1、百校联盟 2018 届 TOP20 一月联考（全国卷）理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 为实数集 ，已知集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. 或 C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ，阴影部分表示的集合为选 C 2. 若 ，则 （ ）A. B. C. 16 D. 8【答案】A【解析】 ，由条件得 ， ，解得 选 A3. 某公交车站每隔 10 分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客侯车时间超过 7 分钟的概率为（ ）A. B.
2、C. D. 【答案】D4. 命题 ，命题 函数 在 上有零点，则 是 的（ ）A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意得函数 在 上单调递增，又函数 在 上有零点，所以 ，解得 是 的必要不充分条件选 C5. 如图所示，程序输出的结果为 ，则判断框中应填（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】依次运行框图中的程序：第一次： ，满足条件，继续运行；第二次： ，不满足条件， 退出循环结合各选项可得 B 正确选 B6. 已知 ，则函数 的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， 由 解得 或 ，故排
3、除 B ，函数为奇函数，排除 C又 ，故排除 D综上选 A7. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为（ ）A. B. 61 C. 62 D. 73【答案】C【解析】由三视图画出几何体如图所示，上、下底面分别为边长是 1、4 的正方形；前、后两个侧面是上底为 1，下底为 4，高为 4 的梯形；左、右两个侧面是上底为 1，下底为 4，高为 5 的梯形其表面积为 选 C8. 根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆.地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点.已知月球的近地点约为 36 万千
4、米，月球轨道上点 与椭圆两焦点 构成的三角形 面积约为 (万千米) 2， ，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设月球绕地球运行轨道的一个标准方程为 由椭圆的定义和余弦定理可得焦点三角形的面积 ，解得 由于地球的近地点为 36，所以 ， ， 故所求的标准方程为 选 B 9. 函数 ，则下面 4 个结论:函数 图象的对称轴为将 图象向右平移 1 个单位后，得到的函数为奇函数函数 的单调递增区间为经过点 的直线和 图象一定有交点正确结论的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】由题意得 对于，由 ，得 ，故 正确对于，将
5、的图象向右平移 1 个单位后，得到的函数为 ，由于 ，故所得函数为非奇非偶函数，所以不正确对于，当 时，函数的单调递增区间为 ；当 时，函数的单调递增区间为 ，故不正确对于，由题意得函数 的最大值为 ，最小值为 ，直线经过定点 ，由于 ，故当直线与 x 轴平行时与函数 的图象不想交故不正确综上只有正确选 A10. 如图所示，四棱锥 中，底面 为菱形， ，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， 分别为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，取 AD 的中点 O，连 OP,OB，由题意可得 平面 在 中，则由余弦定理得 ，所以 ，因此可建立如图所
6、示的空间直角坐标系 则 ， ， 异面直线 与 所成角的余弦值为 选 B点睛：空间向量的引入为求空间角带来了方便，解题时只需通过代数运算便可达到解题的目的，由于两向量夹角的范围为 ，因此向量的夹角不一定等于所求的空间角，因此在解题时求得两向量的夹角（或其余弦值）后还要分析向量的夹角和空间角大小间的关系解题时要根据所求的角的类型得到空间角的范围，并在此范围下确定出所求角（或其三角函数值）11. 双曲线 ， ，方向向量为 的直线过点 且与双曲线交于 两点，,， ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图，由题意知 D 为 BC 的中点，且 ，所以 过点 D 作 轴于 ，
7、则 在 中， ，根据三角形的相似可得， 又 ， ， ， 故点 D 的坐标为 设 ，由点差法可得 ，即 ， 选 A点睛：本题涉及的知识点较多，体现了知识间的综合运用解答时注意以下几点：（1）若直线的方向向量为 ，则直线的斜率为 （2）求双曲线的离心率时，要把所给的条件集中在某一个三角形中，然后根据三角形的边角关系得到一个关于 的方程或不等式，再根据 消去 得到关于 的方程或不等式，从而可得关于的方程或不等式，解方程或不等式可得离心率或其范围12. 函数 满足 ， ，若存在 ，使得 成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意设 ，则 ，所以 （为常数） ， ， 令
8、，则 ，故当 时， 单调递减；当时， 单调递增 ，从而当 时， ， 在区间 上单调递增设 ，则 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 不等式 等价于 ， ，解得 ，故 的取值范围为 选 A点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数 ，并进一步求得函数 的解析式，从而得到函数 在区间 上的单调性然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为 ，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 向量 ，且 ，则 的坐标为_【答案】 或 【解析】 ， 又 ， ，解
9、得 当 时， ；当 时， 答案： 或 14. 若 满足约束条件 则 的最小值为_【答案】【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示），由于 ，故表示可行域内的点 与定点 间距离的平方， 即由图形可得 的最小值即为点 到直线 的距离，所以 答案：15. 若 ，则 _【答案】-38【解析】令 ，则 由条件可得 ，故 的系数为 ，即 答案： 16. 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，则 外接圆面积的最小值为_【答案】【解析】由条件及正弦定理得 ， ，整理得 在 中，由余弦定理得 ， ，当且仅当 时等号成立 设 外接圆的半径为，则 ，故 故 外接圆面积的最小值为 答案：点睛：解答本题时注意以下
10、两点：（1）与解三角形有关的最值问题一般与面积有关，且常与基本不等式结合在一起考查，解题时要注意构造应用不等式的形式，同时还要说明等号成立的条件 （2）已知三角形的边和它的对角可求出三角形外接圆的半径，即 ，此结论的用途很大，需要记住三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 正项数列 满足 ， ，数列 为等差数列， ， .（1）求证： 是等比数列，并求 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1）证明见解析， （2）【解析】试题分析：（1）将条件整理可得 ，可得 ，从而证得数列 是等比数列，求出后根据题意可得 ，进而求得 （2）由（ 1）得 ，根据数列通项公式的特点，对数列 求和时先分组，再分别用错位相减求和及公式求和可得结果试题解析：（1）由题可得 ， ， ， ，又 ， 数列 是首项为 ，公比为 3 的等比数列 ，
