1、2018 届湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题仅有一个答案是正确的）1. 若复数 z = ，其中 i 为虚数单位，则 Z 的共轭复数 =（ ）A. 1+i B. 1i C. 1+i D. 1i【答案】B【解析】试题分析： ，选 B.【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.2. 设全集 U=R，集合 A=x|x2-2x-3
2、0 ，B=x|x-10，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. x|x-1 或 x3 B. x|x1 或 x3 C. x|x1 D. x|x-1【答案】D【解析】由图象可知阴影部分对应的集合为 U(AB)，由 x22x30)上，则 的最小值为_【答案】9.【解析】根据点在线上，得到 ，故 等号成立的条件为 故得到最小值为 9故答案为 9.15. 学校艺术节对同一类的 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“ 作品获得一等奖” ； 乙说：“ 作品获得一等奖”丙说：“ 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是 或 作品获得一等奖”若这四位同学中
3、只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 _【答案】C.【解析】若 是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若 是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若 是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若 是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是 16. 已知直线 交抛物线 于 E 和 F 两点，以 EF 为直径的圆 x 轴截得的弦长为 ，则 k =_ .【答案】 1.【解析】直线 恒过定点 ，而 为抛物线 的焦点，则，圆心到 轴的距离为 ，圆的半径为 ，联立 消去 得，则 ，所以根据垂径定理有 ，代入计算得 .点睛：此题考查直线和圆的位置关系，多数情况下是考虑数形结合的方法，通过圆心到直线的距离等于半径，
4、和垂径定理来构造方程。在直线和圆的位置关系中，善于发现直线过的定点，和圆当中的垂直关系，善于发现图形特点是非常重要的。三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答题需要写出必要的解答过程）17. 在 中， 分别是角 的对边， .（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的面积 的最大值.【答案】(1) ;(2) 的面积 的最大值为 .【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到 ，即 ，根据特殊角得 A；（2）由第一问知道 ，再由余弦定理得到 ，从而得到 bc 的范围。再由正弦定理得到面积。（）因为 ，所以 ，由正弦定理得 ， 即 ， 又 ，所以 ，所以 ， 在 中， ，所以 由 得 （）由余弦定理
5、得： ， ， ，当且仅当 时“ ”成立，此时 为等边三角形， 的面积 的最大值为 18. 我市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100 名按年龄分组：第 1 组 ，第 2 组 ，第 3 组 ，第 4 组 ，第 5 组 ，得到的频率分布直方图如图所示（1）分别求第 3，4，5 组的频率（2）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场宣传活动，应从第 3，4，5 组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，我市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率【答案】(1)
6、第 3 组的频率为 03，第 4 组的频率为 02，第 5 组的频率为 01;(2) 从第 3，4，5 组中分别抽取 3 人，2 人，1 人;(3) 第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为.【解析】试题分析：（1）由图可知，频率= 组距=5y,可求得各组频率。 （2）由（1）可知第 3，4，5组的频率分别为，0.3,0.2,0.1，所以各组人数为 30,20,10,按分层抽样，3:2:1 抽取，所以第 3，4，5 组分别抽 3 人，2 人，1 人。 （3）由（2）知第 3，4，5 组中分别抽取 3 人，2 人，1 人记第 3 组的 3 名志愿者为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 名志愿者
7、为 B1，B2，第 5 组的 1 名志愿者为 C1所以采用列举法，可知总共方法为有 9 种，满足的方法有 9 种，根据古典概型可知 。试题解析:（1）由题设可知,第 3 组的频率为 0065=03，第 4 组的频率为 0045=02，第 5 组的频率为 0025=01 （2）第 3 组的人数为 03100=30， 第 4 组的人数为 02100=20，第 5 组的人数为 01100=10因为第 3，4，5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别为：第 3 组： 6=3；第 4 组： 6=2；第 5 组： 6=1所以应从第 3，4
8、，5 组中分别抽取 3 人，2 人，1 人 （3）记第 3 组的 3 名志愿者为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 名志愿者为 B1，B2，第 5 组的 1 名志愿者为C1则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有：（A1,A2）, （A1,A3）,（A1,B1）,（A1,B2）,（A1,C1）,（A2,A3）,（A2,B1）,（A2,B2）,（A2,C1）,（A3,B1）,（A3,B2）,（A3,C1）,（B1,B2）,（B1,C1）,（B2,C1） ，共有 15 种其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有：（A1,B1）, （A1,B2）, （A2,B1）,
9、（A2,B2）, （A3,B1）, （A3,B2）, （B1,B2）, （B1,C1）, （B2,C1） ，共有 9 种所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 19. 如图，多面体 中， , 平面 ，且.（） 为线段 中点，求证： 平面 ；（）求多面体 的体积 .【答案】(1)见解析；（2） .【解析】试题分析：（）通过证明面面平行得到线面平行；（）将多面体 分割成三棱锥和四棱锥 ，再分别算出它们的体积。它们之和即为所求。试题解析：（）证明：取 中点 ，由平面 平面 平面（）20. 已知椭圆 E: 经过点 P(2,1)，且离心率为 （）求椭圆的标准方程；（）设 O 为坐标原点，在椭圆短轴
10、上有两点 M，N 满足 ，直线 PM、PN 分别交椭圆于 A，B探求直线 AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由【答案】 （1） ；（2）直线 AB 过定点 Q（0，2）.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。（）由椭圆的离心率 e= ，则 a2=4b2， 将 P（2，1）代入椭圆 ，则，解得： b2=2，则 a2=8， 椭圆的方程为： ； （）当 M， N 分别是短轴的端点时，显然直线 AB 为 y 轴，所以若直线过定点，这
11、个定点一点在 y 轴上， 当 M， N 不是短轴的端点时，设直线 AB 的方程为 y=kx+t，设 A（ x1， y1） 、 B（ x2， y2） ，由 消去 y 得（1+4 k2） x2+8ktx+4t28=0，则=16（8 k2 t2+2）0， x1+x2= ， x1x2= ， 又直线 PA 的方程为 y1= （ x2） ，即 y1= （ x2） ，因此 M 点坐标为（0， ） ，同理可知： N（0， ） ，由 ，则 + =0，化简整理得：（24 k） x1x2（24 k+2t） （ x1+x2）+8 t=0，则（24 k） （24 k+2t） （ ）+8 t=0， 当且仅当 t=2 时，
12、对任意的 k 都成立，直线 AB 过定点 Q（0，2）.21. 已知函数 ，函数 .（）求函数 的单调区间；（）若不等式 在 上恒成立，求实数 a 的取值范围；（）若 ，求证不等式 .【答案】(1) g(x)的增区间 ，减区间 ;(2) ;(3)见解析.【解析】试题分析：（1）根据导数的正负情况研究函数的单调性；（2）恒成立求参转化为恒成立，求到研究函数单调性和最值；（3）转化为在 上恒成立。通过求导研究函数单调性，求得函数最值。（）g(x)的定义域为 ， ， 当时， 在 上恒成立所以 g(x)的增区间 ，无减区间当 时，令 得令 得 所以 g(x)的增区间 ，减区间 .（） 即 在 上恒成立设 ，考虑到，在 上为增函数， ，当 时， ， 在 上为增函数， 恒成立当 时， ， 在 上为增函数
