1、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识讲解（基础）责编：常春芳 【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程 )0(2acbxa中， acb42叫做一元二次方程 )0(2acbxa的根的判别式，通常用“ ”来表示，即（1）当0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2）当=0 时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3）当0方程有两个不相等的实数根.(2)a0, 方程是一元二
2、次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，=b 2-4a0=b2,无论 b 取任何关数，b 2均为非负数，0， 故方程有两个实数根. 【总结升华】根据 ac42的符号判定方程根的情况.举一反三：【高清 ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：判别含字母系数的方程根的情况-例2（1） 】【变式】不解方程，判别方程根的情况： 2210xa . 【答案】无实根. 2 （2015本溪）关于 x 的一元二次方程（k1）x 22x+1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于 0，二次项系数不等于 0.【答案】k2
3、 且 k1； 【解析】解：关于 x 的一元二次方程（k1）x 22x+1=0 有两个不相等的实数根，k10 且 =（ 2） 24（k 1）0，解得：k2 且 k1故答案为：k2 且 k1【总结升华】不能忽略二次项系数不为 0 这一条件.举一反三：【高清 ID 号：388522 关联的位置名称（播放点名称）：证明根的情况-例 3】【变式】m 为任意实数，试说明关于 x 的方程 x2-（m-1）x-3（m+3）= 0 恒有两个不相等的实数根.【答案】=-(m-1) 2-4-3(m+3）=m 2+10m+37=(m+5)2+120，关于 x 的方程 x2-（m-1）x-3（m+3）= 0 恒有两个不
4、相等的实数根.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3已知方程 2560xk的一个根是 2，求另一个根及 k 的值【思路点拨】根据方程解的意义，将 x2 代入原方程，可求 k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为 x1，则由一元二次方程根与系数的关系，得 125kx， 65A，从而解得： 135x，k -7方法二：将 x2 代入方程，得 522+2k-60，从而 k-7设另外一根为 x1，则由一元二次方程根与系数的关系，得 17，从而 3，故方程的另一根为 5，k 的值为-7【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系 12bxa， 12cxa
5、A易得另一根及 k 的值 举一反三：【高清课堂：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（二）-例 2】【变式】已知方程 20xc的一个根是 3，求它的另一根及 c的值【答案】另一根为-1； 的值为-3 4 （2015咸宁）已知关于 x 的一元二次方程 mx2（m+2）x+2=0（1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根【答案与解析】解：（1）=（ m+2） 28m=m24m+4=（m2） 2，不论 m 为何值时， （m 2） 20，0，方程总有实数根；（2）解方程得，x= ，x1= ，x 2=1，m方程有两个不相等的正整数根，m=1 或 2，m=2 不合题意，m=1【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根
