1、,144 周期信号与非周期信号 定义，若存在正数T，使得下式对所有t成立 则称 为周期信号，T为 的周期。由定义可以看出，可能有许多T满足上 式，把能使上式成立的最小周期称作 的基波周期,记作T0。 同样，对于离散信号，若存在正数N，使得下式对所有n成立,则 称为周期信号，N为 的周期。把能使上式成立的最小周期称作 的基波周期，记作N0。 通常所说的信号周期，没有特殊说明，一般指基波周期。不具有周期性特点的信号，称为非周期信号。 =c (常数)，也可看作周期信号，但其基波周期无意义.,15 常用基本信号,基本信号是常用信号，也是比较简单的信号。通过组合也可构成复杂信号，因此需要对基本信号有清楚
2、的了解。 151 正弦信号 正弦信号与余弦信号在相位上相差 ,所以统称为正弦信号。连续时间正弦信号的一般形式为，,式中，A为振幅， 为初相位， 为角频率。连续时间正弦信号是周期信号。 基波周期 ，基波频率 和角频率 之间的关系为：当基波周期 ，角频率 ， 称 为直流信号。,离散时间正弦信号的一般形式为式中，A为振幅， 为初相位， 单位为弧度。 离散正弦信号并不一定是周期信号，由于自变量只能取整数，因而序列的周期也一定是整数，但对于离散时间正弦序列，不一定对于任何 都能找到满足周期性要求的N。,无论正弦信号是否周期信号，仍称 为角频率。 满足周期性要求的条件：若需 或 N为正整数，m为整数，,由
3、此可见， 必须等于两个整数之比，也即必须是有理数时才可保证是周期序列，否则是非周期序列。 举例：对 采样可得离散序列取不同的值，可得不同的序列,1，周期正弦序列，周期N=12 ，2，周期正弦序列，周期N=31，3非周期正弦序列,一般说来，对以 为周期的连续信号，以 为间隔进行采样得到离散时间序列，是否为周期序列，和采样间隔 有关，当 为有理数时才可保证是周期序列，否则是非周期序列。大并不能保证频率高,152 指数信号 连续时间指数信号 其中，c 和a可以是实数，也可以是复数 当c和a均是实数时，x(t)为指数信号。当a0时，x(t)随时间指数增长； 当 a0时， x(t)随时间指数减小;当a=
4、0时，x(t)随时间不变，称为直流,（2）当c=1 和a为 时，x(t)为周期性复指数信号。令= = = = = x(t) 欧拉公式,周期性复指数信号可以增加一个指标K构成一个信号集： 在信号集中，任何一个信号都是周期的，且其基波周期为 。公共周期为 。任何一个信号的基波频率都是 的整数倍，所以称这组信号为谐波关系。K=0, ，称为0次谐波（直流）,K=1, ，称为1次谐波（基波）K=n, ，称为n次谐波 (3)当c和a均为复数时，x(t)为复指数信号, 复指数信号可以表示为 =,复指数信号x(t)的实部和虚部为振幅按指数变化的正弦振荡 时，是振幅按指数增长的正弦振荡。时，是振幅按指数衰减的正
5、弦振荡，常常称为阻尼振荡，是一种过渡过程（如RLC电路）。时，是等幅正弦振荡。,2离散时间指数序列 离散时间指数信号可以表示为 其中，c 和 ，可以是实数，也可以是复数 。(1) c 和 是实数, 是实指数序列 时，按指数规律单调增长序列时，按指数规律单调衰减序列,时，按指数规律交替衰减序列时，按指数规律交替增长序列时，交替变化的常数序列时，为常数序列,(2)若c=1 ， ，则是复指数序列 欧拉公式连续时间复指数信号为周期信号，离散时间复指数序列则不一定。,当 ，或者 为有理数时，才是周期信号。 N为正整数，m为整数。 在满足为有理数的条件中，必有一组没有公因子，或是最简分数。称此时的N为周期
6、序列的基波周期记作 . 基波频率为基波周期,同连续周期性复指数信号类似，复指数周期序列也可组成一个谐波信号集 每个信号都是周期的，基波频率 为 ，周期为N,各信号成谐波关系. 在连续信号集中，任何一个信号 都是不同的，但对于复指数周期序列 来说，情况却是不同的 。,在信号集中，只有N个是独立的，其余可以由N个独立序列重复而成,（3）若c和 均为复数时，则是一般复指数序列 令 则有实部和虚部是按指数规律变化的正弦序列,时，实部和虚部是按指数规律增长的正弦序列时，实部和虚部是按指数规律衰减的正弦序列时，实部和虚部是等幅正弦序列,(3) 与 的区别 信号 是t的周期信号， 反映信号的振荡频率， 越大
7、，振荡频率越高；对不同的 ， 是不同的周期信号。 但对于离散复指数序列 来说，要满足一定的条件 ，才是周期序列。对不同的 ， 不一定是不同的周期信号。例如,频率为 的离散复指数序列与频率为 （ ）的离散复指数序列完全一样,或者说相对于频率 来说，它也是周期的，周期为 。只有在 内的频率取值才是独立的 不是 越大，振荡频率越高 高频在 的奇数倍附近，低频在 的偶数倍附近,153 单位阶跃信号 连续时间单位阶跃信号在t=0处不连续 单位阶跃信号在信号分析中具有重要作用，而且简化信号的时域表示方面也很有用。双边信号乘以单位阶跃信号就变成单边信号,例1例2，两个不同延迟的单位阶跃信号可以构成一个矩形脉
8、冲（也称门函数）。,例3利用不同延迟和不同宽度的门函数，可以限定信号的分段区间，从而可以将分段表达式转化为不分段表达式,2 离散时间单位阶跃序列 离散时间单位阶跃序列与连续时间单位阶跃信号相似，差别是在n=0处，u(n)=1，而t=0处，u(t)不连续。离散时间单位阶跃序列的作用与性质和连续时间单位阶跃信号相似。,1.5.4 单位脉冲与单位冲击信号 单位脉冲序列 当n=0时， 为1，当 时， 为0。因此，任意序列x(n)与相乘，结果为x(0)与 相乘，即 这一结果通常称为单位脉冲的取样性质,单位脉冲与单位阶跃序列的关系单位脉冲是两个延迟为1的单位阶跃序列之差，而单位阶跃序列是单位脉冲的求和,2
9、. 单位冲击信号 连续单位冲击函数用 表示，也称 函数，它是一个特殊函数,定义 它用变上限积分来定义，当t 0时，积分面积为0，当t 0时，积分面积为1。 当 时， 为0，当 时，幅度趋于无穷，强度（面积）为1,直观解释由定义单位冲击函数等于单位阶跃函数的导数。普通函数这一点是不能成立的，因为单位阶跃函数在 t=0处不连续，因此也不可导 形成过程见图，函数 ，当 时，函数 ，即,从而有函数 是连续函数，导数 是门函数，可以看出，当 时，门函数的宽度越来越窄，幅度越来越大，但面积始终为1，最后极限就是单位冲击函数 。,单位冲击函数还有如下定义， 除原点之外， 处处为0，且面积为1 单位冲击函数是
10、一种理想化的信号，用来描述一种能量有限，作用时间极短的物理现象。如，理想电压源对理想电容器充电时，电流只在接通瞬间存在，可以用单位冲击函数来表示。单位冲击函数在信号与系统分析中具有非常重要的位置,16 奇异函数 根据前面冲击函数的定义，会发现许多完全不同的信号，它们在极限条件下都会表现为单位冲击函数。如下图所示的几种信号。当 时，它们的宽度越来越窄，幅度越来越大，但面积始终为1。在极限条件下都满足单位冲击函数的定义。,函数已经超出了常规函数的范畴，对这种函数的定义和运算都不能按通常的意义去理解。 函数一般被称作奇异函数或广义函数，需要用分配函数或广义函数做严格定义 161 函数及其性质 函数的
11、定义为,其中，x(t)是在t=0处连续的函数。任何在t=0处连续的函数与 函数的积分，结果是该函数在t=0处的值，相当于 函数只“分配” t=0处的值，其余处处为0。函数的性质 1.若x(t)=1，则即,若x(t)在t=0处连续,则由定义比较，可得结果 类似有，,特例3. 函数为偶函数 令 有 即,4.令,综合两种情况，得 即,162 函数的微分与积分 定义其中 是x(t)的一阶导数在t=0时的值。 是 的一阶导数。从形成过程可以看出， 函数的导数将是在t=0时出现两个 函数，它们强度相等，符号相反。通常称为冲击偶函数,的性质 1若x(t)=1，则 ，于是有2. 为奇函数 3.,=又 故 特例,4. 的高阶微分 的积分 的一次积分是单位阶跃函数 6. 令 是 的二次积分,已是一个常规函数。可以推广到n次积分,
