1、矩阵的同时相似上三角化问题张永伟（2011080010008）数理基础科学班指导教师：王也洲、何军华【摘要】本文讨论了 阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。n【关键词】相似上三角化；特征向量；Sylvester 不等式一引言文【1】告诉我们：两个可交换的 阶矩阵 在复数域中一定有相同的特征向量，n,AB进一步若 能相似对角化，那么 一定能同时相似对角化。但是对于一般的 阶矩,AB, n阵不一定能相似对角化。我们又知道，任意方阵都可以和 Jordan 矩阵相似，也就是说，任意 阶矩阵都能相似上三角化。为此，我们有必要讨论 阶矩阵同时相似上三角化的问题。n n二正文定义 2.1
2、：对于 阶矩阵 ，用 表示矩阵 的秩。nArank()A性质 2.1：若 能同时相似上三角化，那么 有公共的特征向量。,B,B证明：因为 可同时相似上三角化，所以存在可逆矩阵 ，使得P且 。121210nnaPA 121210nnbb 设 ，则 ， 。12(,)na=K11Bb所以 有公共的特征向量 。B因此 能同时相似上三角化的必要条件是 有相同的特征向量。,A,A性质 2.2：若 能同时相似上三角化，那么 为幂零矩阵。, -证明：由性质 2.1 的证明可知,。12121000nnccAB 又因为，1121210000nnncc 所以 ，即 为幂零矩阵。1()nAB-=AB-性质 2.3：设
3、 为 2 阶矩阵，那么,(1)若 为幂零矩阵，则 ；rank1BA(2) 当且仅当 有公共的特征向量。rank1,证明：因为 或 时，结论显然成立，所以不妨假定 ，当0AB0,B为幂零矩阵时，易知 的特征值一定为 ，于是存在可逆矩阵 使得B Q，10cAQ所以 。rank1AB又因为，( )BAA当 时，有 ，从而方程 有非零解 ，显rank0ABrank20X然 是 的公共特征向量；,当 时，根据 Sylvester 不等式，知ra1。rankrank( )ra2BABA若 ，显然 有公共特征向量；若 ，则rank2BA, r，此时必有 ，于是存在可逆矩阵 使得( )1rank1,raABT
4、或 ，0Tb其中 。,0ab设 ，则当 时，121bTB10aTA，所以 或 ，显然，此时 有公共特征120aAb12b21,AB向量；同理当 时， 也有公共特征向量。10TA,AB以上我们证明了二阶矩阵 有公共特征向量是 的必要条件，接, rank1AB下来我们证明这个条件也是充分的。不妨设 是 的公共特征向量，将 扩充为二维空间的一组基 ，令 ,显,B,( )P然 为上三角矩阵。当 有公共特征向量 时，则 有非1,PA ,AB0X零解 ，所以 。rank1下面讨论更为一般的情形。性质 2.4：假定 为 阶矩阵且 ，若 ，则 有公共特征,3nrak1AB,AB向量。证明：因为 ，由 Sylv
5、ester 不等式得到( )BABA。rankrank( )raBnA若 ，则 有公共特征向量；若 ，则有rankBA, r，于是 ，又因为( )1rank1,raB,所以 ，此时与 矛盾。rankB 2n3n性质 2.5：满足条件 的任意 阶矩阵 可以同时上三角化。rak1A,AB证明：由条件知矩阵 具有公共特征向量，不妨设 是 的公共特征向量，将, 1其扩充为 维空间的一组基 ；当 时，由性质 2.4 知， 可以同时上三n12,n 2,角化；假设当 时结论也成立，现在考虑 时的情况。不妨设 是 的公k=- k=1,AB共特征向量，同样将之扩充为 维空间的一组基 ，令 ，则12, 2,kP有
6、， 。110PA110PB于是 ，因为 ，所以110ABPPAB11rankAB，由数学归纳法知 可以同时上三角化。rank,推论 2.1：假定 ，那么当 时， 有公共特征向量。rankk2nk,性质 2.6：如果存在 使得 成立，则 可以同时上三角化。,bRABabAB证明：因为 ,与前面证明类似，可以得出( )0IABa结论。推论 2.2：若存在 满足条件 ,则 可同时相似上三角化。kRABk推论 2.3：若存在 使得 成立，则 可同时相似上三角化。0k,AB三总结本文主要讨论了两个矩阵能同时相似上三角化的充分条件、必要条件、以及充要条件。通过分析证明过程，我们还做出了进一步的推广。这对将来解决类似问题带来很大的方便。参考文献【1】黄廷祝，成孝予，线性代数与空间解析几何,高等教育出版社，2008.【2 】 黄廷祝，何军华，李永彬，高等代数, 高等教育出版社， 2012.
