1、第十六周 用“组合法”解工程问题专题简析：在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。例题 1。一项工程，甲、乙两队合作 15 天完成，若甲队做 5 天，乙队做 3 天，只能完成工程的 ，乙队单独完成全部工程需要几天？730【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是 ，只要求出甲队货乙队的115工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做 5 天，乙队独做 3 天，组合成甲、乙两队合作了 3 天后，
2、甲队独做 2 天来考虑，就可以求出甲队 2 天的工作量 3 ，从而求出甲队的工作效率。所以730 115 1301【 （ 3）（53） 】20（天）115 730 115答：乙队单独完成全部工程需要 20 天。练习 11、 师、徒二人合做一批零件，12 天可以完成。师傅先做了 3 天，因事外出，由徒弟接着做 1 天，共完成任务的 。如果这批零件由师傅单独做，多少320天可以完成？2、 某项工程，甲、乙合做 1 天完成全部工程的 。如果这项工程由甲队独做5242 天，再由乙队独做 3 天，能完成全部工程的 。甲、乙两队单独完成这1324项工程各需多少天？3、 甲、乙两队合做，20 天可完成一项工
3、程。先由甲队独做 8 天，再由乙队独做 12 天，还剩这项工程的 。甲、乙两队独做各需几天完成？815例题 2。一项工程，甲队独做 12 天可以完成。甲队先做了 3 天，再由乙队做 2 天，则能完成这项工程的 。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完12后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（ 3）2 ；再由12 112 18条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。（1） 乙队每天完成这项工程的（ 3）212 112 18（2） 两段时间一共是1（ 2+ ）26（天）
4、18 112答：两段时间一共是 6 天。练习 21、 一项工程，甲队独做 15 天完成。若甲队先做 5 天，乙队再做 4 天能完成这项工程的 。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发815现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？2、 一项工程，甲、乙合做 8 天完成。如果先让甲独做 6 天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了 3 天。乙独做这项工程要几天完成？3、 某工作，甲单独做要 12 天，乙单独做要 18 天，丙单独做要 24 天。这件工作先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的 2 倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？
5、例题 3。移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽 8 小时完成，先由哥哥栽了 3 小时后，又由弟弟栽了 1 小时，还剩总棵数的 没有栽，已知哥哥每小时比弟弟1116每小时多栽 7 棵。共要移栽西红柿苗多少棵？【思路导航】把“哥哥先栽了 3 小时，弟弟又栽了 1 小时”组合成“哥、的合栽了 1 小时后，哥哥又独做了 2 小时” ，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。哥哥每小时栽总数的几分之几（1 1）（31）1116 18 332一共要移栽的西红柿苗多少棵7【 （ ） 】112（棵）332 18 332答：共要移栽西红柿苗 112 棵。练习 31、 加工一批机器零件，师、徒合做 12 小时可以
6、完成。先由师傅加工 8 小时，接着再由徒弟加工 6 小时，共加工了这批零件的 。已知师傅每小时比徒35弟多做 10 个零件。这批零件共有多少个？2、 修一条公路，甲、乙两队合做 6 天可以完成。先由甲队修 5 天，再由乙队修 3 天，还剩这条公路的 没有修。已知甲队每天比乙队多修 20 米。这310条公路全长多少米？3、 修一段公路，甲队独修要 40 天，乙队独修要用 24 天。两队同时从两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路全长多少米？例题 4。一项工作，甲、乙、丙 3 人合做 6 小时可以完成。如果甲工作 6 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的 ；如果甲、乙合做
7、3 小时后，丙做 6 小时，23也可以完成这项工作的 。如果由甲、丙合做，需几小时完成？23【思路导航】将条件“甲工作 6 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的 ”组合成“甲工作 4 小时，甲、乙、丙合做 2 小时可以完成23这项工作的 ”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再23求出丙的工作效率。甲每小时完成这项工程的几分之几（ 2）（62）23 16 112丙每小时完成这项工程的几分之几（ 3）（63）23 16 118甲、 丙合做需完成的时间为：1（ + ）7 （小时）112 118 15答：甲、丙合做完成需要 7 小时。15练习 41、 一项工作，甲、乙、丙三人合做，
8、4 小时可以完成。如果甲做 4 小时后，乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的 ；如果甲、乙合做 2 小时后，1318丙再做 4 小时，可以完成这项工作的 。这项工作如果由甲、丙合做需几1118小时完成？2、 一项工程，甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做 3 天后，余下的乙再做 6 天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？3、 一项工程，甲、乙两队合做 10 天完成，乙、丙两队合做 8 天完成。现在甲、乙、丙三队合做 4 天后，余下的工程由乙队独做 5 天完成。乙队单12独做这项工程需多少天可以完成？4、 一件工作，甲、乙合做 4 小时完成
9、，乙、丙合做 5 小时完成。现在由甲、丙合做 2 小时后，余下的由乙 6 小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？例题 5。一条公路，甲队独修 24 天可以完成，乙队独修 30 天可以完成。先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）11 天后，再由丙队单独修了 7 天才全部完成。 ”就可以求出丙队的工作效率。丙队每天修这条公路的【1（ + ） 】（4+7 ）124 130 140三队合修完成时间为1
10、（ + + ）10（天）124 130 140答：10 天可以完成。练习 51、 一件工作，甲单独做 12 小时完成。现在甲、乙合做 4 小时后，乙又用 6小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？2、 一条水渠，甲队独挖 120 天完成，乙队独挖 40 天完成。现在两队合挖 8天，剩下的由丙队加入一起挖，又用 12 天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？3、 一件工作，甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。如果甲、丙合做 3 天后，由乙单独做，还要 9 天才能完成。如果全部工作由 3人合做，需几天可以完成？4、 一项工程，甲、乙两队合做 30 天完成，甲
11、队单独做 24 天后，乙队加入，两队又合做了 12 天。这时甲队调走，乙队又继续做了 15 天才完成。甲队独做这项工程需要多少天？答案：练 11、 1【（ ）（31） 】30 天320 1122、 乙：1【（ 2）（32） 】8 天1324 524甲：1（ ）12 天1324 183、 乙：1【（1 8）（128） 】60 天815 120甲：1（ ）30 天120 160练 21、 乙队的工作效率：（ 5）4815 115 120总共的天数：1（ + 2）212 天115 1202、 1【（1 6）3】12 天183、 甲做的天数：1（ + 3+ 32）2 天112 118 124总共的天数
12、：2+23+2 3220 天练 31、 师傅每小时做这批零件的（ 6）（86）35 112 120这批零件共有 10【 （ ） 】600 个120 112 1202、 甲队每天修这条公路的（1 3）（53）310 16 110这条公路全长多少米 20【 （ ） 】600 米110 16 1103、 甲、乙两队工作效率的比是： ： 3：5140 124这段公路的全长 750（ ）6000 米12 33+5或 7502（53）（5+3）6000 米练 41、 甲队的工作效率（ 2）（42）1318 14 19丙队的工作效率（ 2）（42）1118 14 118甲、丙合做需要的时间 1（ + ）6
13、小时19 1182、 乙队每天能做全工程的【1（ 3 3） 】（63）16 110 115乙队独做这项工程需要的时间 1 15 天1153 乙队每天能做全工程的【1（ 4 4） 】（5 4）110 18 12 115乙队单独做这项工程需要的时间 1 15 天1154、 乙队的工作效率【1（ 2+ 2） 】（622）14 15 120乙独做这件工作需要的时间 1 20 小时120练 51、 乙每小时做这件工程的（1 4）（6+4）112 115甲、乙合做完成需要的时间 1（ + ）6 小时112 115 232、 甲、乙两队完成的工作量（ + ）（8+2）1120 140 23丙队单独挖需要的时
14、间 1【（1 ）12】36 天233 乙的工作效率【1（ 3+ 3） 】（933）16 110 115丙的工作效率 110 115 130三人合做需要的时间 1（ + ）5 天16 1104、 甲队的工作效率【1 （12+15） 】（2415）130 190甲队单独做需要的时间 1 90 天190第十七周 浓度问题专题简析：在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液糖+水）二者质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。
15、类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即，浓度 100 100溶 质 质 量溶 液 质 量 溶 质 质 量溶 质 质 量 +溶 剂 质 量解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题目的条件和问题逐一分析，也可以分步解答。例题 1。有含糖量为 7的糖水 600 克，要使其含糖量加大到 10，需要再加入多少克糖？【思路导航】根据题意，在 7的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，
16、糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。原来糖水中水的质量：600（17）558（克）现在糖水的质量 ：558（110）620（克）加入糖的质量 ：62060020（克）答：需要加入 20 克糖。练习 11、 现在有浓度为 20的糖水 300 克，要把它变成浓度为 40的糖水，需要加糖多少克？2、 有含盐 15的盐水 20 千克，要使盐水的浓度为 20，需加盐多少千克？3、 有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了 200 毫升清水，乙瓶里装了 2
17、00 毫升纯酒精。第一次把 20 毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中 20 毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？例题 2。一种 35的新农药，如稀释到 1.75时，治虫最有效。用多少千克浓度为 35的农药加多少千克水，才能配成 1.75的农药 800 千克？【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。800 千克 1.75的农药含纯农药的质量为8001.7514（千克）含 14 千克纯农药的 35的农药质量为143540（千克）由 40 千克农药稀释为 800 千克农药应加水的质量为
18、80040760（千克）答：用 40 千克的浓度为 35的农药中添加 760 千克水，才能配成浓度为 1.75的农药 800 千克。练习 21、 用含氨 0.15的氨水进行油菜追肥。现有含氨 16的氨水 30 千克，配置时需加水多少千克？2、 仓库运来含水量为 90的一种水果 100 千克。一星期后再测，发现含水量降低到80。现在这批水果的质量是多少千克？3、 一容器内装有 10 升纯酒精，倒出 2.5 升后，用水加满；再倒出 5 升，再用水加满。这时容器内溶液的浓度是多少？例题 3。现有浓度为 10的盐水 20 千克。再加入多少千克浓度为 30的盐水，可以得到浓度为 22的盐水？【思路导航】
19、这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶质及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶质的量。20 千克 10的盐水中含盐的质量20102（千克）混合成 22时，20 千克溶液中含盐的质量2022404（千克）需加 30盐水溶液的质量（4.42）（3022）30（千克）答：需加入 30 千克浓度为 30的盐水，可以得到浓度为 22的盐水。练习 31、 在 100 千克浓度为 50的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为 5的硫酸溶液就可以配制成 25的硫酸溶液？2、 浓度为 70的酒精溶液 500 克与浓度为 50的酒精溶液 300 克混合后所得到的
20、酒精溶液的浓度是多少？3、 在 20的盐水中加入 10 千克水，浓度为 15。再加入多少千克盐，浓度为 25？例题 4。将 20的盐水与 5的盐水混合，配成 15的盐水 600 克，需要 20的盐水和 5的盐水各多少克？【思路导航】根据题意，将 20的盐水与 5的盐水混合配成 15的盐水，说明混合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根据这一数量间的相等关系列方程解答。 解：设 20的盐水需 x 克，则 5的盐水为 600x 克，那么20x+（600x）560015X 400600400200（克）答：需要 20的盐水 400 克，5的盐水 200 克。练习 41、 两种钢分
21、别含镍 5和 40，要得到 140 吨含镍 30的钢，需要含镍 5的钢和含镍 40的钢各多少吨？2、 甲、乙两种酒各含酒精 75和 55，要配制含酒精 65的酒 3000 克，应当从这两种酒中各取多少克？3、 甲、乙两只装糖水的桶，甲桶有糖水 60 千克，含糖率为 40；乙桶有糖水 40 千克，含糖率为 20。要使两桶糖水的含糖率相等，需把两桶的糖水相互交换多少千克？例题 5。甲、乙、丙 3 个试管中各盛有 10 克、20 克、30 克水。把某种质量分数的盐水 10 克倒入甲管中，混合后取 10 克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出 10 克倒入丙管中。现在丙管中的盐水的质量分数为 0.5。最早
22、倒入甲管中的盐水质量分数是多少？【思路导航】混合后甲、乙、丙 3 个试管中应有的盐水分别是 20 克、30 克、40 克。根据题意，可求出现在丙管中盐的质量。又因为丙管中原来只有 30 克的水，它的盐是从 10 克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里 30 克盐水中盐的质量。而乙管里的盐又是从 10 克盐水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20 克盐水中盐的质量。而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的盐，这样就可得到最初倒入甲管中盐水的质量分数。丙管中盐的质量：（30+10）0.502（克）倒入乙管后，乙管中盐的质量：0.2【（20+10）10】0.6（克）倒入甲管，甲管中盐的质量：0.6【（10
23、+10）10】1.2（克）1.21012答：最早倒入甲管中的盐水质量分数是 12。练习 51、 从装满 100 克 80的盐水中倒出 40 克盐水后，再用清水将杯加满，搅拌后再倒出40 克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？2、 甲容器中又 8的盐水 300 克，乙容器中有 12.5的盐水 120 克。往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样。每个容器应倒入多少克水？3、 甲种酒含纯酒精 40，乙种酒含纯酒精 36，丙种酒含纯酒精 35。将三种酒混在一起得到含酒精 38.5的酒 11 千克。已知乙种酒比丙种酒多 3 千克，那么甲种酒有多少千克？
24、答案：练 11、 300（120）（140）300100 克2、 20（115）（120）201.25 千克3、 第一次把 20 毫升的纯酒精倒入甲瓶，则甲瓶的浓度为：20（200+20） ，第二111次把甲瓶中 20 毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶中含酒精 200 毫升，乙瓶中含111 20011水 20（1 ） 毫升，即两者相等。111 20011练 21、 30（160.15）0.153170 千克2、 100（190）（180）50 千克3、 10（1 ）（1 ）1037.52.510 510练 31、 100（5025）（255）125 千克2、 （50070+30050）（500+30
25、0）10062.53、 原有浓度为 20的盐水的质量为：1015（2015）30 千克第二次加入盐后，溶液浓度为 25的质量为：【30（120）+10】（125） 千克1363加入盐的质量： （30+10） 千克1363 163练 41、 解：设需含镍 5的钢 x 吨，则含镍 40的钢 140x 吨，5x+（140x）4014030X 4014040100 吨2、 （300075300065）【1（7555） 】1500 克300015001500 克3、 解法一：设互相交换 x 千克糖水。【（60x）40+x20】60【（40x）20+x40】40X24解法二：6060 24 千克6040+
26、60练 51、 解法一：1008080 克 408032 克（8032）10048 404819.2 克（803219.2）10028.84028.811.52 克（803219.211.52）10017.28解法二：80（1 ）（1 ）（1 ）10017.2840100 40100 401002、 300824 克 12012.515 克解：设每个容器应倒入 x 克水。24300+x 15120+xX 1803、 解：设丙种酒有 x 千克，则乙种酒有（x+3）千克，甲种酒有（112x3）千克。（112x3）40+（x+3）36+35x1138.5X0.51120.537 千克第十八周 面积计
27、算（一）专题简析：计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥” ，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。例题 1。已知图 181 中，三角形 ABC 的面积为 8 平方厘米，AEED，BD= BC，求阴影部23分的面积。【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三
28、角形 AEF 的面积无法直接计算。由于 AE=ED,连接 DF，可知 SAEF =SEDF （等底等高） ，采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形 BDF 的面积。因为 BD= BC，所以 SBDF 2S DCF 。又因为 AEED，所以 SABF S BDF 2S 23DCF。因此，S ABC 5 SDCF 。由于 SABC 8 平方厘米，所以 SDCF 851.6（平方厘米） ，则阴影部分的面积为 1.623.2（平方厘米） 。练习 11、 如图 182 所示，AE ED，BC=3BD，S ABC 30 平方厘米。求阴影部分的面积。2、 如图 183 所示，AE=ED ，DC BD，
29、S ABC 21 平方厘米。求阴影部分的面积。133、 如图 184 所示，DE AE，BD2DC，S EBD 5 平方厘米。求三角形 ABC 的面12积。例题 2。两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形，如图 185 所示，已知两个三角形的面AB CFED181AB CFDE182AB CFED183CB DAE F184积，求另两个三角形的面积各是多少？【思路导航】已知 SBOC 是 SDOC 的 2 倍，且高相等，可知：BO2DO；从 SABD 与 SACD 相等（等底等高）可知： SABO 等于 6，而 ABO 与 AOD 的高相等，底是 AOD 的 2 倍。所以 AOD 的面积
30、为 623 。因为 SABD 与 SACD 等底等高 所以 SABO 6因为 SBOC 是 SDOC 的 2 倍 所以 ABO 是 AOD 的 2 倍所以 AOD623。答： AOD 的面积是 3。练习 21、 两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形， （如图 186 所示） ，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？2、 已知 AO OC，求梯形 ABCD 的面积（如图 187 所示） 。133、 已知三角形 AOB 的面积为 15 平方厘米，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍。求梯形ABCD 的面积。 （如图 188 所示） 。例题 3。四边形 ABCD 的对角线 BD
31、 被 E、F 两点三等分，且四边形 AECF 的面积为 15 平方厘米。求四边形 ABCD 的面积（如图 189 所示） 。【思路导航】由于 E、F 三等分 BD，所以三角形 ABE、AEF、AFD 是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形 BEC、CEF、CFD 的面积也相等。由此可知，三角形 ABD 的面积是三角形 AEF 面积的 3 倍，三角形 BCD 的面积是三角形B CDAOB CDAO12618584186B CDAO84187 188B CDAO189AB CDEFCEF 面积的 3 倍，从而得出四边形 ABCD 的面积是四边形 AECF 面积的 3 倍。15345（平方
32、厘米）答：四边形 ABCD 的面积为 45 平方厘米。练习 31、 四边形 ABCD 的对角线 BD 被 E、F、G 三点四等分，且四边形 AECG 的面积为 15平方厘米。求四边形 ABCD 的面积（如图 1810） 。2、 已知四边形 ABCD 的对角线被 E、F、G 三点四等分，且阴影部分面积为 15 平方厘米。求四边形 ABCD 的面积（如图 1811 所示） 。3、 如图 1812 所示，求阴影部分的面积（ABCD 为正方形） 。例题 4。如图 1813 所示，BO2DO，阴影部分的面积是 4 平方厘米。那么，梯形 ABCD的面积是多少平方厘米？【思路导航】因为 BO2DO，取 BO
33、 中点 E，连接 AE。根据三角形等底等高面积相等的性质，可知 SDBC S CDA ； SCOB S DOA 4，类推可得每个三角形的面积。所以，SCDO 422（平方厘米） SDAB 4312 平方厘米S 梯形 ABCD 12+4+218（平方厘米）答：梯形 ABCD 的面积是 18 平方厘米。练习 41、 如图 1814 所示，阴影部分面积是 4 平方厘米，OC2AO。求梯形面积。2、 已知 OC2AO，S BOC14 平方厘米。求梯形的面积（如图 1815 所示） 。3、 已知 SAOB 6 平方厘米。OC3AO，求梯形的面积（如图 1816 所示） 。例题 5。如图 1817 所示，
34、长方形 ADEF 的面积是 16，三角形 ADB 的面积是 3，三角形 ACFBADCEFG1810 CBDAEFG1811AB CD E641812BA DCOBA DCOBA DCOBA DCOE18131814 1815 1816的面积是 4，求三角形 ABC 的面积。【思路导航】连接 AE。仔细观察添加辅助线 AE 后，使问题可有如下解法。由图上看出：三角形 ADE 的面积等于长方形面积的一半（162）8。用 8 减去 3 得到三角形 ABE 的面积为 5。同理，用 8 减去 4 得到三角形 AEC 的面积也为 4。因此可知三角形 AEC 与三角形 ACF 等底等高，C 为 EF 的中
35、点，而三角形ABE 与三角形 BEC 等底，高是三角形 BEC 的 2 倍，三角形 BEC 的面积为522.5，所以，三角形 ABC 的面积为 16342.56.5。练习 51、 如图 1818 所示，长方形 ABCD 的面积是 20 平方厘米，三角形 ADF 的面积为 5 平方厘米，三角形 ABE 的面积为 7 平方厘米，求三角形 AEF 的面积。2、 如图 1819 所示，长方形 ABCD 的面积为 20 平方厘米，S ABE 4 平方厘米，S AFD6 平方厘米，求三角形 AEF 的面积。3、 如图 1820 所示，长方形 ABCD 的面积为 24 平方厘米，三角形 ABE、AFD 的面
36、积均为 4 平方厘米，求三角形 AEF 的面积。答案：练 11、 305212 平方厘米2、 21739 平方厘米3、 53 22 平方厘米23 12练 21、 422 8242、 8216 16+82+4363、 15345 15+5+15+4580练 31、 15230 平方厘米2、 15460 平方厘米3、 6626426 平方厘米 6243 平方厘米BAD ECF FCEDA1817AB CDEF1818AB CDFAB CDF1819EE1820（6+3）6227 平方厘米练 41、 428 平方厘米 8216 平方厘米16+8+8+436 平方厘米2、 1427 平方厘米 723.
37、5 平方厘米14+7+7+3.531.5 平方厘米3、 6（3+1）24 632 24+6+232练 51、 20273 3 1.5 20751.56.5122、 20210 （104） 2 20642 710 610 25 25 353、 24212 平方厘米 （124）（1 ）5 平方厘米412 1324445 10 平方厘米13 23第十九周 面积计算（二）专题简析：在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。例题 1。求图中阴影部分的面积（单位：厘米） 。【思路导航】如图 191 所示的特点
38、，阴影部分的面积可以拼成 圆的面积。14623.14 28.26（平方厘米）14答：阴影部分的面积是 28.26 平方厘米。练习 1求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米） 。666 66619161926例题 2。求图 195 中阴影部分的面积（单位：厘米） 。【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图 196 所示） ，从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。3.1442 44228.56（平方厘米）14答：阴影部分的面积是 8.56 平方厘米。练习 2计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米） 。193194101954197 198
39、196199例题 3。如图 1910 所示，两圆半径都是 1 厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO1O 的面积。【思路导航】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图 1910 右图所示） 。所以3.1412 21.57（平方厘米）14答：长方形长方形 ABO1O 的面积是 1.57 平方厘米。练习 31、 如图 1911 所示，圆的周长为 12.56 厘米，AC 两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形 ABCD 的面积。2、 如图 1912 所示，直
40、径 BC8 厘米，ABAC，D 为 AC 的重点，求阴影部分的面积。3、 如图 1913 所示，ABBC8 厘米，求阴影部分的面积。例题 4。如图 1914 所示，求阴影部分的面积（单位：厘米） 。【思路导航】我们可以把三角形 ABC 看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如A BO1O1910DACB121911 1912ACBD8A BCO19131914CDA BEB4B6BIII右图所示） ，因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形面积分别相等，所以 I 和 II 的面积相等。6424（平方厘米）答：阴影部分的面积是 24 平方厘米。练习 41、 如图
41、 1915 所示，求四边形 ABCD 的面积。2、 如图 1916 所示，BE 长 5 厘米，长方形 AEFD 面积是 38 平方厘米。求 CD 的长度。3、 图 1917 是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部分的面积（单位：厘米） 。例题 5。如图 1918 所示，图中圆的直径 AB 是 4 厘米，平行四边形 ABCD 的面积是 7 平方厘米，ABC 30 度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数） 。【思路导航】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形 AOC 的面积，再减去三角形 BOC 的面积。半径：422（厘米）扇形的圆心角：180（180302）60（度
42、）扇形的面积：223.14 2.09（平方厘米）60360三角形 BOC 的面积：7221.75（平方厘米）7（2.09+1.75）3.16（平方厘米）答：阴影部分的面积是 3.16 平方厘米。练习 51、 如图 1919 所示，115 度，圆的周长位 62.8 厘米，平行四边形的面积为100 平方厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小数） 。2、 如图 1920 所示，三角形 ABC 的面积是 31.2 平方厘米，圆的直径 AC6 厘米，BD：DC3：1。求阴影部分的面积。3、 如图 1921 所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数） 。OAB D C19154573CDA B
43、30401917120BCDA E 538F19161918A BOCDA BOCD答案：练 11、 图答 191 阴影部分的面积为：66 18 平方厘米122、 图答 192 阴影部分的面积为：6636 平方厘米3、 图答 193 阴影部分的面积为：10（102） 250 平方厘米12练 21、 图答 194 中阴影部分的面积为：（2+2）28 平方厘米2、 图答5 阴影部分的面积为：44 8 平方厘米123、 图答 196 阴影部分的面积为：4 23.14 44 4.56 平方厘米14 12练 31、 图答 197 中，阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等。所以，平行四边形的面积
44、和圆的面积相等。因此，平行四边形 ABCD 的面积是：（12.563.142） 23.1412.56 平方厘米2、 （82） 23.14 12.56 平方厘米143、 （82） 23.14 +（82） 20.56 平方厘米14 12第二题和第三题，阴影部分的面积通过等积变形后可知。如图答 197 和图答198 所示。练 41、 如图答 199 所示：延长 BC 和 AD 相距与 E，四边形 ABCD 的面积是：1919AB O19206030A BC125.21921A BC5.212306026A BCD306026A BCD3077 33 20 平方厘米12 122、 如图答 1910 所
45、示，因为 S1S2，所以 CD3857.6 厘米3、 如图答 1911 所示：阴影部分面积等于梯形的面积，其面积为：（120+12040）3023000 平方厘米练 51、 如图答 1912 所示圆心角 AOB 的度数为 180（180152）30 度平行四边形内一个小弓形的面积为（62.83.142） 23.14 10041.17 平方厘米30360阴影部分的面积为 10021.1748.83 平方厘米2、 如图答 1913 所示：圆心角 AOD 的度数为 180（180602）120 度扇形 AOD 的面积为（62） 23.14 9.42 平方厘米120360阴影部分的面积为 9.4231
46、.2 5.52 平方厘米13+1 123、 如图答 1914（1）所示：圆心角 AOC 的度数为 180302120 度扇形 AOC 的面积（122） 23.14 37.68 平方厘米120360三角形 AOC 的面积为（122）5.2 15.6 平方厘米12阴影部分的面积 37.6815.622.08 平方厘米如图答 1914（2）所示圆心角 BOC 的读书 180（180302）60 度扇形 ABD 的面积 6023.14 942 平方厘米30360三角形 AOC 的面积（602）26 390 平方厘米12扇形 BOC 的面积（602）3.14 471 平方厘米60360阴影部分的面积 94239047181 平方厘米第二十周 面积计算（三）专题简析：对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径 r 用小学知识无法求出时，可以把 “r2”整体地代入面积公式求面积。例题 1。如图 201 所示，求图中阴影部分的面积。45 10【思路导航】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三
