1、定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法(一)、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论1、若 是奇函数（即 ） ，那么对于任意 的常数 a，在闭区xfxff间 上， 。a,0adxf2、若 是偶函数（即 ） ，那么对于任意的常数 a，在闭区间xfxf上 。,aaf023、若 为奇函数时， 在 的全体原函数均为偶函数；当 为偶xfxa,xf函数时， 只有唯一原函数为奇函数即 .xdtf0事实上：设 ，其中 为任意常数。Cdtfxf0当 为奇函数时， 为偶函数，任意常数 也是偶函数 的全体xf Cxf原函数 为偶函数；dt
2、0当 为偶函数时， 为奇函数，任意常数 时为偶函数 xf xdtf0 0既为非奇函数又为非偶函数， 的原函数只有唯一的一个原Ct0 xf函数即 是奇函数。xdtf4、若 是以 为周期的函数（即 ） ，且在闭区间 上连续TxfTfT,0可积，那么 。aTdfxfdxf025、若 是以 为周期的函数（即 ） ，那么 以 为周期xf xffxdtf0T的充要条件是 00Tdtf事实上： ，由此可得 TxTxxx tfdtftft 001。xTxdtftf00Tdtf0(二)、定积分中奇偶函数的处理方法1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区
3、间。2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式，则分开积分会简化计算。3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以按照如下方法处理：设 ， ，则xfxpxfxq，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。2qxpf(三)、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函数与复合的三角函数的周期） ，并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周期函数定积分的问题。二、典型例题例 1 设 在 上连续可积，证明：xfa,(1)若 为奇函数则 (2)若 为偶函数，则 。0dxffaadxfxf0
4、2证明：(1)因为 ，而aadx0对前一项中令 aa xfdfxfdxf 0000，则t aaaxt0所以 .00aa xffxf(2)因为 ， 而 aaa dxfxfd00，对前一项中 令 相似aa xfdxff0000 t的有 ，所以 .aft0aaxfxf02例 2 设 在 上连续，且以 T为周期，证,。TaTTdxfxfdxf02证明： 由 ，在上式右端最后 aaTTadxfdxfff00一个积分中，令 则有 tTx2，即有 000aTaaadxftfdtTfdxf，成立aa Tfxx0再证 ,因为 对于 20TTdfxf TT dxfxfdf2200 Tdxf2令 则 ，因为 所以有
5、tTTtfxf22 ff， 。0202TTdxftf 0220TTTT dxfxfdff例 3 求定积分 。xIcos241解：被积函数为偶函数， dxxdI 1024241 coss in580sin352xx例 4 求定积分 ，其中 为自然数。ndI0si解：注意到 是偶函数且以 为周期，因此利用性质可以简化计算xi.nxdndxndxndndIn 2si2si2sisisi 00200 例 5 计算： （自然数 或 为奇数） 。320coixmm解 ：由周期函数积分性质得 xdxdI mnnn cosicosi20,当 为奇数时，由于被积函数为奇函数，故n ,mnI当 为奇数时(设 )时
6、m2,1,2knI,0sinisin1i xRdxn其中 为 的某个多项式（不含常数项） 因此uR 0,mnI例 6 求定积分 。dxx4231sin3解：因为被积函数是为奇函数，且在对称区间故 01sin423dxx例 7 求定积分 I= 。dxx2254cos解：I= ，因为 是奇函数，而xx22522 254cosx是偶函数，所以 I=224x dxd02024= 820x例 8 求定积分 I= 。dx3arctn3604解：设 则 I= = 因为xtxtdtarcn34是奇函数所以xfarcn4 I例 9 求定积分 I= 。02cos1indx解：令 ，则 ，因为 ，所以 ，tx2t,
7、02,tdtdttdtdttI 22022222 sin1cosin1cosin1cosin1co 4iarctisi 20202 tt例 10 求定积分 I= 。12231)ln(dxx分析：若此题采用常规求法，会发现过程相当复杂，但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出。原函数可以看做一个奇函数 f(x)= 和一个3)1ln(2x偶函数 u(x)= 之和。312x解：4I= = + 12231)ln(dxx123)ln(dxxdx123= 2 =20d1 102)34( 10arctn49例 11 求定积分 I= 。212)1lncos4(dxx分析：如果此题按照一般解法直接进行求解，那么会发
8、现很繁琐，注意到为奇函数在对称区间上积分为零，因此就可以简化积分，而xxf1lncos在 上积分恰好是以原点为圆心，半径为 的上半圆周面积， 24, 21s= = 2)(8解：I= = 212)1lncos4dxx dx2124dx21lncos= 0 = 2 = 2 = d212128例 12 设 在 上连续，证明 ，xfa,dxfxdxfaa 0并由此计算 。4sin1d解：若记 ， ，显而易见 为偶函xfxpxfqxp数， 为奇函数，而且 .所以有q2pdxfxdxdxdxf aaaaa 00 121利用上述公式可得 2tansec2cossin1sisin1 404040440 xxx
9、例 13 求定积分 I= 。2)l(de分析：此题的积分区间 关于原点对称，从这一点性质中我们可以联,5想到奇偶函数的性质，但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数，我们可以将其凑成奇偶函数。按照上一题的结果我们可以知道为奇函数，而 为偶函数 21xfxu21xfxw解： 21lnlnl xeeef dxdxexdexI xxx 222 22 1l11ln1ln38022例 14 求定积分 其中 。ndxI0siNn分析：被积函数不是周期函数，无法直接用周期函数的定积分性质计算，采用分部积分比较繁琐，可以考虑还原。令 则txntd ndtnI00 sisi 00sinsidxxttn移向得：
10、所以 2202sidxIn 2I例 15 求定积分 。0sindxIn解： 00 si2si2xxIn 42sicosi20 ddx例 16 求定积分 022sindxbxaI解：注意到被积函数是以 为周期的偶函数，因此可用定积分中相应性质简化计算 202222022 tancossincossin dxbdxbxadxbxaI 002trta1例 17 求定积分 。223cosinxdx解：注意到是对称区间，函数可以应用定积分的奇偶性来计算6 dxxxdxdxdx 20222223223 sin1icosincoscosin 8isi20420例 18 证 是以 T为周期的周期函数，则 。x
11、f TnTdxfdxf00证明：因为 故只需证明100nkTn dxfdfTTk xfdxf01由题设可知 现令 ，当 时， ；kkTtxkx0t当 时， 且 所以有Tkx1tdTTk dtffdf01TnknT xfnxfd000例 19 设 是以 为周期的周期函数，证明f。020 2sindxfdxf分析: 等价于020si fxf dxf0sin所以 =02 2inxfdfx 2x即 由题设0s0sisinfdu可令 xfxfxu证明： 20sindf 2020 sinsinsisi dufdxfxfxf令 ，则xu 002 iinin xffduf00 sinss dxfxdxx2fx
12、7例 20 设函数 xdts0cos(1)当 n为正整数，且 时，证明 ；1n12nxs(2)求 xslim证明：(1)因为 ，且 ，所以0cosxx，又因为具有周期，在长度的积分区间 1000 cscosnxn dd上积分值相等： ，从而0oxxa 00coscosdxndxndn 21cscs220 同理可得到 1o10dxn(2)由(1)有 ，当 去极限，由夹逼定理得，ns22limxs例 21 设函数 在 上连续，而且 。xf, dtfxF02证明：(1)若 为偶函数，则 也是偶函数；(2)若 单调不减，则单调不减xF(1)证明：令 ，则utxFdufxdufxdtfx 000 222
13、故 为偶函数。F(2)由于被积函数连续，所以 可导，且xFxfdtfxfdtftfdtfxx 0000 22，因此 在 上单调不减0tft ,例 22 设 在 上连续，以 T为周期，令 ，求证：x, xdtfF0(1) 一定能表成： ，其中 k为某常数， 是以 T为周期的FxkF8周期函数；(2) ；Txdxfdtf001lim(3)若有 ，n 为自然数，则当 时，有, Tnx1。TxT xftffn000 1证明:(1) 即确定常数 k，使得 以 T为周期，由于 T因此，kxF取 ， ，则 是以 T为周期的周期函数。 此时 Tdtfk01xFxxdtfT01(2) .且 在 上连续并以 T为
14、周期，于是xdtfTxdtfx 00 ,在 在 有界，在 也有界。因此, , TxTx dtfdtfdtf 000 1lim11lim(3)因 ，所以当 时，f n ToTxonTT dtfdtftfdtftf 11000例 23 设 是 上的连续函数，试运用周期函数性质证明f,。2220 sinsinco dxbafdxbaf证明：因为 ，其中 ，令isi2 batn，tx 2220220 sisinsinco dtfdxbafdxbaf 222 itt令 ，则 ，所以左端tx 022 sinsibaftf ，按照周期函数的性质知 所以20sindxbaf 032c9左端= ， ，知 232
15、22 sinsin dxbafdxbaf t故ff22232 ii 22sindxbaf例 24 设 ，证明（1） ；（2）求出 的2sinxdtf xfff最大最小值。证明：(1) ，设 ，当 时， ；当23ixtf utxu时， ，则23xtufddtfxx232sinsin(2) 因为右端连续，故 可导， ，又 为周期函数，xffico f故只讨论一个周期内即可，现讨论 ,0当 时， ，当 时， ，当 时，40x0xf 43x0xf x43f所以当 时取最大值， ；4x 2sin43dtf当 时取最大值， 。3i543tf10参考文献1曹绳武，王振中，于远许 高等数学重要习题集 大连理工大学出版社 20012郝涌，卢士堂 考研数学精解 华中理工大学出版社 19993李永乐，李正元 考研复习全书 国家行政出版社 20124林益，邵琨，罗德斌等 数学分析习题详解 200511课程论文成绩考核表学生姓名 专业班级题 目评 审 者 考 核 项 目 评分1 平时态度与遵守纪律的情况（满分 20 分）2 掌握基本理论、专业知识、基本技能的程度和水平（满分 20 分）3 抽签答题的正确性（满分 20 分）4 完成任务的情况与水平（按规范化要求） （满分 20 分）指导教师5 答辩时讲述的条理性与系统性（满分 20 分）总评成绩总评成绩等级（优、良、中、及格、不及格）12指导教师签字：
