1、2018 届甘肃省民乐县第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题1、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集 ，则 ( )2,0,1URAxBx)UACBA B. C D （0,1）(0,)(,1)(,2)2. 已知 是虚数单位，则 ( )i2iA1 B C2 D 23. 等差数列 中， ，则 （）na135,10a7aA4 B6 C8 D104.某校高考数学成绩 近似地服从正态分布 ，且 ，2(,5)N(10).96P则 的值为(901)PA.0.49 B.0.48 C.0.47 D.0.465.中国古代数学名
2、著九章算术卷第五“商功”共收录 28 个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上 广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用 三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等 腰梯形，长度单位为尺） ，则该几何体的体积为 A3795000 立 方尺 B2024000 立方尺C. 632500 立方尺 D1897500 立方尺6.如果实数 满足条件 ，那么 的最大值为,xy10xy2xy（）A2 B1 C-2 D-37.某程序框图所示，该程序运行后输出的 值是（）A. 3 B.4 C.6 D.88向量 , 均为非零向量， ，则ab baba)2(,)2(, 的夹角ab为A
3、B C 33D 569某企业有 4 个分厂，现有新培训的 6 名技术人员，将这 6 名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少 1 人，则不同的分配方案种数为（）A1080 B480 C1560 D30010.在三棱柱 1CA中，侧棱垂直于底面，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长为 3，则 1B与平面 1所成的角为（） A. 6 B. 4 C. 3 D. 211.已知双曲线 右支上非顶点的一点 A 关于原点 的对称点为 ， 为其右焦)0,(1a2byx OBF点，若 ，设 ，且 ，则双曲线 离心率的取值范围是AFBF(,)124CA. B. C. D.(2,(1,(2,)12.已知 是定义在
4、上的函数，且满足 ；曲线 关于点 对称；当fxR0f1yfx,0时 ，若 在 上有 5 个零点，则实数 的取值4,02log1xemyx4,m范围为（）A. B. C. D. 43,1e423, 20,1e0,1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.知 ，则 的值是23401(2)1xaxaxa1234a14.在 ABC 中， ， 6ABC，则 AB 的面积为. 53sin15.过定点 的直线： 与圆 相切于点 ，则 M20kxyk22()(5)9xyNM16.对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数，3()fabcda(fx()yfx是 的导数，若方程 =0
5、有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”()fxf ()f00,)某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数 ，请你根据这一发现，计算3215()1fxx1204()()0505ffff三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.（12 分）在等差数列 na中，公差 0d， 17a，且 2， 5a， 10成等比数列.求数列 na的通项公式及其前 n项和 nS； 若 15nb，求数列 b的前 项和 T.18.水
6、是地球上宝贵的资源，某市政府为了提倡低碳环保的生活理念鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨） ，一位居民的月用水量不超过 的部分按平价xx收费，超出 的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均 用水量（单位：吨） ，将数据按照 ， ， ， 分成 9 组，制成了如图所示的0,.5).,1),.5)4,.5)频率分布直方图（1）若全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 3.6 万，试估计全市有多少居民？并说明理由；（2）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为 和 之间选取 7 户居民作为议价水费1,.5
7、).,2)价格听证会的代表，并决定会后从这 7 户家庭中按抽签方式选出 4 户颁发“低碳环保家庭”奖，设 为用X水量吨数在 中的获奖的家庭数， 为用水量吨数在 中的获奖家庭数，记随机变量1,.5)Y.,)，求 的分布列和数学期望|ZXYZ19.（ 12 分）如图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是等腰梯形，AB CD，AB2 ，BCCD1，顶点 D1 在底面 ABCD 内的射影恰为点 C(1)求证：AD 1BC；(2)若直线 DD1 与直线 AB 所成的角为 ，求平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成角(锐角) 的余弦值320.（ 12 分）已知动圆 M 过定点
8、E（2，0） ，且在 y 轴上截得的弦 PQ 的长为 4（1 ）求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程；（2 ）设 A，B 是轨迹 C 上的两点，且 ，F（1，0），记 S=SOFA +SOAB ，求 S 的最小值21.（ 12 分）已知函数 在其定义域内有两个不同的极值点. Raxxf 2ln（1）求 的取值范围；a（2）记两极值点分别为 已知 ，若不等式 恒成立，求 的范围.,2121且 012ex选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。22.选修 4-4：坐标系与参数方程 （10 分）已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以直角坐标系原点 为极点， 轴正半轴为极轴C1
9、5cos2inxy Ox建立极坐标系.（）求曲线 的极坐标方程；C（）设 ，若 与曲线 相交于异于原点的两点 ，12:,:63ll12l、 CAB、求 的面积 .AOB23. 选修 4-5：不等式选讲 （10 分）已知函数 .()2()fxxmR（1）若 ，求不等式 的解集；m()0fx（2）若方程 有三个实数根，求实数 的取值范围.()fxm民乐一中 20172018 学年第一学期高三年级期中考试数学（理科）试卷参考答案 一、 选择题.CDCDD BDACA CB二、 填空题 13. 0 14. 15. 4 16. 20149三、 解答题17 由 2510 a， ， 成等比数列 7d2974
10、d25na276nnS；由可得 517nbn129527149T +.18. 解：（1）由图，不低于 3 吨人数所占百分比为 ，0.5(.084)%所以假设全市的人数为 （万人） ，则有x，解得 ，所以估计全.23.6x市人数为 30 万（2）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为 1，因为频率 ，频 率 组 距组 距所以 ，得 ，0.5(8.604.5210.842)1a0.3用水量在 之间的户数为 户，而用水量在 吨之间的户数为 户，, 3.5,10.452根据分层抽样的方法，总共需要抽取 7 户居民，所以用水量在 之间应抽取的户数为 户，而用水量在, 753吨之间的户数为 户1.5,22
11、0435据题意可知随机变量 的取值为 0,2,4 ，Z35182,0724CYXPZ， 61,3,12 37144 CYXPYXPZ，0437(4)(,)5其分布列为： Z0 2 4P18351635135期望为： 6()024E19. (1)证明：连接 D1C，则 D1C平面 ABCD，D 1CBC在等腰梯形 ABCD 中，连接 AC，AB2，BCCD1，ABCD ，BCAC，BC平面 AD1C，AD 1BC(2)由(1)知 AC、BC 、D 1C 两两垂直，ABCD，D 1DC ，3CD1，D 1C 在等腰梯形 ABCD 中，AB2 ，BCCD1，AB CD，AC ，建立如图所示的空间直角
12、坐标系，3 3则 C(0,0,0)，A( ，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0， )，设平面 ABC1D1 的法向量为 n(x ，y，z)，由Error!得Error! 可得平面 ABC1D13 3的一个法向量为 n(1， ，1) 又 (0,0， )为平面 ABCD 的一个法向量因此 cos ，n ，平面3 CD1 3 CD1 CD1 n|CD1 |n| 55ABC1D1 与平面 ABCD 所成角( 锐角 )的余弦值为5520.解：（1）设 M（x，y），PQ 的中点 N，连 MN，则：|PN|=2 ，MNPQ ，|MN| 2+|PN|2=|PM|2又|PM |=|EM|，|MN| 2+
13、|PN|2=|EM|2x 2+4=（x2） 2+y，整理得 y2=4x（2）设 ， ，不失一般性，令 y10，则 ， ，解得 y1y2=8直线 AB 的方程为： ，（y 1y 2），即 ，令 y=0 得 x=2，即直线 AB 恒过定点 E（ 2，0），当 y1=y 2 时，ABx 轴， ， 直线 AB 也经过点 E（2，0 ） 由可得 ，S= = 当且仅当 ，即 时， 21.( )依题意得函数 得定义域为(0,+ )，所以方程 在(0,+ )有两个不同的根，I)(xf0)(xf即方程 在(0,+ )有两个不同的根.问题转化为函数 与 的图象(0,+ )有两个不同的交0lnax glnay点.又
14、 即当 时， ；当 时， ，,ln1)(2xgex00)(xge0)(xg所以 在 上单调递增，在 上单调递减.从而 又 有且只有一个零点是 1，)e,e1极 大 值 )(xg且当 时， ；当 时， . 所以，要想函数 与函数 的图象(0,+(x)(xlnay)有两个不同的交点，只需 . ( )因为 等价于ea10 I21xe，由( )知 是方程 的两个根，21lnlxI21,x0lnax即 ，所以原式等价于 ，,ax )(ln2121xa因为 ，所以原式等价于 . 210x， 21xa又由 作差得 ，即 .所以原式等价于 ，因为21ln,laxx)(ln21221lnxa2121lnxx时，
15、原式恒成立，即 恒成立.2102121x令 ，则不等式 在 上恒成立. ),(21tx )(lntt)1,0(t令 ，又 ，h)1ln 22)()(1) ttth当 时，可见 时， ，所以 上单调递增,12)(0,t0(t0在又 上恒成立，符合题意. 10 分1),(h在当 时，可见当 时， ，当 时， 所以 上单调递增, 在2)(,2t)(th)1(2，t)(th)(0)2t在上单调递减，又 上不恒成立，不符合题意，舍去 .综上所述，若不等式),1(t 0,0在恒成立，只需 ，又 ，所以 .2xe1222.( )曲线 的普通方程为 ， 2 分C5)2(yx（将 代入得： 4 分sincoyx sin4co（）由 ，解得 6 分si4co2623OA,解得 8 分sin4co23321OB 10 分458i1ASAOB23.（1） 时， .m12)(xxf当 时， ，不可能非负，2x3当 时， ，由 可解得 ，于是 .2)(xf 0)(f21x2x当 时， 恒成立.不等式 的解集为 .x05 ),（2）由方程 可变形为 .xf)(2xm令 ，2,4,2)( xxh作出图象如图所示. -2m2
