1、2018 届河南省长葛市第一高级中学高三 12 月月考数学（理）试题一、单选题1设 ， 为虚数单位，且 ，则 ( )xRi1xRiA. 1 B. 1 C. 2 D. 2【答案】B【解析】由条件知道 是实数，故1xi，要求虚部为 0 即可， 2112ixii10,.x故答案为 B。2设集合 ， ，则 中整数元素的个数为2|7Ax|57BxAB（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】集合 ， 2|7x|07x. ，整数有 3，4，5，6.共51|51xAB5|72x四个。故答案为 B。3已知向量 ， ，则 是“ 与 反向” 的( )1,ax,4bxabA. 充分不必要条件 B
2、. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当向量 反向时，则有 且 ，即 ，1,4axbab014 x解得 。2x故“ ”是“ 与 反向”的充要条件。选 C。4中国古代数学名著九章算术 中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马.” 马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5 斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还 升， 升， 升，1ab
3、c斗为 10 升，则下列判断正确的是( )A. ， ， 依次成公比为 2 的等比数列，且abc 507aB. ， ， 依次成公比为 2 的等比数列，且 cC. ， ， 依次成公比为 的等比数列，且c1D. ， ， 依次成公比为 的等比数列，且ab2507a【答案】D【解析】由条件知 ， ， 依次成公比为 的等比数列，三者之和为 52 升，根据abc12等比数列的前 N 项和，即 5024.7a故答案为 D。5若函数 在（0 ，1）上递减，则 取值范围是（ ）21xfeaA. B. C. D. 21,e,2,e21,e【答案】B【解析】函数 在（0，1）上递减，即导函数在区间上小于等2xfea于
4、 0 恒成立；故 ，在（0，1）上恒成立， 2xae是增函数，故最大值在 x=1 处取。得到范围是 。21xe ,故答案为：B。6某几何体的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为 ，则该几何体的表面积为（ ）12A. 36 B. 42 C. 48 D. 64【答案】C【解析】有三视图知该几何体是正方体，挖去了右上角和左下角两个八分之一的小正方体，剩下的体积为整个正方体的体积的四分之三，故得到正方体边长为 此时表面积是 312.2.4aa2.32648.故答案为 C。7定义在 上的奇函数 的一个零点所在区间为 ( )R4sinxfaxA. B. C. D.
5、,0a,3,3a【答案】C【解析】定义在 上的奇函数 ，故 R24sinxfax 01.fa根据零点存在定理得到 ， 24sinxfx3131,i,si10.2。6si08f故在区间 上一定有零点。,3a故答案为：C。8设变量 满足约束条件 ，则 的取值范围为（ ）,xy01 32xyzxyA. B. C. D. 2,6,10,6【答案】D【解析】根据变量 满足约束条件 画出可行域，如图所示：,xy01 32xy由 得3 0xy,3A由图得当 过点 时， 最大为 6.z,z 所求 的取值范围为xy,6故选 D9在正四棱锥 中，已知异面直线 与 所成的角为 ，给出下面三PABCPBAD60个命题
6、:若 ，则此四棱锥的侧面积为 ；1p243：若 分别为 的中点，则 平面 ；2,EF,D/EF:若 都在球 的表面上，则球 的表面积是四边形 面积的3PABCOABCD倍. 在下列命题中，为真命题的是（ ）A. B. C. D. 23p12p13p23p【答案】A【解析】因为异面直线 与 所成的角为 ，AD 平行于 BC，故角 PBC= ，PBAD6060正四棱锥 中，PB=PC，故三角形 PBC 是等边三角形；当 AB=2，此四棱锥-C的侧面积为 ，故 是假命题；431p取 BC 的中点 G， 分别为 的中点故得 ，故平面,EF,C/,/ABFGPEEFG/平面 PAB，从而得到 EF/平面
7、 PAB，故 是真命题；2p设 AB=a, AC 和 BD 的交点为 O，则 PO 垂直于地面ABCD，PA，AO ，PO O 为球心，球的半径为 ，表面积为 ,又正方形的面积为 ,故 为真。 2a2a3p故 为真； 均为假。23p12p13p23p故答案为 A。10设 ， ，定义运算： ，则（ ）a0,blog,abA. B. 2484824824C. D. 【答案】B【解析】因为 = =3，（ ） =3 = ，2482843log4= 483924logl,0lg.94lgl又因为 = = 3322ll.82lo83.故 。844故答案为 B。11设 为数列 的前 项和， ，且 .记 nS
8、na11232nna123anT为数列 的前 项和，若 ，则 的最小值为（ ）1n*,nNTmA. B. C. D. 1323【答案】A【解析】由 2anan1=32n1（n2） ，得， 1132424nnnaa由 2anan1=32n1（n2） ，且 3a1=2a2，可得 2a2a1=6，即 2a1=6，得 a1=3数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，n4则 121121 224nnnn a （2+22+23+2n） 22n21n11.2nnS 12nn 1123nnnnaS2.3nnnT对 nN，Tnm，m 的最小值为 1故答案为 A。点睛：这个题目考查的是数列求通项的常用方法：配凑
9、法，构造新数列。也考查了等比数列求和公式的应用，数列和的最值。关于数列之和的最值，可以直接观察，比如这个题目，一般情况下需要研究和的表达式的单调性：构造函数研究单调性，做差和0 比研究单调性，直接研究表达式的单调性。12当 时， 恒成立，则 的取值范围为（ ）xln1xeaaA. B. C. D. ,1,e,0【答案】A【解析】当 x0 时， aln（x+1）恒成立，1xe， x0,lnxafx则 f（x）= ，21lxee再设 g（x）=（1+x）2ln（x+1）x，则 g（x）=（1+x）ln（x+1）+1+xx=（1+x）ln（x+1）+10 恒成立，g（x）在 0，+）上单调递增，g（
10、x）g（0）=0，f（x）0f（x）在0， +）上单调递增，f（x）f（0），根据洛必达法则可得f（0）=1a1，故 a 的取值范围为（ ，1故答案为 A。点睛：这个题目考查的是函数，不等式恒成立求参的问题。一般解决的方法是伴随着导数研究单调性和最值；可以解决的方法有：直接转化成函数最值；可以先变量分离再转为函数最值；也可以分离成两个函数，让其中一个函数在另一个的上方。二、填空题13设向量 满足 ，则 _,ab2,|5abab【答案】 .12【解析】 2,| ，即24abab254aba 1故答案为 214函数 的值域为_4xf【答案】 0,【解析】 4402.xxx故答案为： 。,215若函
11、数 的图象相邻的两个对称中心为sin(,)2fx，将 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，得到51,0,6f 12的图象，则 _.gxgx【答案】 .sin26x【解析】函数 的图象相邻的两个对称中心为sin(0,)2fx51,0,6 22T sinfx 1i06f 2 6将 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，得到 的图象fx 12gx sin26g故答案为 ix点睛：本题考查的是三角函数的图象的综合性质的应用；一般通过图象特点求解析式，需要找函数的最值点和零点来求周期和相位；图象的平移一般是左加右减的规律，注意这个步骤需要将 的系数提出来.x16如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，底
12、面EABCDEABCD/FEC为矩形， 为线段 的中点， ， ， ， ABCDGG2与底面 所成角为 ，则四棱锥 与三棱锥 的公共部E045G分的体积为_【答案】 29【解析】设 ， ，连接 ，则几何体 为两DECFMAEFGNMCGDN个棱锥的公共部分 为 的中点， ， GABCGD2 ， 12 且FDE 为 的中点M取 的中点 ， 的中点 ，则 ， ， CDPDGHPMFDPHCG12HG易证 平面F 3MDFNDNVPS 与平面 所成角为BEAC45 45 1连接易知 2GNFE 133DS 9MFNV 12329CGDCGMDFNV故答案为 2三、解答题17在 中，角 , , 的对边分
13、别为 ， ， ，已知 ， ABabc2cosaA.5sin1（1 ）求 ；C（2 ）求 .bc【答案】 （1） ；（ 2）sin453bc【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理得到 ，故得到sin2icosAC，已知正弦 A，可求 C 的正弦。 （2） ，根据三角形三个角ta2siAC154的关系得到 ，代入已知三角函数值可求得sinsincosinBACAC，利用正弦定理得到 。si ibB解：（1） ， ， .2cosa2sta2si0， ， ，从而 .5inAiincA1tn1n4（2 ） ， 为锐角， ，1sisi45CC5cos，12153inincosin405BAA.si253b
14、cC18设 为数列 的 项和， ，数列 满足 ， .nSna2nSnb23a12nb（1）求 即 ；b（2）记 表示 的个位数字，如 ，求数列 的前 项和.n6174nab20【答案】(1) ;(2) .2nb09【解析】试题分析：（1）由 ，利用递推关系式求出数列的通项公式；（2）首先根nS据题意求出数列的周期，进一步利用裂项相消法求出数列的和试题解析：（1）当 时， ，1nnaS由于 也满足 ，则1aS2n2 ， ， ，235b1b13b 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，n .（2） ， 的前 5 项依次为 1,3,5,7,9.1nana ， 的前 5 项依次为 3,5，7,9,1b
15、b易知，数列 与 的周期均为 5，nn 的前 20 项和1nab1114379 .11118204 4235799 19已知向量 ，函数 ， .sin,2cos,6axbx fxabxR（1）若 , 求 ；2,0（2）求 在 上的值域；fx,（3）将 的图象向左平移 个单位得到 的图象，设f6gx，判断 的图象是否关于直线 对称，请说明理由.21hxgxh1x【答案】(1) 或 ;(2) ;(3)见解析.51,2【解析】试题分析：（1）根据模长公式即可求解 的值；（2）根据函数 ，利xfxab用向量坐标的运算求解 的解析式，化简，再求解内层函数的范围，即可求解值fx域；（3）根据平移变换的规律请 的解析式，可得 的解析式，结合三角函ghx数的性质即可判断是否关于直线 对称.1试题解析：(1) ， ， 24sinax21sin41sin2又 ，,0x 或 .65（2） 2314sinco14sincosin3sini13sin21cos2sin62 6fxxxxxxxx 0,2x ，7,6 ，1sin2,2x故 在 上的值域为 .f0,
