和差化积，书上用过，老师不强调，大家要重视 1BP6314.等同万能的推导过程，万能公式的推导过程，三角中 1 的妙用 1BP64、6515.三角形的边角、面积和三角形的外接圆半径关系密切 1BP7316.书上出现过正余弦线、正切线的概念 1BP81、91417.五点法是作 sinX 的图像的方法 1BP8218.周期函数的定义，注意是“定义域上的、 、 、 ” 1BP8619.对于求正弦函数和坐标轴所夹曲边矩形的特点，书上给过漂亮的暗示；另外有椭圆截面、双曲线截面的圆柱的侧面展开的图
13、形的特征也得到了提及，这都是同学们需要高度重视的 1BP9620.初相、频率、振幅 1BP10321.应用数学与自主方案设计在书本上都出现过，要高度重视这些能力的培养 1BP11422.辅助角公式写出来后，一定要写“（其中 cos=、 、sin=、 、 ） ”，这话在书上是有的，希望大家也这么写 1BP61五数列与第一数归1.C.F.Gauss 德国数学家，有“数学王子”的美称 2AP162.任取符 （倒 A）在书上出现过 ；Fibonacci 数列就是兔子数列，通项用特征根求 2AP27、283.第一数归的表达中， “假设 n=k”时， “kN*且 k0”不能漏 2AP314.运用数学归纳法
14、时表达中的“也” “都” 必须正确使用，也就是说高考时不恰当的使用会扣分 2AP335.an的极限是 A，也称an收敛于 A 2AP386.Archimedes 古希腊数学家物理学家，第一个求出抛物线曲边矩形面积、第一个提出Archimedes 曲线、第一个提出三次方程的几何解法、第一个明确提出用内外接正多边形的周长去计算圆周率的伟大科学家 2AP407.抛物线 y=x*x，x=1，y=0 的封闭区域面积是 1/3，这个概念的提出告诉我们要善于将宏观量微量化然后求和，这是很重要的思想方法 2AP428.koch snowflake 曲线的周长是无穷大，但面积是有极限的，书上提出了一个值得思考的
15、命题“是否存在面积是无穷大，但周长是有极限的图形” 。答案显然是不存在，这个同学们可以自己思考一下，为什么不存在 2AP51六向量、矩阵和算法1.基本单位向量，向量的线性组合，向量的正交分解，别说没看到过 2AP552.三角形重心坐标公式；零向量的方向是不确定的，也可以说是任意的 2AP593.投影不是线段的长度，是|a|cos 的算术值，所以可能出现负值 2AP614.基的定义，平面向量分解定理 2AP665.若 OC=xOA+（1-x）OB 则 ABC 共线 2AP676.柯西-许瓦兹公式（x1x2+y1y2）2（x12+y12） （x22+y22） 。cos（A-B）=cosAcosB+
16、sinAsinB 这两个公式在书上都给出了漂亮的证明 2AP687.增广矩阵、行矩阵、列矩阵、单位矩阵的定义 2AP748.矩阵的变换实际上是坐标变换的另一种表达，这里面牵扯到相似变换、对称变换、旋转变换，这里面悄悄地出了转轴公式，同学们要小心了 2AP869.GWLeibniz 与牛顿齐名，微积分创始人，发明了行列式 2AP8810.线性方程组解的判别式 D 的定义 2AP9211.平面上三点共线的和行列式结合的充要条件 2AP9612.代数余子式的定义是“余子式添上相应的符号” ，所以一切化简过的式子，哪怕相等，5都是错误的。由此可见，一些习题中有误导同学的迹象，同学们一定要搞清楚定义 2
17、AP9713.算法的步骤必须是有限的、确定的、可行的 2AP109、11214.循环体、循环变量、顺序结构、条件结构、循环结构的定义 2AP11215.mod 语句、gcd（）函数、辗转相除法 这些书上都有，不记得的同学要重视了 2AP11816.各种编程语句 =、input()、print()、if 语句、for 语句、while 语句在书上都有2AP121129七平面解析几何1. 对于一条直线，垂直 x 轴时，我们常说“斜率不存在” ，或许有同学对这种说法存在疑惑，书上给出了很好的解释， “趋向无穷大” ，而说不存在也是可以的 2BP102. 求直线方程，最后结果最好用一般式表示 2BP1
18、23. 的计算公式及它的几何意义，表示点关于直线的相对位置，这是新教材的新添内容，很有可能出现在高考中，同学们要充分理解这个公式 2BP254. P.S.de Fermet 法国数学家，文学造诣很深，和帕斯卡一同开创了概率论，和笛卡尔一同开创了解析几何，有许多的重要数学贡献 2BP285. 不是一切曲线都可以用 F（x，y）表示 2BP31 小框6. 线段的方程是要求的 2BP32 问号7. 用几何图形的性质说明代数方程（组）的根的情况 是教材上所认可的方法，说明高考一定会考到相关的内容 2BP35 小框8. 圆 xx+yy=rr 在（a，b）的切线方程 ax+by=rr，这是可以直接应用的，
19、加上坐标变换，可以求得任意圆上任意一定点的切线方程，同学务必自己研究一下 2BP399. 解析几何中建系必须说明原点、单位长度 2BP4810.whispering gallery 的原理证明事实上牵扯到椭圆的切线的性质，希望同学们可以耐下心去看一下 2BP52、5311.建立坐标系也可说“如图建立直角坐标系 xOy”，但笔者认为，单位长度最好仍然交代一下 2BP6012.书上其实悄悄地出现了圆锥曲线的光学性质，有兴趣的同学可以在课外拓展一下 2BP67、7013.坐标的平移公式在书上明确地出现了 2BP6814.圆锥曲线的统一身份 2BP71八立体几何1. 书上并未出现平面的平行四边形对角线
20、记法，所以笔者推荐不要使用这种方法 3P52. 某直线的垂线的定义是：“和已知直线垂直的直线” ，希望同学不要混淆 初中课本3. 对这道例题进行反思，我们可以知道两条相交直线涵盖了平面的所有无限远的“位置” ；另外，反证法的运用也值得思考 3P194. 事实上，正多面体只有有限种，4、6、8、12、20，这个结论和凸多面角的性质定理有关，同学们可以了解一下 课外5. 棱锥的定义，说不清楚的同学还是看一下书吧 3P246. 斜二轴测图，斜二测画法书上都有，工程学上还有正等轴测图，有兴趣的同学可以拓6展一下 3P267. 平面截多面体的截面的定义 3P298. 大圆和小圆的定义 3P329. 祖桓
21、原理 祖冲之 提出了约率密率、球体体积公式，中国古代伟大的数学家 3P37九排列组合、二项式和复数1. 陆家羲 物理学家，组合数学上贡献突出 3P512. 排列的计数表达 P A 均可 3P533. 全排列的定义，有兴趣的同学还可以拓展园排列 3P544. 由特殊到一般的数学方法非常重要，相信也会是高考考察的一个重点 3P695. 近年来数表问题的流行是有源头的。二项式系数表，有多少同学深入地研究过呢 3P73 6. 任何代数方程都有复数解序言里是这个意思 2BP727. Rez、Imz 的定义 2BP738. Giroramo Cardano 意大利数学家，第一个使用负数开方的人 2BP74
22、9. 复数中的数形结合非常重要 2BP7710.复数的 n 次方根的求法其实都是通过数形结合过来的，有兴趣的同学可以了解下 2BP8811.代数基本定理，高斯的博士论文中证明了它，震撼人心 2BP94十概率与统计1. B. Pascal 法国数学家，和 Fermet 在赌博中创立了概率的概念 ;Ch. Huygens 荷兰数学家，首次以论文形式呈现了概率的观念；P. S. M. de Laplace 第一次将概率运用到赌博以外的问题，被称为“概率论之父” ；俄国数学家切比雪夫、马尔可夫和科莫哥洛夫真正使概率论成为一门学科 3P852.基本事件、古典概型的定义 3P853.对立事件的定义，有兴趣的同学可以拓展一下互斥事件的定义（即 AB=）3P894.大数定理 3P925.随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义 3P101、1026.总体均值、总体标准差的点估计值的定义 3P1057.均值的 区间估计 定义 3P106
