1、2018 届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学考试数学（理）试题一、选择题1 ，则 （ ）2zizA. B. C. D. 3113i13i【答案】A【解析】由已知有 ，所以 ，选 A.ziizi2已知集合 ， ， ，则“|lg0x|24xB|420Cx”是“ ”的（ ）xABCA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】A【解析】集合 ，所以 ，而集| 1|2xBx， |12ABx合 ，因为 ，所以“ ”是“ ”的充|24CACC分不必要条件，选 A.3古代名著九章算术中有这样一段话： “今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤 ”意
2、思是：“现有一根金锤，头部的 1 尺，重 4 斤；尾部的 1尺，重 2 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列.”则下列说法错误的是（ ）A. 该金锤中间一尺重 3 斤 B. 中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的 3 倍 C. 该金锤的重量为 15 斤 D. 该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为 0.5 斤【答案】B【解析】依题意，从头至尾，每尺的重量构成等差数列 ，可得na，可知选项 A、C、D 都正确，而中间三尺的重123454,.5,2.,aaa量和不是头尾两尺重量和的 倍，故选 B.4已知某次数学考试的成绩服从正态分布 ，则 114 分以上的成绩所占的210,4N百分比为（ ）（附 ，
3、， ()0.682PX(2)0.954PX）33974A. B. C. D. 0.%.21.%.13【答案】D【解析】由已知有 , 所以(0)0.PX，选 D.10(4)0.974.13.2PX5已知函数 ，则 的值为（ ）13(,xfxf32logfA. B. C. D. 27542754【答案】B【解析】试题分析： ，即3332log1l2log，又3332log,2loglfff，4 3 3 333log23log2 1loglog2log21 2311 1log77754f ，所以 ，故选 B32l54f【考点】1、分段函数的解析式； 2、函数的周期性及指数与对数的性质6已知函数 ，其
4、中 为实数，若对任意sinfx恒成立，,6xRff且 ，则 的单调递减区间是2fffxA. B. ,36kkZ,2kkZC. D. 2, ,【答案】A【解析】因为对任意 恒成立，所以 ，,6xffRsin163f则 或 ，当 时， ，则67i26fx（舍去） ，当 时， ，则122ff 767sinf，符合题意，即 ，令ff7sin26fx，解得 ，即 的单调递减73226kxk36kxkfx区间是 ；故选 A.,3Z7某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 232916【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为底面半径为 、高为
5、的圆锥的 ，2413所以该几何体的体积 ，故选 D.1162439V【考点】三视图.8若 表示不超过 的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ xx S）A. B. 5 C. 7 D. 94【答案】C【解析】当 ，否， ，否， 0,0,4?Snn1,4?nS，否， ，否， 2,12,4?nSn 3,23,4?nSn，否， ，是，输出43557，选 C.79已知三棱锥 的四个顶点都在同一个球面上，底面 满足PABCABC，若该三棱锥体积最大值为 3，则其外接球的表面积为（ ）0BAA. B. C. D. 21316【答案】D【解析】 因为 为等腰直角三角形，所以 AC 为截面圆的直径
6、，故该三棱锥的外接球的球ABC心 O 在截面 ABC 中的射影为 AC 的中点 D，当 P,O,D 三点共线且 P,O 位于截面同一侧的棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为 ，所以 ，求出P16332PD，设外接球的半径为 则 ,在 中， 3PD,R,OCRO,由勾股定理得 ，解得 ,所以外接球的表面积12CA223为 ，选 D.=46S点睛：本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算，属于中档题。本题关键是由已知条件，画出草图。10设椭圆 ： 的右顶点为 ，右焦点为 ， 为椭圆在E21(0)xyabAFB第二象限内的点，直线 交椭圆于点 ， 为原点，若直线 平分线段 ，则BOCOAC椭圆的离心率
7、为（ ）A. B. C. D. 12345【答案】B【解析】如上图，设 AC 中点为 M,连 OM，则 OM 为 的中位线，易得ABC ，且 ,即 可得 ，选 B.OFMAB12OFMAB,ca13cea点睛：本题主要考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法 ，本题的关键是利用中位线定理和相似三角形定理。11已知 ，若 点是 所在平面内一点，且1,CttPABC，则 的最大值等于（ ）4ABPPBA13 B15 C19 D21【答案】A【解析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则 ， ，1(,0)Bt(,)Ct，即 ，所以 ，1P（ ， 0)+4(,=1,)P（ ， 4)t=（ ，
8、 -4，因此C=（ ， t-BC，因为 ，所以 的最大值146t17(4)t1424ttPBC等于 ，当 ，即 时取等号3t2xyBCAP【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式12已知定义域为 的奇函数是一条连续不断的曲线， R，且当 时， 导函数 ，则1,fxffa01xfxfxf在区间 上的最小值为（ ）2078A. B. 0 C. D. 2016a【答案】A【解析】因为 是奇函数，所以 ，又 ，所以fxfxf1fxf，即211fx，所以 ，所以函数2fxfx424fxfxffx，的周期为 4，由题意有 时，设01，则函数 在（0,1）为减函数，所2, 0fxfxfFFFx以函数 在（
9、0,1）上为减函数，则在（2016,2017）上也是减函数，由f知， 是函数 的对称轴，又函数周期为 4，所以1x1xfx也是函数 的对称轴，所以函数 在 上为增函数，故207f 2017,8最小值为 ，选 A.450f fa点睛：本题主要考查导函数在函数单调性上的应用，属于中档题 。本题思路：先求出函数的周期，再判断函数的单调性，利用单调性和对称性求出函数在 的最2017,8小值。二、填空题13设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 ,xy20()xym2zxy_【答案】 2【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得，目标函数在点 处取得最大值： .,020z14
10、若 10 件产品包含 2 件次品，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为_【答案】 41【解析】设事件 A=两件中有一件不是废品，事件 B=两件中恰有一件为废品 ，则.1280214| CPAB15设 ，则 的值是4 340122 11aaxxx24a_【答案】40【解析】 的展开式的通项为 ，所以421x 441212kkkkTCxx。24024424,6,0aCaa16在 中，角 的对边分别为 .已知 ，且AB,bc27sincos2ABC，则 的面积的最大值为_c【答案】 3【解析】因为 ，所以 ，化简274sincos2ABC1cos74cos22AB
11、C有 ，又 ，由余弦定理有12co10,3C，即 ，则2csababab4a，即最大值为 。1in24ABCS点睛：本题主要考查解三角形，用到的知识点有降幂公式，余弦定理和三角形面积公式，属于中档题。解答本题的关键是灵活运用这些公式。三、解答题17 为数列 的前 项和.已知 .nSna20,43nnaS（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和.1nbanb【答案】 （1） ；（2） .n3【解析】试题分析：(1)由题意整理数列的递推公式可得 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式na为 .21na(2)对数列的通项公式裂项求和可得数列 的前 项和是 .nb32n试题解析：（
12、1）由 ，可知 ，可得243nnaS2114nnaS，即1，由于 ，可得 ，21112nnnn0na12na又 ，解得 （舍去） ， ，所以 是首项为 3，公差为143aa32 的等差数列，通项公式为 .2n（2）由 可知 ，设数1na1112323nbann列 的前 项和为 ，则nbnT.121113572323nn nTb n 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的18某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于 小时的社区服务才合格教育部80门在全市随机抽取 200 位学
13、生参加社区服务的数据，按时间段 ， ，75,80,5，85,90， （单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示,1（）求抽取的 200 位学生中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率；（）从全市高中学生（人数很多）中任意选取 3 位学生，记 为 3 位学生中参加社区服务时间不少于 90 小时的人数试求随机变量 的分布列和数学期望 E【答案】 （） （）2.56.5E0 1 2 3P7481【解析】试题分析：（）根据频率分布直方图中小长方形面积为频率，而频数为总数与频率之积. 因此参加社区服务时间在时间
14、段 小时的学生人数为90,520.650（人） ，参加社区服务时间在时间段 小时的学生人数为1.2（人） 所以抽取的 200 位学生中，参加社区服务时间不少于 90小时的学生人数为 人概率估计为 （）随机变量 的可806028.5P能取值为 由（）可知，概率为 因为 ，所0,1232.52(3)5B，以 随机变量 的分布列为65E0 1 2 3P74815解：（）根据题意，参加社区服务时间在时间段 小时的学生人数为 20.650（人） ，90,参加社区服务时间在时间段 小时的学生人数为 2（人） 51所以抽取的 200 位学生中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 人8所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率估计为 5 分6028.5P（）由（）可知，从全市高中生中任意选取 1 人，其参加社区服务时间不少于 90小时的概率为 .5由已知得，随机变量 的可能取值为 0,23所以 ；03327()()15PC；145；2136()()2085PC随机变量 的分布列为0 1 2 3P7546581因为 ，所以 13 分2(3)B， 2635E【考点】频率分布直方图19如图，四棱锥 ，侧面 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，PACDP底面 是 的菱形， 为棱 上的动点，且 .A60MC0,1PMC
