1、数学方法之特殊解法【考情分析】近年高考题尽量减少繁烦的运算，着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力，以及观察、分析、比较、简捷的运算方法和推理技巧，突出了对学生数学素质的考查。试题运算量不大，以认识型和思维型的题目为主，许多题目既可用通性、通法直接求解,也可用 “特殊”方法求解。其中，配方法、待定系数法、换元法、参数法是几种常用的数学解题方法。这些方法是数学思想的具体体现，是解决问题的手段，它们不仅有明确的内涵，而且具有可操作性，有实施的步骤和作法，事半功倍是它们共同的效果。纵观近几年高考命题的趋势，在题目上还是很注意特殊解法应用，应为他起到避繁就简、避免分类讨论、避免转化等作用。预测 2012
2、 年的高考命题趋势为：（1）部分涉及函数性质、三角函数变形及求值、方程不等式的参数最值、解析几何求值等知识点的题目会用到这几种特殊解法；（2）这些解题方法都对应更一般的解法，它们的规律不太容易把握，但它们在实际的考试中会节省大量的时间，为后面的题目奠定基础；【知识交汇】1换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的
3、条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 2 20，先变形为设 2 t（t0） ，x x而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有
4、某点联系进行换元。如求函数 y 的值域时，易发现x1x0,1，设 xsin ，0, ，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么22会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件 x y r （r0）时，则可作三角代换 xrcos、yrsin 化为三角问题。22均值换元，如遇到 xyS 形式时，设 x t，y t 等等。S2我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t0 和 0, 。22待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然
5、后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式 f(x) g(x)的充要条件是：对于一个任意的 a 值，都有 f(a) g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以
6、都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。3参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数） ，以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素
7、之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。4配方（凑）法（1）配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方” ）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项” 、 “配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法” 。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代
8、数式的讨论与求解等问题。（2）配凑法：从整体考察，通过恰当的配凑，使问题明了化、简单化从而达到比较容易解决问题的方法。常见的配凑方法有：裂项法，错位相减法，常量代换法等。【思想方法】1配方（凑）法典例解析例 1 （1） （11 江苏 7）已知 则 的值为_,2)4tan(xxtan解析：22tan()1tant1tan44tan(),439xxxx x（ ） （2）已知长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）(A) (B) (C)5 (D)6314分析：设长方体三条棱长分别为 x、 y、 z，则依条件得：2(xy+yz+zx)=11，4( x
9、+y+z)=24。而欲求的对角线长为 ，因此需将对称式 写成基本对称式2222zyxx+y+z 及 xy+yz+zx 的组合形式，完成这种组合的常用手段是配方法，故=6211=25。)()(222 xzyzyx ，应选 C。5点评：本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例 2 （1）设 F1和 F2为双曲线 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足142yx F1PF2=90，则 F1PF2的面积是（ ）(A)1 (B) (C)2 (D)55分析：欲
10、求 (1)，而由已知能得到什么呢？|2211PFSFP由 F1PF2=90，得 (2)，0| 又根据双曲线的定义得| PF1|-|PF2|=4 (3)，那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方，即可找到三个式子之间的关系.即，16| 212121 PFPFP故 4)|(| 22 F ， 选( A)。|2121 SP点评：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化。（2）设方程 x kx2=0 的两实根为 p、q，若( ) +( ) 7 成立，求实数 k 的取2 2qp2值范围。解析：方程 x kx2=0 的两实根为 p、q，由韦达定理得：pqk，pq2
11、，2( ) +( ) pq2pq42()()2()(pqpq2227，解得 k 或 k 。k24810又 p、q 为方程 x kx2=0 的两实根， k 80 即 k2 或 k22 22综合起来，k 的取值范围是： k 或者 k 。102210点评：关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“” ；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 pq、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成 pq 与 pq 的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。2待
12、定系数法典例解析例 3 （11 江苏，12）在平面直角坐标系 中，已知点 P 是函数 的xOy )0()xef图象上的动点，该图象在 P 处的切线 交 y 轴于点 M，过点 P 作 的垂线交 y 轴于点 N，设线l l段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是_解析：设 则 ，0(,)xe0 00:(),(,1)x xlee过点 P 作 的垂线： ，l0000xyNe000011()()22xxtee；00 (1)所以，t 在 上单调增，在 单调减， 。,(,)max1()2te例 4 （11 安徽文，17）设直线 .0,1:,1: 2121221 kkxkylxkyl 满 足其 中
13、实 数（I）证明 与 相交；（II）证明 与 的交点在椭圆1l22+y=上 .分析：本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力.证明：（I）反证法，假设是 l1与 l2不相交，则 l1与 l2平行，有 k1=k2，代入k1k2+2=0，得.021k此与 k1为实数的事实相矛盾. 从而 相交.2121,lk与即（II） （方法一）由方程组 2xy解得交点 P 的坐标 为),(x.,12ky而 .1428)()2(2 21121212 kkkyx此即表明交点 ., 上在 椭 圆 yxxP（方法二）交点 P 的坐标
14、满足),(.021,02.,1.112 xykxykxyx得代 入 从 而故 知整理后，得 ,x所以交点 P 在椭圆 .122上y3换元法典例解析例 5 （1） （06 江苏卷）设 a 为实数，设函数 的最大值xxaf 11)(2为 g(a)。（）设 t ，求 t 的取值范围，并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t)；x1（）求 g(a)。解析：（）令 t要使有 t 意义，必须 1+x0 且 1-x0，即-1x1， t0 221,4xt 的取值范围是 由得2,.21xtm(t)=a( )+t=1t2,at（）由题意知 g(a)即为函数 的最大值。2()2,matt注意到直线 是抛物线 的对称
15、轴，分以下几种情况讨论。ta1t（1）当 a0 时，函数 y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，2,由 0，求 f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a 的最大值和最小值。2解析：设 sinxcosxt，则 t- , ，由(sinxcosx) 12sinxcosx 得：2sinxcosx ，t21f(x)g(t) (t2a) （a0） ，t- , ，212t- 时，取最小值：2a 2 a ，2当 2a 时，t ，取最大值：2a 2 a ；2 1当 02a 时，t2a，取最大值： 。 1f(x)的最小值为2a 2 a ，最大值为 。2012()()a点评：此题属于局部换元法
16、，设 sinxcosxt 后，抓住 sinxcosx 与 sinxcosx 的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t- , ）与 sinxcosx 对应，否则将会2出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。一般地，在遇到题目已知和未知中含有 sinx 与 cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为 f(sinxcosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。例 6点
17、 P(x， y)在椭圆 上移动时，求函数 u=x2+2xy+4y2+x+2y 的最大值。142yx解析：点 P(x,y)在椭圆 上移动，2可设 ，sinco2于是 yxyxu242= sin2cosincosico= 1)n(22令 ，tsi ，| t| 。)4si(coin2于是 u= ，(| t| )321)(2tt当 t= ,即 时， u 有最大值。si=2 k+ (k Z)时， 。46max4参数法典例解析例 7 （11 辽宁文，21）如图，已知椭圆 C1的中心在原点 O，长轴左、右端点 M， N 在 x轴上，椭圆 C2的短轴为 MN，且 C1， C2的离心率都为 e，直线 lMN，
18、l 与 C1交于两点，与 C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A， B， C， D（I）设 ，求 与 的比值；1eBD（II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BO AN，并说明理由解：（I）因为 C1，C 2的离心率相同，故依题意可设2 214:,:1,(0)xybyxabaa设直线 ，分别与 C1，C 2的方程联立，求得:(|)lt4 分22(,.bAtBtba当 表示 A，B 的纵坐标，可知13,Aey时 分 别 用2|:| .4BAbBCDa（II）t=0 时的 l 不符合题意. 时，BO/AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN相0t等，即 22,b
19、attba解得221.et因为2|,0,1,1.taee又 所 以 解 得所以当 时，不存在直线 l，使得 BO/AN；2e当 时，存在直线 l 使得 BO/AN. 1点评：设问形式的存在性问题很常规，但是题目内容却多年不见，考查了点参数问题，根本不需要设直线方程，更没有直线与圆锥曲线的联立，这是大部分学生所不适应的。本题设交点坐标为参数,“设而不求” ，以这些参数为桥梁建立 t 的表达式求解。例 8实数 a、b、c 满足 abc1，求 a b c 的最小值。22分析：由 abc1 想到“均值换元法” ，于是引入了新的参数，即设a t ，b t ，c t ，代入 a b c 可求。312322
20、解析：由 abc1，设 a t ，b t ，c t ，其中13213t t t 0，123a b c （ t ） （ t ） ( t ) (t t t )t212232123 t t t t t ，12323所以 a b c 的最小值是 。22点评：由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a b c (abc) 2(abbcac)12(a b c )，即 a b c 。两222 222213种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。【思维总结】1配方法使用的
21、最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab) a 2abb ，将这22个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a b (ab) 2ab(ab) 2ab；222a abb (ab) ab(ab) 3ab(a ) （ b） ；232a b c abbcca (ab) (bc) (ca) 221222a b c (abc) 2(abbcca)(abc) 2(abbcca)结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos） ；2x (x ) 2(x ) 2 ； 等等。2x1x2如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：（1）利用对应系数相等列方程；（2）由恒等的概念用数值代入法列方程；（3）利用定义本身的属性列方程；（4）利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
