1、2018 届湖南省长沙市长郡中学高三第四次月考 数学（理）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 42xAZ， 124xB，则 ABI（ ）A 2x B ,0 C ,10,2 D 0,122若复数 z满足 21i3i（ 为虚数单位），则复数 z在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知向量 ,axr， ,1br，则“ 0x”是“ ar与 b夹角为锐角”的（ ）A充分不必要条件 B充要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件4在 62x展开式中，二项
2、式系数的最大值为 a，含 5x项的系数为 b，则 a（ ）A 53 B 53 C D 35一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）A甲 B乙 C丙 D丁6一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A1 B 43 C2 D 837已知 ,abr是平面内夹角为 90的两个单位向量，若向量 cr满足 0acbr，则 cr的最大值为
3、（ ）A1 B 2 C 3 D28执行如图所示的程序框图，则输出的 S值为（ ）A1009 B-1009 C-1007 D10089已知斜率为 3 的直线 l与双曲线 2:10,xyab交于 ,AB两点，若点 6,2P是 AB的中点，则双曲线 的离心率等于（ ）A 2 B C2 D 210若一个四位数的各位数字相加和为 10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7 组成的无重复数字且大于 2017 的“完美四位数”有（ ）个.A53 B59 C66 D7111椭圆 210yxb的左焦点为 F，上顶点为 A，右顶点为 B，若 FA的外接圆圆心,Pm
4、n在直线 x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A 2,1 B 1,2 C 20, D 10,212已知函数 ln,12xf，若 Fxfm有两个零点 12,x，则 12x的取值范围是（ ）A 42ln, B e, C ,42ln D ,e第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13已知双曲线经过点 1,2，其一条渐近线方程为 2yx，则该双曲线的标准方程为 14已知函数 sinxfx，若正实数 ,ab满足 490ffb，则 1ab的最小值为 15已知球 O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） ABCD的外接球，3BC， 2A，
5、点 E在线段 BD上，且 3BE，过点 作圆 O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 16已知 为坐标原点， F为抛物线 20ypx的焦点，若抛物线与直线 :302plxy在第一、四象限分别交于 ,AB两点，则 2OABur的值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17如图，在 C中， 3， D为边 C上的点， E为 AD上的点，且 8E， 410AC，4ED.（1）求 CE的长；（2）若 5D，求 cosAB的值.18现有 4 名学生参加演讲比赛，有 、 两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：
6、选手掷出能被 3 整除的数则选择 A题目，掷出其他的数则选择 B题目.（1）求这 4 个人中恰好有 1 个人选择 题目的概率；（2）用 XY、 分别表示这 4 个人中选择 AB、 题目的人数，记 XY，求随机变量 的分布列与数学期望 E.19如图 1，在矩形 ABCD中， 5， 2，点 ,EF分别在边 ,ABCD上，且 4E，DF， 交 于点 G， F交 于 O.现将 沿 折起，使得平面 F平面 ABC，得到图 2.（1）在图 2 中，求证： CEDG；（2）在图 2 中，若点 M是线段 上的一动点，问点 M在什么位置时，二面角 MAFD的余弦值为 35.20已知椭圆 2:10xyCab的两个
7、焦点分别为 12,0F， 2,，点 1,0与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆 的方程；（2）过点 1,0M的直线 l与椭圆 C相交于 ,AB两点，设点 3,2N，记直线 ,ANB的斜率分别为1,k，求证： 2k为定值.21已知函数 lnfxax， R.（1）若函数 y存在与直线 20y垂直的切线，求实数 a的取值范围；（2）设 1gxfx，若 g有极大值点 1x，求证： 12lnx.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，直线 l的参数方程为234xty（ 为参数），在以原点 O为极点， x
8、轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C的方程为 6sin.（1）写出直线 l的普通方程和圆 的直角坐标方程；（2）设点 4,3P，直线 l与圆 相交于 ,AB两点，求 1PB的值.23选修 4-5：不等式选讲已知函数 21fxx.（1）求函数 的值域 M；（2）若 a试比较 a， 32a， 7的大小.炎德英才大联考长郡中学 2018 届高三月考试卷（四）数学（理科）参考答案一、选择题1-5:BCCBB 6-10:CBBAD 11、12：AD二、填空题13214yx141 15 2,4 16 97563三、解答题17解：（1）由题意可得 34AEC，在 AEC中，由余弦定理得22cos，所以 216
9、048CE，整理得 2960，解得： .故 CE的长为 42.（2）在 D中，由正弦定理得 sinsiCED，即 5sinsi4E，所以 25i2in4CD，所以 4sinE.因为点 在边 B上，所以 3EB，而 4352，所以 CDE只能为钝角，所以 cos5，所以 cscoss33ABCECDEinsi3CE3145210.18解：由题意知，这 4 个人中每个人选择 A题目的概率为 13，选择 B题目的概率为 23，记“这 4 个人中恰有 i人选择 题目”为事件 0,24i， 44123iiiiPAC，（1）这 4 人中恰有一人选择 B题目的概率为 334128PAC.（2） 的所有可能取
10、值为 0，3，4，且04PAP4402161738C，133 31442840，2244PAC8. 的分布列是所以 1740283813E.19解：（1）在矩形 ABCD中， 5， 2A， 4E， 1DF， tantanFDE， 90O即 A.在图 2 中， O， F.又平面 A平面 B，平面 AI平面 BCF， 平面 C， E.依题意， EF 且 ，四边形 为平行四边形. ， O，又 DOI， 平面 D，又 G平面 ， CG.（2）如图 1，在 RtAF中， 5， 2， 15F， E ， 4， 84OED.如图，以点 O为原点建立平面直角坐标系，则4,05A， 1,05F， 2,5， 80,
11、， ,ur， 8,EDur， 4,5AEur， EOAF， 平面 F， 10,nur为平面 ADF的法向量.设 EMr，则 482,1,55Eurur ，设 2,nxyzur为平面 的法向量，则20FAr即 5482105xyz，可取 20,41nur.依题意，有 12223cos,6nur ，整理得 2890，即 40， 4.当点 M在线段 DE的四等分点且 1MDE时，满足题意.20解：（1）依题意， 2c， 2ab.点 ,0M与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， bO， 3a.椭圆 C的方程为21xy.（2）当直线 l的斜率不存在时，由 213xy解得 x， 63y.设 61,3A， 6
12、,3B，则 1262k为定值.当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为： 1ykx.将 1ykx代入213y整理化简，得 223630k.依题意，直线 l与椭圆 C必相交于两点，设 1,Axy， 2,Bxy，则212631kx，23kx.又 1y， 2y，所以 11223kx1221133yxyx1 21219kx 1212124693kxx2122364691xkk261k.综上得 12k为常数 2.21解：（1）因为 2fxa， 0x，因为函数 y存在与直线 y垂直的切线，所以 2fx在 0,上有解，即 1a在 上有解，也即 4x在 ,上有解，所以 201a，得 14，故所求实数 的取值
13、范围是 ,.（2）证明：因为 21gxfxln2xa，因为2a，当 1时， gx单调递增无极值点，不符合题意，当 a或 时，令 0，设 210xa的两根为 1x和 2，因为 1x为函数 x的极大值点，所以 12，又 12x， 120xa，所以 1， 10x，所以 11g，则21，要证明 12lnxa，只需要证明 2lnxax，因为 2111llxx22111lnx， 10.令 3lnh， 0,x，所以 2x，记 23lnPx， 0,1，则 213xP，当 03x时， 0，当 13x时， 0Px，所以 maxlnP，所以 h.所以 h在 0,1上单调递减，所以 x，原题得证.22解：（1）由直线 l的参数方程为234xty（ 为参数），得直线 l的普通方程为 70xy.又由 6sin得圆 C的直角坐标方程为 2239xy.（2）把直线 l的参数方程423xty（ 为参数），代入圆 C的直角坐标方程，得 2470tt，设 12,是上述方程的两实数根，
