1、1行列式一.判断题 1 （ ）012 （ ）213231213()()xDxx二.选择题 1. 要使得 ，则 为（ C ）204ab,abA. ； B. ；1, 1,4bC. ； D. .2. （ D ）.221abcA. ； B. ；()()cb()()abcaC. ； D. .ba3. 若 ，则 （ A ）12133m112132233aaA. ； B. ； C. ； D. .66m4. 若全排列 为奇排列，则 和 分别为（ A ）.2185ijijA ； B ； C ； D .7,4i,7ij4,9ij7,9ij5. 一个 阶行列式 中的某两行元素之和为零，则 =（ A ）.nDA. 0
2、 ； B. 1； C. 2； D. 无法确定.6. 行列式 展开式中 的系数是（ B ）.2130x4xA. 1； B. 2； C. 3； D. 4.27. 设 ， 的 元的代数余子式记作 ，则 123D(,)1,23)ijijA.（ C ）3123AA. 等于 60； B. 等于 30； C. 等于 20； D. 0.8. （ B ）.456012300DA. ； B. ； C. 0； D. .7272360三. 填空题 1. 选择 和 使得排列 为奇排列 = 6 = 4 ij135ijij2. 写出五阶行列式中，含有因子 的项 23415a,5213214a52413a3. 四阶行列式中含
3、有因子 的项为 1 ,32a44. 设 ， 的 元的代数余子式记作 ，1233aDD(,),)ijijA则 .= 5 312aAa5. 设 ，则 = 0 1234014234AA6.设 =. _-_120 152836D7. 在函数 中 的系数是 -2 1()2xf3x38. 设 . -1260 1153229478D9. 用行列式表示 的解 _ 2341x四 计算题1求行列式 ，1230bDb解 1230bDb32100b 10132b=10abcddca10dca10= =1cacabacb)(db2求方程 的根，其中()0fx1214()36852xxf解 1101022()343315
4、4242xxxxxf41021(1)324xxx故方程 的根为 .()0fx12,x3. 设 4 阶行列式的第 1 行元素依次为 ，第 1 行元素的余子式依次为-,3mk1， 1，-1，1，第 3 行元素的代数余子式依次为 3，1，4，2，且行列式的值为 1，求的值. ,mk解 行列式依第一行展开得 ，第一行与第三行的代数余子式的乘积2k之和 ， 解得 0644.m4. 设 ， 的 元的代数余子式记作 ，3125203DD(,)1,234)ijijA求 . 312A34A解： 3123412010534846365278468611484272727矩阵一.判断题 1.设 ， 都是 阶可逆矩阵
5、，则 也是可逆矩阵并且 .（ ABnA+B11()A+B ）2. （ ） 2()EE3. ，其中 为正整数.（ ）kk54. ( )2()ABB5. （ ） TTC6. 若 ， 为同阶方阵，则有 （ ）()kkA7. （ ）()8. 若 都是可逆矩阵，那么 （ ）,AB11()B9. 设 ， 都是 阶对称矩阵，且 ，则 也是对称矩阵.（ ）n=A10.设 ， 都是 阶对称矩阵，则 也是对称矩阵.（ ）+11. 设 为方阵，则 是反对称矩阵 （ ）TA12 .若 可逆，则 （ ）113. 设 为 阶矩阵，则等于 （ ） n()()RnEA14 若 都是可逆矩阵，那么 （ ）,B1100B15.
6、设 为 阶矩阵，则 （ ）An4二.选择题1. 设 为 阶对称矩阵，且 ，则下面正确的是（ B ）.,BCAC=EA. ； B. ； C. ； D. .=EBCA=E2. 设 为 阶方矩阵，则 成立的充分必要条件是（ A,n22()+C ） .A ； B ； C ； D. .0=AB=B3. 设 若矩阵 与 可交换， 的值为（ B ）123ab=, ab,A. 5, 4； B. 8, 6； C. 6, 8； D. 4, 5.4.设 为 阶方矩阵， 为对称阵，下列矩阵中为对称阵的有（ D ）A,BnAA. B. C. D. TTB+TA+BTA5 设 为五阶方阵，且满足 , 则 =（ D ）.2
7、E()RA. 0； B. 3； C. 4； D. 5.6 设 为 阶可逆矩阵，则等于 =（ D ）An()A. ； B. ； C. ； D. .A(1)nA1()nA7. 设 是 阶方阵，则对称矩阵有（ D ） A. ； B. ； C. ； D. .TTTT8. 设 都是 阶方阵，下面结论正确的是（ B ）.,An6A. 若 均可逆，则 可逆； B. 若 均可逆，则 可逆； ,AB,ABC. 若 可逆，则 可逆； D. 若 可逆，则 均可逆.,99 设 阶矩阵 与 阶矩阵 都是可逆方阵， 则 =（ B mn0D=1）.A. ； B. ； 10AB10BAC. ； D. .1 110. 若 ，
8、， 为同阶可逆方阵，则 （ A ）.1()11()A. ； B. ； C. ； D. (B.1B11. 设 为 4 阶纯量矩阵，且 ,则 ， 分别等于 （ C ）.16A1A. ； B. ； C. ； D 1,E3,E2,E,E12. 设 是 4 阶矩阵，且 ，则 （ D ）.A()2R()A 3； B 2； C 1； D. .013. 设 都是 阶非零矩阵，且 ，则 的秩（ B ）., 0A=,A.必有一个等于零 B. 都小于 ；C. 一个小于 ，一个等于 ；D. 都等于 .nnn14. 设矩阵 的秩 ，则（ B ） ()RrA. 的 阶子式都不为 0 ； B. 至少有一个 阶子式不为 0；
9、1rrC. 是一个 阶方阵； D. 的 阶子式都不为 0A15. 设 ， ，则 （ B ） T(,02),(,12)()RA. 0； B. 1； C. 2； D. 316. 设 是奇数阶反对称矩阵，则 （ A ）AA. 等于 0； B. 等于-1； C. 等于 1； D. 无法确定.17. 若对任意方阵 ，由 （ 为同阶方阵）能推出 , 则,C,BBC满足（ C ）.A. ； B. ； C. ； D. .00A0A0A18. 若 ， 为同阶方阵，且满足 ，则有（ B ）.A. 或 ； B. 或 ；C. ； D. 与 均可逆22()719. 设 3 阶矩阵 ，其中 均为 3 维的行向量，且112
10、2,3A=B12,，则 （ C ）18,2ABA. 0； B. 1； C. 2； D. 320. 设 ，则 （ A ）.5021A. 3； B. 4； C. 5； D. 6.21. 已知 ，则 （ B ）1902A4A=A. 256； B. 16； C. 32； D. 64.22. 已知 ，求 （ A ）034A201A. ； B. ； C. ； D. 以上都不对0E三. 填空题 1. 设 都是 阶方阵， 则A,BCn0AD=BCTTCBA2. 设三阶方阵 满足 且 ，则 =,61237433.设 ，且 ，则132A=6AE13A4. 设 ， ，则12()3fx()f545. 设 ,则矩阵方程
11、 的解，120A,B2BXA561986. 当 均为非零时 ， 可逆， =,abcd0abcdA1A1110dab7. 已知 ，则 2301A1A10328. 设 A ，则 24 ， (234)diag=A)2,31,2(diag9. 设 ，则 ， 1468412T1()84610. 设 均为 阶方阵，且 ，则 =,ABn,AB120ABn1211 设 , , 则 0 ()abcT12. 设 ，则 0 T123(1)T13. 设 为三阶方阵，且 ，则 2 A|4A1|14. 若 ，则 = 288 460253=T15. 设 ，则 3 A012538A16. 已知 ，则 4 0125*17. 设
12、 为四阶可逆方阵，且 ，则 128 ;A12A13()2*A918. 设 为 3 阶方矩阵，且 ，则 -1/2 A2A132*AE19. 4096 42=E20. 设 ， = _ BHCDT21. 设 为 3 阶方矩阵，且 ，把 按行分块， ，其中A2AT123A是 的第 行，则行列式 = -6 T(1,23)JjjT31222. ， = 0 01=A201A四 计算题1. 将 化为行最简形，并求出它的秩与一个最高阶非零子式13451220解：134341345180222060510， 故行最简形为103 23,00秩是 一个最高阶非零子式是 2,R1352. 求解矩阵方程 204321X1
13、0解：由原式得 ， T214302X从而 13130250215381302故 ，于是 T82351X21853X3. 解矩阵方程201102E解：将原方程化为 2010101204X,XE即 201031， 从而01310222013X4. 已知 ， （1）设 ，求 ；（2）设204A2()fx()fA11,求解矩阵方程 . 14203BAXB解：（1） 21001023894524020()89006685212 4fA（2） (,)B104014210123213632308425445101012230813662796 故 1423962X5. 解矩阵方程 01014320X解： ，
14、故 010110100原式可化为 4334220011X12，于是 013410210234021034X6. 设 ， = ，求（1） ；（2） . 518302=AB50462AB1解：（1）因为 58345041410956239,=所以 = . （5 分） （2）AB2309132214545459=,，故 142121626464=1520941023B7. 设方阵 满足 ， （1）证明 可逆，并求 ；（2）证明A2=0EA1可逆，并求 . +2E1(+)证明 （1）由 可得 ，即 ，也就是22E()=E. 由定理 1 的推论 2 知： 存在，且 = ()2A=1A12A（2）由 ，得
15、 ，所以有 ，即 .20E=+2+因为 可逆，所以 ，从而 ，故 可逆. 因为 ，所A0EE以 )2(41)(41)()()2( 22121 EAA 级别 专业 班级 学号 姓名 -密-封-线-级别 专业 班级 学号 姓名 -密-封-线-13即 )3(41)2(41AEAE 1(+2)(3).4EA8. 若 阶方阵 满足 ，证明 可逆，并求出 .n21证明：因为 ， ，所以 ，即 2 2，于是 ，于是()()()2，可见 可逆，且12AEEA1()EA9. 验证线性变换 存在逆变换，并求出其逆变换123235xy解：设 ，则 12A10137950243A故原线性变换存在逆变换 2101410
16、11035354732279012101633424所求的逆变换为 12323796yx10. 设 5 阶方阵 ，求 的所有代数余子式之和. 101A|A解： 的所有代数余子式为 . ，则有 | ,2,345ij|1， ， ，51jjA52211 0jjA321 1jjA54412431jj1455125341 11jjAA的所有代数余子式之和 | 1ijij11. 设 ， 是三阶单位阵，求 . 0243A=E1(2)()EA解：11000134，故 101027631027163A11(2)()EAE502(2)(33向量空间一.判断题 1. 设 能由 1， 2， m线性表示，则表示法唯一的
17、充分必要条件是1， 2， m线性无关.（ ）2. 已知 线性无关，则TTT121321231323(,)(,)(,)aaa也线性无关（ 1234 4 4(, ）3. 若 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 ，都有12,m 12,mk.（ ） 12kk04.向量组 线性相关.（ TTTT1234(,),(1,)(1,)(,)aaaa ） 5. 设向量组 的秩为 ，向量组 的秩为 ，且 与 等价，则 = （ ）A1rB2rAB1r2156. 线性无关的充要条件是该向量组的秩为 .（ ） 12,m m7. 不是 的基（ ）TTT23(0)(,1)(,12)3R8. 个 维向量 构成矩阵 ，则 （
18、n1,na,)nAa()ax,nA ）二.选择题1. 设 ，若 满足 ，则 =（ C (,403)(5,641)x32x）A ； B ； T(,2) T(,325)C ； D .1341,42. 设 线性相关， 线性无关，则正确的结论是（ C ）.2,23,A 线性相关； B 线性无关；13, 123,C 可由 线性表示； D. 可由 线性表示.2 3.设向量组 ，向量:TTT11321231323(,)(,)(,)aaa组 ，则:B1234 4 4, ,（ B ）.A. 相关 相关； B. 无关 无关；ABABC. 无关 无关 D. 无关 无关4.设 ，则（ D ） 12(,)(mRA. 中
19、至少有一向量可由其余向量线性表示； B. 中有零向量； 12,C. 可由 线性表示； 3,mD. 向量组 线性无关 12,5. 设 为 阶方矩阵，且 ，则（ C ）An0AA. 中必有两行（列）的对应元素成比例；B. 中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合；C. 中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合；D. 中至少有一行（列）向量为零向量 .A6. 设 是 3 维线性无关向量，则下列选项中仍为线性无关的向量有（ C 12,）A. B. 132123,1231,C. D. 32167. 设 线性相关，则 与 应满足（ TTT123:(,)(,0),(1,2)AababA
20、） A. ； B. ； C. ； D. 0ab0a208. 向量组 ， ， 的关系是（ D ）.2(,)2(,)b2(1,)cA. 当 互不相等时，向量组线性相关； cB. 当 不全为零时，向量组线性无关； ba,C. 当 不全为零时，向量组线性相关； D. 当 互不相等时，向量组线性无关c,9. 若设向量组 ： ， : ,则（ A ）. A123,B1234,A 线性相关 线性相关； B. 线性相关 线性相关； C. 线性无关 线性无关； D. 以上都不对.三. 填空题 1. 向量组 的秩为 2，TTT123:,3,1,2Akkk则= 0 或 1 k2. 设 ， 表示成 的线性组合为TTT1
21、2(3,4)(,)(1,3) 12,214. 向量组 线性 123,04,6相关 关. 5. 设向量组 线性相关，则 =-2 TTT123(,0),(1,),(5,)t=t；6.设 ，当 = 1/4 时， 线123(,)(,),(,)kk123,性相关.7. 设向量组 的秩为 3，则参数 tTTT123(,0),(1,),(5,),t应满足的条件是 t四 计算题1. 将向量 表示成向量 的线b123(,)(1,)(0,1)(,02)aaab性组合.解：设 （1） ，记 ，则（1）式123xx T123123,xA=可写成 （2） A171010102()22A,b由此可得（1） （2）的解为
22、，从而 123,1xx=123ba2. 设 TTTT1 4(,03)(5)(,)(,8),aaaa试问：(,5b（1） 为何值时， 不能表示成 的线性组合？b1234,（2） 为何值时， 可以由 唯一线性表示？ ,aa解：设 即 （1） 1234xxb212343xab设 ，则1234Aaa0121(,)2343585abAb101201205abab（1）当 且 时， ，方程组（1）无解， 不能表示成(,)(RAb的线性组合； 234,a（2）当 ， 时， ，方程组（1）有唯一解， 可以由b(,)(b唯一线性表示. 134,3. 设 ，验证 线性无关，试将TTT123(,0)(1,)(0,)
23、123,用 线性表示. (2,)3解： ，所以 线性无关. 123,01123,设数 使 ，即 ，故123,x23xx123(,)x123(,)18102102101012123(,)(,1)x4. 已知 线性无关，讨论当 取何值时，向量组 ，23x1123()x， 线性相关. 21()x323()解 由 ，得2kk0，1231233()()xkxkx0由于 线性无关，于是 123,123 0+()系数行列式 ， 3(1)812xDxx当 ，此时 或 时， 线性相关. 0x813,5 利用初等行变换求矩阵 的秩与列向123452105(,)314Aaa量组的一个最大线性无关组，并把其余列向量用
24、最大线性无关组表示. 解： 12 0105102153342， （7 分） 可见 ， 1010 ()3RA一个最大无关组是 ， . 123,a4123523,aa+线性方程组一.判断题 级别 专业 班级 学号 姓名 -密-封-线-191. 设 只有零解，则 有唯一解（ ）0AxAxb2. 元线性方程组 有非零解时，它的每一个基础解系所含解向量的个数均为n（ ）()R3. 已知 ，则 （ ）T(1,24)54. 若向量 与向量 正交， 是 的线性组合，那么 也与 正交.123,123,（ ）5. 设 是正交矩阵，则 （ ）A6. 若 是正交矩阵，则 （ ）T1=A7. 是正交矩阵（ ）213=二
25、.选择题1. 齐次线性方程组 的解的情况是（ D ）1230xA.只有唯一的零解； B. 无解； C. 无解或无穷多解； D. 无穷多解2 . 的基础解系的解向量个数为（ D ） 12340xxA. 0 个； B. 1 个； C. 2 个； D. 3 个3. 已知 ，则方程组 （ B ）1324b123241xbA. 无解；B.有无数个解 C. 有唯一解； D. 解的情况根据 的取值而1234,b定；4. 设 是非齐次线性方程组 的一个特解， 是对应的齐次线性xb12-,nr方程组的一个基础解系，那么 （ D ）12-,nrA. 线性无关； B.线性相关；C. 其中的 可用 线性表示； D .
26、 无法断定.12-,nr5. 线性方程组 的解的情况是（ C ）213x20A.无解； B.有无数个解；C.有唯一解； D.不具有唯一解，但无法确定是无解，还是有无数解；6. 设 是 元线性方程组 的两个不同的解向量，且 ， 为任12,nAxb()1RnAk意常数，则方程组 的通解为（ D ）.0xA. ； B. ； C. ； D. 1k2k12()k12()k7. 已知 ，使 与 正交的参数 ( D )TT(,),)A. 0； B. 1； C. 2； D. 38. 设 为向量空间 的标准正交基， 阶方阵 ，则12,n nRn12(,)nP阶方阵 =( C )nTT2(,)PPA. B. C.
27、 D.无法确定0E9 . 若 为正交矩阵，则 =（ D ）.Adet()AA. 0； B. 1； C -1； D. 1.三. 填空题 1. 线性方程组 的基础解系中含有 3 个向量.04321xx2. 设 是 4 元非齐次线性方程组 的三个解向量，且 ，123,Ab()3RA， 的通解是 TT19, xT74903. 设 是方程组 的解，若 也是12,m,()0xb12mkk的解，则 应满足条件Axb()012,mk 24. 是否是向量空间 的一个基底？ 是 ，如果是，求12,a2R在基底 下的坐标312,T355. 已知 与 是 的两个基底，那么T12(,)(,0)TT12(,)(0,)2R
28、由基底 到基底 的过渡矩阵 =12,12,A6. 已知 ，则 与 的夹角为 TT(,03),(,10)09217. 设 ， 与 正交，且 ，则 ， 324,0121四 计算题1. 判断非齐次线性方程组 是否有解，若有解，求出其通解12341xx解2 123(,)112120135Ab0103210210可见 ，故原方程有解， （9 分）其通解为 (),)RAb 310,2kkR2.求齐次线性方程组 的通解，并求出其基础解系1234045xx解： ， 1230145可见原方程组与方程组 同解，令 ，解得原方程组12340xx1234342xxk的通解为 1221234 ,0xkkR22故，基础解
29、系为 21,03. 问 取何值时，齐次线性方程组 只有零解？有无穷多个解？231045xx并在有无穷多个解时求其通解. 解：2121210()()54064565由此可见（1）当 且 时，原方程组只有零解； 124（2）当 或 时原方程组有无穷多个解，125当 时，11110304459原方程组与 同解，令 ，得通解为 123x1233xk1213xkR当 时，24544142155503，可见原方程组与 同解，令 ，21501235xx123325xxxk级别 专业 班级 学号 姓名 -密-封-线-23得其通解为 12230xkR4. 为何值时，非齐次线性方程组 有唯一123() 1(5)4
30、2()xx解？无解？无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解. 解：222225454(1)5401012(1)29()01（1）当 且 时，方程组有唯一解； （2）当 时，2121(,)40Ab可见 ，方程组有无数解，且与方程 同解，令(,)13R1231x，可得通解为 123xk1221230,xkkR（3）当 时，10854(,)5489210Ab，可见 ，故原方程组无解. 25403(,)(RA5. 设 是四元线性方程组 的三个解向量，且 ，12,xb()3RA12，求 的通解. TT3801解：因为 线性方程组 的解向量，所以 ，两式相加得12,A12,b，即 ，可见 是 的一个解.
31、12()Ab12()b2()x24因为 线性方程组 的解向量，所以 ，两式相减得13,Axb13,Ab，可见 是 的一个解，因为 ，所以 的基础()0A130()R0Ax解系个数为 1，所以 通解为 13(),k故 的通解为 xb TT12()4(0,2),kkR6. 已知 4 阶方阵 ，其中 均为 4 维的列向量，且34,)A123,线性无关， 如果 ，求线性方程组 的23,124Ax=通解.解：将 ， 代入 得123,1241234(,)A，故23423(,)x=，移项得 1234234)，因为 线性无关，所以有1213()(1)xxx0=234,，令 ，得 ，故所求通解为1340x1k2
32、341kx0231kkR7. 已知 ，求（1） 的秩；（2）123451237(,)06AaaA的列向量组的一个最大线性无关组，并把其余列向量用最大线性无关组表示；（3）齐次线性方程组 的基础解系. 0Ax25解 A123712371237048406066541（）, 12371526000（1）可见矩阵 的秩 . AR（2） 的列向量组的一个最大线性无关组是 ，12,a3124125,6a=a=（3）由（）式得，原方程组的同解方程组为 ， 1345206xx该方程组可化为 ，令 ，求134526xx345123123(,)(,),kkR得 ，即132234556xkkxk123123 12
33、3243555660,1kx kk，此即为原方程的通解，其中 ，123,kRTT,20,2,0为基础解系. T560,8. 设 ，问 为何值时，可使123k=A（1） =1， =2， =3；()R()()RA26（2）分别求出当 =1， =2 时，齐次线性方程组 的通解；()RA()Ax=（3）当 =1， =2 时，判断线性方程组 是否有解，T,(1,0)b若有解，求其通解.解： 212313123020(1)2kkkkk（1）可见当 时， =1；当 时， =2；当 且 时，1k()RA()RAk=3.()RA（2）当 时， =1， ，令1k()1231230=2132,xk，可得 的通解为
34、12,RAxTT1212(,)(,),kkRx当 时， =2，k()，6036126314309011222=令 ，可得 的通解为 3,xk3RAx=T33(,),kkRx（3）当 =1 时，()1212121(,)3000=Ab可见 ， ，故 无解. (,)2,()1RA(,)(RbAT,(1,3)x=b当 =2 时，()26126(,)4309=b27212610312631090 6可见 ， 通解为 . (,)(2R=AbAxbTT3(,1)(,0),2kkR9. 已知方程组 以 为基础解系， （1）求该方程组0T12(,),0的系数矩阵；（2）方程组 当 取何值时，有解，并求出其通解.
35、 a解：（1）由已知得线性方程组的通解为，故 ，于是 ，121221230,xkk R1232xk312x故所求线性方程组为 ，其系数矩阵为 . 1230x10A（2）当 时， ,此时 有解。 0a(,)(1RAbxb，于是其通解为1(,)00RAb 121232,kkRx或 . 122123 ,xkkR10.设 ， （1）验证 为 的一TTT123(,0)(,)(,)123R个基；（2）将 化为 的一个正交基；（3）求 在正交基下的坐标. 23 T(5,07)解：（1） 1231213()06故 为 的一个基. 123R28（2） ，12121,323013233,21141732故 ， ，
36、 为 的一个正交基 T1(,0)T2(,)T3(,)3R（3）设 ，则123xx11232(,)x325551510232449(,)10309127故 在正交基 下的坐标为 T(5,0)123,1235,19xx11. 已知矩阵 ， （1）验证 的列向量组中，存在向量空间4AA的2R基底，并求出其中的一个基底；（2）求出其余列向量在该基底下的坐标；（3）用施密特正交化方法对该基底正交化，并对其标准化. 解：（1）因为 的一个二阶子式 ，故 ，于是 的列向量组中，A1034()2RA存在两个线性无关的向量，这便是向量空间 的基底. 2设 ，则 是 的一个基底.1234(,)345121,342（2） 1 0901818A可见 的坐标分别为 . 31412,9834,29（3）施密特正交化方法得 1212 3,310
