1、第 1 页 共 14 页高 中 高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结第 一 章 集 合 与 函 数 概 念一 、 集 合 有 关 概 念1、 集 合 的 含 义 ： 某 些 指 定 的 对 象 集 在 一 起 就 成 为 一 个 集 合 ， 其 中 每 一 个 对 象 叫 元 素2、 集 合 的 中 元 素 的 三 个 特 性 ：1.元 素 的 确 定 性 ； 2.元 素 的 互 异 性 ； 3.元 素 的 无 序 性说 明 ： (1)对 于 一 个 给 定 的 集 合 ， 集 合 中 的 元 素 是 确 定 的 ， 任 何 一 个 对 象 或 者 是 或 者 不 是 这 个
2、给 定 的 集 合 的 元 素 。(2)任 何 一 个 给 定 的 集 合 中 ， 任 何 两 个 元 素 都 是 不 同 的 对 象 ， 相 同 的 对 象 归 入 一 个 集 合 时 ， 仅算 一 个 元 素 。(3)集 合 中 的 元 素 是 平 等 的 ， 没 有 先 后 顺 序 ， 因 此 判 定 两 个 集 合 是 否 一 样 ， 仅 需 比 较 它 们 的 元素 是 否 一 样 ， 不 需 考 查 排 列 顺 序 是 否 一 样 。(4 集 合 元 素 的 三 个 特 性 使 集 合 本 身 具 有 了 确 定 性 和 整 体 性 。3、 集 合 的 表 示 ： 如 我 校 的
3、篮 球 队 员 ， 太 平 洋 ,大 西 洋 ,印 度 洋 ,北 冰 洋 1. 用 拉 丁 字 母 表 示 集 合 ： A=我 校 的 篮 球 队 员 ,B=1,2,3,4,52 集 合 的 表 示 方 法 ： 列 举 法 与 描 述 法 。注 意 啊 ： 常 用 数 集 及 其 记 法 ：非 负 整 数 集 （ 即 自 然 数 集 ） 记 作 ： N正 整 数 集 N*或 N+ 整 数 集 Z 有 理 数 集 Q 实 数 集 R关 于 “属 于 ”的 概 念集 合 的 元 素 通 常 用 小 写 的 拉 丁 字 母 表 示 ， 如 ： a 是 集 合 A 的 元 素 ， 就 说 a 属 于
4、集 合 A 记 作 a A ， 相 反 ， a 不 属 于 集 合 A 记 作 aA列 举 法 ： 把 集 合 中 的 元 素 一 一 列 举 出 来 ， 然 后 用 一 个 大 括 号 括 上 。描 述 法 ： 将 集 合 中 的 元 素 的 公 共 属 性 描 述 出 来 ， 写 在 大 括 号 内 表 示 集 合 的 方 法 。 用 确 定 的 条 件表 示 某 些 对 象 是 否 属 于 这 个 集 合 的 方 法 。 语 言 描 述 法 ： 例 ： 不 是 直 角 三 角 形 的 三 角 形 数 学 式 子 描 述 法 ： 例 ： 不 等 式 x-32 的 解 集 是 xR| x-3
5、2或 x| x-324、 集 合 的 分 类 ：1 有 限 集 含 有 有 限 个 元 素 的 集 合2 无 限 集 含 有 无 限 个 元 素 的 集 合3 空 集 不 含 任 何 元 素 的 集 合 例 ： x|x2= 5二 、 集 合 间 的 基 本 关 系1.“包 含 ”关 系 子 集注 意 ： 有 两 种 可 能 （ 1） A 是 B 的 一 部 分 ， ； （ 2） A 与 B 是 同 一 集 合 。反 之 : 集 合 A 不 包 含 于 集 合 B,或 集 合 B 不 包 含 集 合 A,记 作 A B 或 B A2 “相 等 ”关 系 (5 5， 且 5 5， 则 5=5)实
6、例 ： 设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元 素 相 同 ”结 论 ： 对 于 两 个 集 合 A 与 B， 如 果 集 合 A 的 任 何 一 个 元 素 都 是 集 合 B 的 元 素 ， 同 时 ,集 合 B 的任 何 一 个 元 素 都 是 集 合 A 的 元 素 ， 我 们 就 说 集 合 A 等 于 集 合 B， 即 ： A=B 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 。 AA 真 子 集 :如 果 AB,且 A B 那 就 说 集 合 A 是 集 合 B 的 真 子 集 ， 记 作 A B(或 B A) 如 果 AB, BC ,那 么 AC第 2 页 共 14
7、 页 如 果 AB 同 时 BA 那 么 A=B3. 不 含 任 何 元 素 的 集 合 叫 做 空 集 ， 记 为 规 定 : 空 集 是 任 何 集 合 的 子 集 ， 空 集 是 任 何 非 空 集 合 的 真 子 集 。三 、 集 合 的 运 算1 交 集 的 定 义 ： 一 般 地 ， 由 所 有 属 于 A 且 属 于 B 的 元 素 所 组 成 的 集 合 ,叫 做 A,B 的 交 集 记 作 A B(读 作 ”A 交 B”)， 即 A B=x|x A， 且 x B2、 并 集 的 定 义 ： 一 般 地 ， 由 所 有 属 于 集 合 A 或 属 于 集 合 B 的 元 素 所
8、 组 成 的 集 合 ， 叫 做 A,B 的并 集 。 记 作 ： A B(读 作 ”A 并 B”)， 即 A B=x|x A， 或 x B3、 交 集 与 并 集 的 性 质 ： A A = A, A = , A B = B A， A A = A,A = A ,A B = B A.4、 全 集 与 补 集（ 1） 补 集 ： 设 S 是 一 个 集 合 ， A 是 S 的 一 个 子 集 （ 即 ） ， 由 S 中 所 有 不 属 于 A 的 元 素 组 成的 集 合 ， 叫 做 S 中 子 集 A 的 补 集 （ 或 余 集 ）记 作 ： CSA 即 CSA =x | xS 且 xA（ 2
9、） 全 集 ： 如 果 集 合 S 含 有 我 们 所 要 研 究 的 各 个 集 合 的 全 部 元 素 ， 这 个 集 合 就 可 以 看 作 一 个全 集 。 通 常 用 U 来 表 示 。（ 3） 性 质 ： CU(C UA)=A (C UA) A= 二 、 函 数 的 有 关 概 念1 函 数 的 概 念 ： 设 A、 B 是 非 空 的 数 集 ， 如 果 按 照 某 个 确 定 的 对 应 关 系 f， 使 对 于 集 合 A 中 的任 意 一 个 数 x， 在 集 合 B 中 都 有 唯 一 确 定 的 数 f(x)和 它 对 应 ， 那 么 就 称 f： A B 为 从 集
10、合 A 到 集 合B 的 一 个 函 数 记 作 ： y=f(x)， x A 其 中 ， x 叫 做 自 变 量 ， x 的 取 值 范 围 A 叫 做 函 数 的 定 义 域 ；与 x 的 值 相 对 应 的 y 值 叫 做 函 数 值 ， 函 数 值 的 集 合 f(x)| x A 叫 做 函 数 的 值 域 注 意 ： 2 如 果 只 给 出 解 析 式 y=f(x)， 而 没 有 指 明 它 的 定 义 域 ， 则 函 数 的 定 义 域 即 是 指 能 使 这 个式 子 有 意 义 的 实 数 的 集 合 ； 3 函 数 的 定 义 域 、 值 域 要 写 成 集 合 或 区 间 的
11、 形 式 定 义 域 补 充能 使 函 数 式 有 意 义 的 实 数 x 的 集 合 称 为 函 数 的 定 义 域 ， 求 函 数 的 定 义 域 时 列 不 等 式 组 的 主 要 依据 是 ： (1)分 式 的 分 母 不 等 于 零 ； (2)偶 次 方 根 的 被 开 方 数 不 小 于 零 ； (3)对 数 式 的 真 数 必 须 大 于 零 ；(4)指 数 、 对 数 式 的 底 必 须 大 于 零 且 不 等 于 1. (5)如 果 函 数 是 由 一 些 基 本 函 数 通 过 四 则 运 算 结 合 而 成的 .那 么 ， 它 的 定 义 域 是 使 各 部 分 都 有
12、意 义 的 x 的 值 组 成 的 集 合 .（ 6） 指 数 为 零 底 不 可 以 等 于 零 (6)实 际 问 题 中 的 函 数 的 定 义 域 还 要 保 证 实 际 问 题 有 意 义 .(又 注 意 ： 求 出 不 等 式 组 的 解 集 即 为 函 数 的 定 义 域 。 )构 成 函 数 的 三 要 素 ： 定 义 域 、 对 应 关 系 和 值 域再 注 意 ： （ 1） 构 成 函 数 三 个 要 素 是 定 义 域 、 对 应 关 系 和 值 域 由 于 值 域 是 由 定 义 域 和 对 应 关系 决 定 的 ， 所 以 ， 如 果 两 个 函 数 的 定 义 域 和
13、 对 应 关 系 完 全 一 致 ， 即 称 这 两 个 函 数 相 等 （ 或 为 同 一 函数 ） （ 2） 两 个 函 数 相 等 当 且 仅 当 它 们 的 定 义 域 和 对 应 关 系 完 全 一 致 ， 而 与 表 示 自 变 量 和 函 数 值 的字 母 无 关 。 相 同 函 数 的 判 断 方 法 ： 表 达 式 相 同 ； 定 义 域 一 致 (两 点 必 须 同 时 具 备 )(见 课 本 21 页 相 关 例 2)值 域 补 充(1)、 函 数 的 值 域 取 决 于 定 义 域 和 对 应 法 则 ， 不 论 采 取 什 么 方 法 求 函 数 的 值 域 都 应
14、先 考 虑 其 定义 域 . (2).应 熟 悉 掌 握 一 次 函 数 、 二 次 函 数 、 指 数 、 对 数 函 数 及 各 三 角 函 数 的 值 域 ， 它 是 求 解 复 杂函 数 值 域 的 基 础 。3. 函 数 图 象 知 识 归 纳第 3 页 共 14 页(1)定 义 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 以 函 数 y=f(x) , (x A)中 的 x 为 横 坐 标 ， 函 数 值 y 为 纵 坐 标 的点 P(x， y)的 集 合 C， 叫 做 函 数 y=f(x),(x A)的 图 象 C 上 每 一 点 的 坐 标 (x， y)均 满 足 函 数 关 系
15、 y=f(x)， 反 过 来 ， 以 满 足 y=f(x)的 每 一 组 有 序 实 数 对x、 y 为 坐 标 的 点 (x， y)， 均 在 C 上 . 即 记 为 C= P(x,y) | y= f(x) , x A 图 象 C 一 般 的 是 一 条 光 滑 的 连 续 曲 线 (或 直 线 ),也 可 能 是 由 与 任 意 平 行 与 Y 轴 的 直 线 最 多 只 有一 个 交 点 的 若 干 条 曲 线 或 离 散 点 组 成 。(2) 画 法A、 描 点 法 ： 根 据 函 数 解 析 式 和 定 义 域 ， 求 出 x,y 的 一 些 对 应 值 并 列 表 ， 以 (x,y
16、)为 坐 标 在 坐 标系 内 描 出 相 应 的 点 P(x, y)， 最 后 用 平 滑 的 曲 线 将 这 些 点 连 接 起 来 .B、 图 象 变 换 法 （ 请 参 考 必 修 4 三 角 函 数 ）常 用 变 换 方 法 有 三 种 ， 即 平 移 变 换 、 伸 缩 变 换 和 对 称 变(3)作 用 ：1、 直 观 的 看 出 函 数 的 性 质 ； 2、 利 用 数 形 结 合 的 方 法 分 析 解 题 的 思 路 。 提 高 解 题 的 速 度 。 发 现解 题 中 的 错 误 。4 快 去 了 解 区 间 的 概 念（ 1） 区 间 的 分 类 ： 开 区 间 、 闭
17、 区 间 、 半 开 半 闭 区 间 ； （ 2） 无 穷 区 间 ； （ 3） 区 间 的 数 轴 表示 5 什 么 叫 做 映 射一 般 地 ， 设 A、 B 是 两 个 非 空 的 集 合 ， 如 果 按 某 一 个 确 定 的 对 应 法 则 f， 使 对 于 集 合 A 中 的 任意 一 个 元 素 x， 在 集 合 B 中 都 有 唯 一 确 定 的 元 素 y 与 之 对 应 ， 那 么 就 称 对 应 f： A B 为 从 集 合 A 到 集合 B 的 一 个 映 像 。 记 作 “f： A B”给 定 一 个 集 合 A 到 B 的 映 像 ， 如 果 a A,b B.且 元
18、 素 a 和 元 素 b 对 应 ， 那 么 ， 我 们 把 元 素 b叫 做 元 素 a 的 象 ， 元 素 a 叫 做 元 素 b 的 原 象说 明 ： 函 数 是 一 种 特 殊 的 映 射 ， 映 射 是 一 种 特 殊 的 对 应 ， 集 合 A、 B 及 对 应 法 则 f 是 确 定 的 ； 对 应 法 则 有 “方 向 性 ”， 即 强 调 从 集 合 A 到 集 合 B 的 对 应 ， 它 与 从 B 到 A 的 对 应 关 系 一 般 是 不 同 的 ； 对 于 映 射 f： A B 来 说 ， 则 应 满 足 ： （ ） 集 合 A 中 的 每 一 个 元 素 ， 在 集
19、 合 B 中 都 有 象 ， 并 且 象是 唯 一 的 ； （ ） 集 合 A 中 不 同 的 元 素 ， 在 集 合 B 中 对 应 的 象 可 以 是 同 一 个 ； （ ） 不 要 求 集 合 B中 的 每 一 个 元 素 在 集 合 A 中 都 有 原 象 。常 用 的 函 数 表 示 法 及 各 自 的 优 点 ：1 函 数 图 象 既 可 以 是 连 续 的 曲 线 ， 也 可 以 是 直 线 、 折 线 、 离 散 的 点 等 等 ， 注 意 判 断 一 个 图 形 是否 是 函 数 图 象 的 依 据 ； 2 解 析 法 ： 必 须 注 明 函 数 的 定 义 域 ； 3 图
20、象 法 ： 描 点 法 作 图 要 注 意 ： 确 定 函数 的 定 义 域 ； 化 简 函 数 的 解 析 式 ； 观 察 函 数 的 特 征 ； 4 列 表 法 ： 选 取 的 自 变 量 要 有 代 表 性 ， 应 能 反映 定 义 域 的 特 征 注 意 啊 ： 解 析 法 ： 便 于 算 出 函 数 值 。 列 表 法 ： 便 于 查 出 函 数 值 。 图 象 法 ： 便 于 量 出 函 数 值补 充 一 ： 分 段 函 数 （ 参 见 课 本 P24-25）在 定 义 域 的 不 同 部 分 上 有 不 同 的 解 析 表 达 式 的 函 数 。 在 不 同 的 范 围 里 求
21、函 数 值 时 必 须 把 自 变 量代 入 相 应 的 表 达 式 。 分 段 函 数 的 解 析 式 不 能 写 成 几 个 不 同 的 方 程 ， 而 就 写 函 数 值 几 种 不 同 的 表 达 式并 用 一 个 左 大 括 号 括 起 来 ， 并 分 别 注 明 各 部 分 的 自 变 量 的 取 值 情 况 （ 1） 分 段 函 数 是 一 个 函 数 ， 不要 把 它 误 认 为 是 几 个 函 数 ； （ 2） 分 段 函 数 的 定 义 域 是 各 段 定 义 域 的 并 集 ， 值 域 是 各 段 值 域 的 并 集 补 充 二 ： 复 合 函 数如 果 y=f(u),(
22、u M),u=g(x),(x A),则 y=fg(x)=F(x)， (x A) 称 为 f、 g 的 复 合 函 数 。例 如 : y=2sinX y=2cos(X2+1)第 4 页 共 14 页7 函 数 单 调 性（ 1） 增 函 数设 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为 I， 如 果 对 于 定 义 域 I 内 的 某 个 区 间 D 内 的 任 意 两 个 自 变 量 x1， x2，当 x11， 且 *当 是 奇 数 时 ， 正 数 的 次 方 根 是 一 个 正 数 ， 负 数 的 次 方 根 是 一 个 负 数 此 时 ， 的 次 方 根 用符 号 表 示 式 子 叫 做 根
23、式 （ radical） ， 这 里 叫 做 根 指 数 （ radical exponent） ， 叫 做 被 开 方 数（ radicand）当 是 偶 数 时 ， 正 数 的 次 方 根 有 两 个 ， 这 两 个 数 互 为 相 反 数 此 时 ， 正 数 的 正 的 次 方 根 用 符号 表 示 ， 负 的 次 方 根 用 符 号 表 示 正 的 次 方 根 与 负 的 次 方 根 可 以 合 并 成 （ 0） 由 此 可得 ： 负 数 没 有 偶 次 方 根 ； 0 的 任 何 次 方 根 都 是 0， 记 作 。注 意 ： 当 是 奇 数 时 ， ， 当 是 偶 数 时 ， 2
24、分 数 指 数 幂正 数 的 分 数 指 数 幂 的 意 义 ， 规 定 ：0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 0， 0 的 负 分 数 指 数 幂 没 有 意 义指 出 ： 规 定 了 分 数 指 数 幂 的 意 义 后 ， 指 数 的 概 念 就 从 整 数 指 数 推 广 到 了 有 理 数 指 数 ， 那 么 整 数指 数 幂 的 运 算 性 质 也 同 样 可 以 推 广 到 有 理 数 指 数 幂 （ 二 ） 指 数 函 数 及 其 性 质1、 指 数 函 数 的 概 念 ： 一 般 地 ， 函 数 叫 做 指 数 函 数 （ exponential ） ， 其 中 x 是 自
25、 变 量 ， 函 数的 定 义 域 为 R注 意 ： 指 数 函 数 的 底 数 的 取 值 范 围 ， 底 数 不 能 是 负 数 、 零 和 1图 象 特 征函 数 性 质1.向 x、 y 轴 正 负 方 向 无 限 延 伸函 数 的 定 义 域 为 R2.图 象 关 于 原 点 和 y 轴 不 对 称非 奇 非 偶 函 数3.函 数 图 象 都 在 x 轴 上 方4.函 数 的 值 域 为 R+5.函 数 图 象 都 过 定 点 （ 0， 1）6.自 左 向 右 看 图 象 逐 渐 上 升 自 左 向 右 看 ， 图 象 逐 渐 下 降图 象 上 升 趋 势 是 越 来 越 陡第 6 页
26、 共 14 页图 象 上 升 趋 势 是 越 来 越 缓函 数 值 开 始 增 长 较 慢 ， 到 了 某 一 值 后 增 长 速 度 极 快 ；函 数 值 开 始 减 小 极 快 ， 到 了 某 一 值 后 减 小 速 度 较 慢 ；注 意 ： 利 用 函 数 的 单 调 性 ， 结 合 图 象 还 可 以 看 出 ：（ 1） 在 a， b上 ， 值 域 是 或 ；（ 2） 若 ， 则 ； 取 遍 所 有 正 数 当 且 仅 当 ；（ 3） 对 于 指 数 函 数 ， 总 有 ；（ 4） 当 时 ， 若 ， 则 ；二 、 对 数 函 数（ 一 ） 对 数1 对 数 的 概 念 ： 一 般 地
27、 ， 如 果 ， 那 么 数 叫 做 以 为 底 的 对 数 ， 记 作 ： （ 底 数 ， 真数 ， 对 数 式 ）两 个 重 要 对 数 ：1 常 用 对 数 ： 以 10 为 底 的 对 数 ；2 自 然 对 数 ： 以 无 理 数 为 底 的 对 数 的 对 数 （ 二 ） 对 数 函 数1、 对 数 函 数 的 概 念 ： 函 数 ， 且 叫 做 对 数 函 数 ， 其 中 是 自 变 量 ， 函 数 的 定 义 域 是（ 0， + ） 注 意 ： 1 对 数 函 数 的 定 义 与 指 数 函 数 类 似 ， 都 是 形 式 定 义 ， 注 意 辨 别 。图 象 特 征 ， 函 数
28、 性 质1.函 数 图 象 都 在 y 轴 右 侧函 数 的 定 义 域 为 （ 0， ）2.图 象 关 于 原 点 和 y 轴 不 对 称非 奇 非 偶 函 数3.向 y 轴 正 负 方 向 无 限 延 伸函 数 的 值 域 为 R4.函 数 图 象 都 过 定 点 （ 1， 0）自 左 向 右 看 ， 图 象 逐 渐 上 升 ， 自 左 向 右 看 ， 图 象 逐 渐 下 降（ 三 ） 幂 函 数1、 幂 函 数 定 义 ： 一 般 地 ， 形 如 的 函 数 称 为 幂 函 数 ， 其 中 为 常 数 2、 幂 函 数 性 质 归 纳 （ 1） 所 有 的 幂 函 数 在 （ 0， +
29、） 都 有 定 义 ， 并 且 图 象 都 过 点 （ 1， 1） ；（ 2） 时 ， 幂 函 数 的 图 象 通 过 原 点 ， 并 且 在 区 间 上 是 增 函 数 特 别 地 ， 当 时 ， 幂 函 数 的 图 象下 凸 ； 当 时 ， 幂 函 数 的 图 象 上 凸 ；（ 3） 时 ， 幂 函 数 的 图 象 在 区 间 上 是 减 函 数 在 第 一 象 限 内 ， 当 从 右 边 趋 向 原 点 时 ， 图 象 在 轴 右 方 无 限 地 逼 近 轴 正 半 轴 ， 当 趋 于 时 ， 图 象 在 轴 上 方 无 限 地 逼 近 轴 正 半 轴 第 三 章 函 数 的 应 用、
30、方 程 的 根 与 函 数 的 零 点1、 函 数 零 点 的 概 念 ： 对 于 函 数 ， 把 使 成 立 的 实 数 叫 做 函 数 的 零 点 。2、 函 数 零 点 的 意 义 ： 函 数 的 零 点 就 是 方 程 实 数 根 ， 亦 即 函 数 的 图 象 与 轴 交 点 的 横 坐 标 。即 ：方 程 有 实 数 根 函 数 的 图 象 与 轴 有 交 点 函 数 有 零 点 第 7 页 共 14 页3、 函 数 零 点 的 求 法 ：求 函 数 的 零 点 ：1 （ 代 数 法 ） 求 方 程 的 实 数 根 ；2 （ 几 何 法 ） 对 于 不 能 用 求 根 公 式 的
31、方 程 ， 可 以 将 它 与 函 数 的 图 象 联 系 起 来 ， 并 利 用 函 数 的性 质 找 出 零 点 4、 二 次 函 数 的 零 点 ：二 次 函 数 1） 0， 方 程 有 两 不 等 实 根 ， 二 次 函 数 的 图 象 与 轴 有 两 个 交 点 ， 二 次 函 数 有 两 个 零 点 2） 0， 方 程 有 两 相 等 实 根 （ 二 重 根 ） ， 二 次 函 数 的 图 象 与 轴 有 一 个 交 点 ， 二 次 函 数 有 一个 二 重 零 点 或 二 阶 零 点 高 一 数 学 必 修 43） 0， 方 程 无正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成
32、 的 角1、 任 意 角 负 角 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称x为第几象限角第一象限角的集合为 3603609,kkk第二象限角的集合为 918第三象限角的集合为 18270,kkk第四象限角的集合为 3602736终边在 轴上的角的集合为x,k终边在 轴上的角的集合为y1890k终边在坐标轴上的角的集合为 ,3、与角 终边相同的角的集合为36,kk4、已知 是第几象限角，确定 所在象限的方法：先把各象限均分 等份，再*nn从 轴的正半轴的上方起，依次
33、将各区域标上一、二、三、四，则 原来是第几象限对应x的标号即为 终边所落在的区域n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度16、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是 rllr第 8 页 共 14 页PvxyAOMT 7、弧度制与角度制的换算公式： ， ， 2360181057.38、若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则为 弧 度 制 rlCS， ， lr2Crl21Slr9、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离,xy是 ，则 ， ， 20rxysinyrcosxrtan010、三角函数在各象限的符号：第一
34、象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正11、三角函数线： ， ， sistA12、同角三角函数的基本关系： 221inco1；22sin1cos,ssitaniita,tan 13、三角函数的诱导公式：， ， 1sin2sikco2cosktan2tankk， ， n， ， 3sisicsstata， ， 4noconn口诀：函数名称不变，符号看象限， 5sics2si2， 6inoin口诀：奇变偶不变，符号看象限14、函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，siyx得到函数 的图象；再将函数 的图象nsinyx上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标
35、不变） ，得1第 9 页 共 14 页到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长sinyxsinyx（缩短）到原来的 倍（横坐标不变） ，得到函数 的图象AiA函数 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变） ，得到siyx 1函数的图象；再将函数 的图象上所有点向左（右）平移 个单位长度，sinsinyx得到函数 的图象；再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸iyxsinyx长（缩短）到原来的 倍（横坐标不变） ，得到函数 的图象AiA函数 的性质：sin0,yx振幅： ；周期： ；频率： ；相位： ；初相：212fx函数 ，当 时，取得最小值为 ；当 时，取得最大s
36、inyxA1xminy2值为 ，则 ， ， maxmain12ymaxi2y21xx15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sixcostany图象定义域RR,2xk值域 1,1,R最值当时，2xk；当ma1y2xk当 时， 2xk；当may时， kmin1y既无最大值也无最小值函 数性 质第 10 页 共 14 页时， kmin1y周期性22奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在 2,2k上是增函数；在32,2k上是减函数在 上,2kk是增函数；在 ,上是减函数k在 ,2k上是增函数对称性对称中心 ,0k对称轴 2x对称中心 ,02kk对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴16、向量：既
37、有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为 的向量0单位向量：长度等于 个单位的向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式： abab运算性质：交换律： ；结合律：； abcc0b a C AaC第 11 页 共 14 页坐标运算：设 ， ，则 1,axy2,bxy12,abxy18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设 ， ，则 1,xy2,xy12,
38、xy设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 A1 12A19、向量数乘运算：实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a a ；当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当00时， a运算律： ； ； aaab坐标运算：设 ，则 ,xy ,xy20、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 0b a设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、1,axy2,bxy 1210xy共线0b21、平面向量基本定理：如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面1e2内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 （不共线的向量 、a12ae1e作为
39、这一平面内所有向量的一组基底）2e22、分点坐标公式：设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ，12121,xy，当 时，点 的坐标是 2,xy12 ,xy23、平面向量的数量积： 零向量与任一向量的数量积为 cos0,180abab 0性质：设 和 都是非零向量，则 当 与 同向时，abab；当 与 反向时， ； 或 2第 12 页 共 14 页ab运算律： ； ； bababacbc坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 1,xy2,xy12xy若 ，则 ，或 ,axy22设 ， ，则 12,bxy120abxy设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则1,ab122cosxyab
40、24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ；cscossin ； ；sinsicsi ；on （ ） ；tantan1ttatan1tan （ ） ttanttntt25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin2icos （ ，2222cocs1sin2cos1） 21si 2tant26、 ，其中 2sicossinAAtanA实 根 ， 二 次 函 数 的 图 象 与 轴 无 交 点 ， 二 次 函 数 无 零 点 特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，为斜高，l 为母线） 柱体、锥体、台体的体积公式球体的表面积和体积公式：V= ； S=第 13 页 共 14 页2.1 空间点、
41、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为 ALBL = L AB 公理 1 作用：判断直线是否在平面内.（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B 、C 三点不共线 = 有且只有一个平面 ，使A 、B 、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且 P L 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关
42、系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b 、c 是三条直线 abcb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所
43、成的角 (0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1 ）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示 a a=A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：
44、平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P a b2、判断两平面平行的方法有三种：（1 ）用定义；（ 2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a a ab= b
45、 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面 互相垂直，记作L，直线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点
46、： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直 ”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角 -l- 或 -AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第三章 直线与方程（1）直线第 14 页 共 14 页的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率
