1、1函数对称性一 知识点精讲：I 函数 图象本身的对称性（自身对称）)(xfy1、 图象关于直线 对称baf)(xfy2)(baxax证明：函数 图象上的任一点 （满足 ）关于直线)(f 0,Py0()fy的对称点为 ，2x0,)Qa(fb00()()fbxfy点 仍在函数 的图象上，从而函数 的图象关于直线 对称.)(xfy2abx推论 1： 的图象关于直线 对称)()(xafff推论 2、 的图象关于直线 对称2x)(y推论 3、 的图象关于直线 对称xax2、 的图象关于点 对称cbfaf)()( f),2(cb证明：函数 图象上的任一点 （满足 ）关于点xy0(,)Py0)fy的对称点为
2、 ，(,)bc0(,2Qa0()fabxxa0 02()fcfxc点 仍在函数 的图象上，从而函数 的图象关于点 对称.(fy )(fy(,)2bc推论 1、 的图象关于点 对称baxf 2)(xa推论 2、 的图象关于点 对称f )(f ),(推论 3、 的图象关于点 对称fybII 两个函数的图象对称性（相互对称）1、 与 图象关于 轴对称)(xy)(xfy2、 与 图象关于原点对称函数f3、函数 与 图象关于 轴对称fx4、函数 与其反函数 图象关于直线 对称)(xfy1()yfyx5.函数 与 图象关于直线 对称 a(bf 2ab证明：函数 图象上的任一点 （满足 ）关于直线()f 0
3、(,)Px0()f的对称点为 ，2bx(,Qay0()fxfxy点 在函数 的图象上；反之函数 的图象上任一点关于直线Q()yfx()b2的对称点也在函数 图象上.从而函数 与2bax()yfax()yfax的图象关于直线 对称.()yf 2b推论 1:函数 与 图象关于直线 对称)(xaf)(xfy0x推论 2:函数 与 图象关于直线 对称a推论 3:函数 与 图象关于直线 对称ya6 若函数 的定义域为 ，则函数 与 的图象关于点)(fR()yf()yfbx对称.(,02ba证明：函数 图象上的任一点 （满足 ）关于点()yfx0(,)Px0()fay的对称点为 ，(,)0(,Qbay0(
4、)fbxfxy点 在函数 的图象上；反之函数 的图象上任一点关于点Q)f ()的对称点也在函数 图象上.从而函数 与(,0)2ba()fxyfa的图象关于点 对称.yfx,02ba二 典例解析：1、定义在实数集上的奇函数 恒满足 ，且 时, )(xf )1()(xff)01(,则 _。52)(xf 20(logf解析： 关于直线 对称， ，又 是 奇函数，)y1)2()(ff)(f，故有 ， ,ff)xf4T答案为：420(log)20(log 15)5(log)5(log4log22 2ff12、已知函数 满足 ，则 图象关于_对称。)xfy0)xf (xfy解析：这是一个函数的对称性，由上
5、述结论知 图象关于 对称)0,3、函数 与函数 的图象关于关于_对称。1(1(y解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于 对称 答案：114、设函数 的定义域为 R，且满足 ，则 的图象关)xfy )()(xfxf)(xfy于_对称。解析：这是一个函数的对称性， 的图象关于 y 轴即 对称 答案：)y005、设函数 的定义域为 R，且满足 ，则 的图)(f )()(ff)(f象关于_对称。解析： 关于直线 对称， 是由 向左平移一个单位得xy11xx3到的， 故 的图象关 y 轴对称 正确答案为 y 轴)1(xfy6、设 的定义域为 R，且对任意 ，有 ，则Rx)2(1(xff关于_对称，
6、 图象关于_对称， 。)f )2(f解析：令 ， 则有 关于直线 ， 即xt2tf)tfy1t关于 对称， 是由 的图象纵坐标不变，横坐标变)(fy1)(xy(x为原来的 ， 关于 对称。 正确答案为 ，2)(xfy4124x7、已知函数 对一切实数 x 满足 ，且方程 有 5)4()2(ff0)(f个实根，则这 5 个实根之和为_解析： 的图象关于直线 对称，故五个实根，有两对关于直线 对称，)(f33它们的和为 ，还有一个根就是 。故这 5 个实根之和为 15，正确答案为 1518、设函数 的定义域为 R，则下列命题中，xy若 是偶函数，则 图象关于 y 轴对称；)(f )2(xfy若 是偶函数，则 图象关于直线 对称；2 2x若 ，则函数 图象关于直线 对称；) 与 图象关于直线 对称，)(xfy(f其中正确命题序号为_。解析： 错 关于直线 对称， 对 错 若)2xy2x，则函数 图象关于直线 对称； 对 正)2()(ff(f0确答案为
