1、考研数学知识体系总结：一 函数极限及连续1 函数概念如何判断两个函数相等：定义域 对应法则都相同2 函数的几何性质：奇偶性 f（-x）=f（x）为偶函数，f（-x）=-f（x）为奇函数。周期性 f（x+t）=f（x）为以 t 为周期的周期函数。有界性 y= f（x）在数集 X 上有定义即 x 属于 X，有| f（x）| m，则有上界。3 常见初等函数幂指对三反4 隐函数 分段函数 反函数5 极限的性质唯一性 保号性 有界性6 极限存在的判别法则夹逼定理 g(x)f(x)h(x) 且 g(x)， h(x)极限等于 A 则 f（x）极限等于 A。单调有界数列必有极限 （归纳法）7 计算极限的方法等
2、价无穷小： 当 x0，且 x0，则 xsinxtanxarcsinxarctanx; xln(1+x)(ex-1); (1-cosx)x*x/2; (1+x)n-1nx; loga(1+x)x/lna;a 的 x 次方xlna;(1+x)的 1/n 次方1/nx(n 为正整数） ；注： 是乘方洛必达法则泰勒公式两个重要极限：多项式：8 连续闭区间上左极限等于右极限等于函数值9 间断点（1）第一类间断点：左右界限存在不相等，跳跃；左右极限存在且相等，可去（2）第二类间断点：无穷间断地；震荡间断点10 无穷大无穷小的比较11 闭区间上连续函数的性质 最大值最小值 零点定理 介值定理 二导数与微分1
3、 导数定义式：题中已知在某点处导数，用定义式做2 求导法则 /x1/xalnx/xe/logaln/l1/sicos/cosxin/tanx2sec/cotx2scx/etax/t/arin21/arcos21x/arctnx21/rcotx2/uv/v/uv/2v3 复合函数 隐函数求导4 高阶导数：莱布尼兹公式： )(0)(knkvuCln)(1aaxnx )2si(si2)( xxn)cos(cos3)( kk nx)1(4)(nnxx!1l)5()(5 函数的微分公式：1d()d(sin)codx (cs)indxx2d(tan)secx2(cot)cx(e)ta()td()lndxa
4、x()dx1d(log)lnax1(l)x21(arcsi)x2(rcs)d1xx2(arctn)d1x2(arcot)d1xx三微分中值定理（1）罗尔定理罗尔（Rolle）定理 如果函数 f（x）在 闭区间a,b上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点(ab),使得函数 f（x）在该点的导数等于零，即 f（）=0（2）拉格朗日拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在闭区间 上连续, 在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少有一点 ，使ba )(ba等式成立.)()(aff（3）柯西中值柯西（
5、Cauchy）中值定理 如果函数 及)(xfF在闭区间 上连续,在开区间 内可导,且 在 内每一点处均不为零，那ba)(b ,ba末在 内至少有一点 ,使等式),(a成立.)()(Ffbf（4）洛必达法则基本型 0/0 / 型（5）泰勒公式: Taylor 中值定理：如果函数 在 的某区间 内具有直到)(xf0),(ba阶的导数，则当 时， 可表示为 的一个多项式 和一个)1(n),(bax)(xfxPn余项 之和：xR )()(!)(!2)()( 00)(20000 xRxnfxfxfff n 6 函数的单调性与极值 f（x）一阶导数0 函数单调增加 f（x）一阶导数0 函数单调减少 左增右
6、减的点是极大值点 左减右增的点是极小值点 7 函数图像的凹凸性及拐点：f（x）二阶导数=0 是驻点，f（x）二阶导数0 图像为凹 极小值 f（x）二阶导数0 图像为凸极大值 只有当驻点左右凹凸性改变了 才是拐点8 函数的渐近线斜渐近线： 水平 垂直 klimxfblixf9 图像描述10 最大值最小值 极值点与端点值比较 最大的为最大值 最小的为最小值四不定积分1 不定积分公式kdxxd1dxln21dxarctnx21dxarcsinxcosdxinsioset2ctectanxdcxscoxdscxedxxlxtanlotlnsisecdnsectxcsdxlncstx21dxarctan
7、x21xala21al2dxrcsinx2 积分方法:（1）第一类换元定理 1 设 具有原函数 ， 可导， ，则)(uf)(uF)(xdxu)(Cdxf )(第一换元法是复合函数求导法则的逆运算， 也是微分运算的逆运算，)()(xdx目的是将 凑成中间变量 的微分，转化成对中间变量的积分。dx)(u（2）第二类换元 第二换元法中的三角代换及根式代换 1：被积函数中含有 （ ）,可令 （并约定 ）则2xa0taxsin2,t； 可将原积分化作三角有理函数的积分分部积分txacos2tdcos2 被积函数中含有 可令 并约定 ，则)(2xtxa),(t； ；可将原积分化为三角有理函数的积分，txs
8、ec2tasec3 不定积分的性质1 dxfkf)()(2 dxggx)(3 被积分函数中含有 ，当 时，可令 ，并约定2ax0ataxsec，则 ， ，当 时，可令 ，则)2,0(t taxn2tadxnsecaxxu，可将原积分化为三角有理函数的积分。au（3）分部积分法是另一个基本的不定积分法，它是由乘积的微分公式得vduu此公式就是分部积分公式。若求 较难，而求 较易，可用分部积分公式。使用分部dv积分法的关键是正确选择 和 。五定积分1 定积分性质：性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，baf (x) g (x)dx baf (x) dx bag (x) dx
9、f(x) g (x) f (x) dx g (x) dx 性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面， bak f (x) dx kbaf (x) dx kf ( f (x) dx 性质 3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和， ba f (x) dx caf (x) dx bcf (x) dx f() dx (x) d f (x) dx 性质 4 如果在区间a，b上 f (x)1，则 a1 dx badx ba 性质 5 如果在区间a，b上，f (x)0，则 b f (x) dx 0 (a nl+1na=()i0n,则级数 发散.1na+1na=
10、2 调和级数3 P 级数4 绝对收敛和条件收敛（二）幂级数1 收敛半径和区间：2 性质：3 收敛域求法:(1)缺项(2)不缺项函数展 幂级数泰勒级数八常微分方程和差分方程1 一阶微分方程（1） 可分离变量：分离变量，两边求积分，根据已知求出常数 c（2） 齐次微分方程：设 U=y/x（3） 一阶线性微分方程：（4） 一阶线性微分方程解的结构：非齐次通解=齐次通解+非齐次特解2 二阶常系数微分方程（1） 是二阶线性齐次方程也是该方程的解.特征方程 有两个相异实根 r1 r2 因此方程的通解为0qp特征方程有两个相等实根 r1 =r2 因此原方程的通解为特征方程有一对共轭复根，因此原方程的通解为（
11、2） 二阶常系数线性非齐次： Y (x) 是相应齐次方程的通解,则非齐次方程通解为：3 差分方程： （1）一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1tfPytt其中, P 为非零常数, 为已知函数. 如果 则方程变为)(f ,0)(tf01tty)(,21xy若 函 数 0qyp)()(21xyC则2rp042q xrre21xe)(21)sincoCeyx)(fqyp*)(xY（2） 二阶常系数线性差分方程的一般形式:)(12tfbyayttt 其中 均为常数, 且 是已知函数. 当 时, 方程变为ba,0)(xf 0)(xf012tttbyay（3）二阶常系数线性齐次差分方程的通解特征方程 2
