1、江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校 2018 届高三上学期第一次学情监测数学试题第卷（共 60 分）一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上）1. 已知全集 1,02U，集合 1,0A，则 UCA 2. 设复数 z满足 3ii（ 为虚数单位），则 z为 3. 设向量 2,61,abm，若 /ab，则实数 m的值为 4. 直线 30xy为双曲线 20yx的一条渐近线，则 b的值为 5. “ 15a”是“直线 1a与直线 130axy垂直”的 条件(从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个填入).6. 已知函数 fx是定义在 R上
2、的周期为 2 的奇函数，当 x时， 8xf，则 193f的值为 7. 若圆锥底面半径为 2，高为 5，则其侧面积为 8. 设 ,xy满足01xy，则 3xy的最大值为 9. 已知 536， ，且 cos5，则 sin的值是 10. 设数列 na的首项 1，且满足 2121nna与 21na，则数列 na的前 20 项和为 11. 已知 ,BD是以 AC为直径的圆上的两点，且 ,5ABD,则 ACB的值为 12. 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 22:161Cxy和两点 ,2,2aa，且 1a，若圆 上存在两个不同的点 ,PQ，使得 90Q，则实数 的取倌范围为 13已知 ,0,abc，则
3、225abc的最小值为 14. 已知函数 lnfxex，其中 e为自然对数的底数，若不等式 0fx恒成立，则 ba的最大值为 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 ABC的内角 ,所对的边分别为 ,abc，已知 sin3cosaBbAC.（1）求角 的大小；（2）若 的面积为 73,4,bc，求 ,.16.如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PAB平面 CD， /B平面 PAD， B为锐角三角形，且PBC.（1）求证： /AD平面 PBC；（2）平面 平面 .17.园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为 r米，圆心角为 (弧
4、度）的扇形观景水池，其中 O为扇形 AOB的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过 24 万元，水池造价为每平米 400 元，步道造价为每米 1000 元.（1）当 r和 分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；（2）若要求步道长为 105 米，则可设计出的水池最大面积是多少.18.如图，已知椭圆 2:10xyEab的左顶点 2,0A，且点 31,2在椭圆上， 12F、 分别是椭圆的左、右焦点。过点 A作斜率为 k的直线交椭圆 E于另一点 B，直线 交椭圆 E于点 C.（1）求椭圆 E的标准方程；（2）若 12CF为等腰三角形，求点 B的坐标；（3）若
5、AB，求 k的值.19.已知数列 ,nab满足： *13,nnaN.（1）若 23,0，求 1的值；（2）设 124,nnaba，求证：数列 nb从第 2 项起成等比数列；（3）若数列 成等差数列，且 1235ba，试判断数列 na是否成等差数列？并证明你的结论.20.已知函数 ,xfegx，其中 e为自然对数的底数， R.（1）求证： 0f；（2）若存在 0xR，使 00fxg，求 a的取值范围；（3）若对任意的 ,1fx恒成立，求 的最小值. (附加题）21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明
6、、证明过程或演算步骤.A.选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线 l经过点 1,P，倾斜角为 6 ，设 l与圆 24xy相交于 ,AB两点，求点 P到 ,AB两点的距离之积.B.选修 4-2:矩阵与变换在平面直角坐标系 xOy中，直线 20xy在矩阵 12aAb对应的变换作用下得到的直线仍为20xy，求矩阵 A的逆矩阵 1.C.选修 4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，直线 l和圆 C的极坐标方程为 cos6aR和 4sin.若直线 l和圆 C有且只有一个公共点，求 a的值.【必做题】第 22、23 题，请选定其中两题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
7、过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥 AEFCB中， A为等边三角形，平面 AEF平面 CB，/,42EFBCEFa， ， 60BCF， O为 EF的中点.（1）求二面角 FAEB的正弦值；（2）若 B平面 OC，求 a的值.23.已知抛物线 24yx的焦点为 F，直线过点 4,0M.（1）若点 F到直线的距离为 3，求直线的斜率；（2）设 ,AB为抛物线上两点，且 AB不与 x轴垂直，若线段 AB的垂直平分线恰过点 M，求证: 线段中点的横坐标为定值.试卷答案一、填空题1.2 2. 2 3. 3 4. 3 5. 充分不必要 6. 7. 6 8. 29. 4310 10. 2056 11. 2
8、1 12.1717a 13. 4 14. 1e 二、解答题15. 解（1）由已知 sin3cosinaBbAC，结合正弦定理得 sin3sinco3sinABAC，所以 siccosincsBBA，即 in3sino，即 tan3，因为 0,B，所以 B.（2）由 1sin,23ACSac，得 74ac，即 7ac，又 ob，得 22，所以 78ac，又 ac， 71.16.解（1）因为 /BC平面 PAD,而 平面 A，平面 平面 A，所以 /D，又因为 平面 PB； 平面 PBC,所以 /A平面 C（2）过 作 H于 ,因为平面 PB平面 AD,且平面 PAB平面 DAB,所以 PH平面
9、ABCD因为 平面 ，所以 H.因为 C，所以 ,而 为锐角三角形，于是点 与 不重合，即 PH. 因为 ,PBH平面 AB,所以 C平面 PAB 因为 C平面 PB,故平面 平面 .17.由题意，水池孤长 AB为 r，扇形 AOB面积为 21Sr 由题意有 41402020rh 即 25r，2r 22100rr 令 2,0trt，则2104tt所以当 4时， 1S最大为 400答：扇形圆心角 为 2 弧度，半径 r为 20 米时，广场面积最大为 400 平方米 （2）即 10522rr， 1052rr 代入可得 105 67h或 45 又 2Sr2211051050546rr当 时， /r与
10、 不符S在 45,上单调减，当 45r时， S最大 337.5 平方米,此时 13.18. 解（1）由题意得 22194abc，解得231abc椭圆 E的标准方程：243xy（2） 12CF为等腰三角形，且 0k点 C在 x轴下方1若 ，则 0,；2若 12，则 2， 0,3；3若 FC，则 1F， ,C； 0,直线 BC的方程 31yx，由2314yx得 03y或85xy 83,5B（3）设直线 A的方程 :2ABlykx，由2143ykx得 22241610264ABkx2834Bkx 213ykk 2261,k若 12，则 ,B， 3,C， 1,0F， 134CFk， 1与 AB不垂直；
11、 k， 2,0F， 2124,BFCkk，直线 的方程 2:1lyx，直线 1的方程: 1:1CFlyxk 由241kyx解得28ky 28,Ck 又点 C在椭圆上得 2281143kk，即 2241890k，即 214k 0k， 62 19.解：（1）当 1,n时，可得 1233,2aa，又 230a，从而可得 14a；（2）由 2,，可得 122143,77baba，所以 13b；又因为 11,nnnab，所以 2b，即 *1243,nbN，又 2143， 207，所以 *1,n，所以数列 nb成等比数列；（3）由 1235a可得 1235a，即 3120al；由 13nnba可得 122
12、33,nnnbaba，又因为数列 成等差数列，从而 1nb，即 210nnb，从而 2123213nnnnbbaaa ，即 31a 所以 12120nnaa，故 21nnaa，所以数列 成等差数列.20.解：（1）令 0xfe，得 1x，且当 x时， 0fx；当 1x时， 0fx，所以函数fx在 ,上单调递减，在 ,上单调递增，所以函数 f在 处取得最小值. 因为 10f，所以 0fx.（2）设 2xFea，题设等价于函数 Fx有零点时的 a的取值范围.当 0a时，由 130, 0Fea，所以 x有零点.当 2e时，若 0x，由 0a，得 20xea；若 ，由（1）知， 1F，所以 Fx无零点
13、.当 2ea时， 01a，又存在 02xea， 0012eax，所以 Fx有零点.综上， 的取值范围是 2e或 .（3）由题意， 1xa，因为 1x，所以 21xe.设 2xeG，其值域为 A，由于 2011xxeex，所以 2eGx.又 20xeG，所以 x在 ,上为减函数，所以 1Gxe，. 记区间 1,Be，则 A.设函数 ,Hxm，一方面， 10Hem；另一方面， 212xxex121xemx，存在 512me， 5400xme所以 1,x，使 1Hx，即 1G，所以 BA.由，知， AB，从而 2ea，即 的最小值为 2e.21.A.（坐标系与参数方程）解：直线 l的参数方程为1co
14、s,6in,xty即31,2,xty( 为参数)；将31,2,xty代入 24x，得22311tt，即 23120tt，则 12t，则点 P到 ,AB两点的距离之积为 2.B.(矩阵与变换）解：设 ,xy是直线 20xy上任意一点，其在矩阵 102A对应的变化下得到12aabybxy仍在直线上，所以得 20， 与 20xy比较得 12ba，解得 01ba，故 102A,求得逆矩阵 _102A.C.(坐标系与参数方程）解：将直线 l的极坐标方程化为直角坐标方程得 320xya，将圆 C的极坐标方程化为直角坐标方程得 24.因为直线与圆有且只有一个公共点，所以 dr，即 2ar解得 3a或 1.2
15、2.解：因为 AEF是等边三角形， O为 EF的中点，所以 AOEF，又因为平面 平面 CB，平面 A平面 CB，O平面 ，所以 A平面 EF，又 B平面 ,所以 AOEB，取 C的中点 G，连结 ，由题设知四边形 EF是等腰梯形，所以 GEF，由 AO平面 B，又 平面 CB，所以 AO，建立如图所示空间直角坐标系，则 ,03,2,0EaAaBa， ， ， ,03,2,3,0EAaBEa， 设平面 的法向量为 ,nxyz，则 0,nBE,即 30,22.aa令 1z，则 ,1xy，于是 ,1n，又平面 AF的一个法向量为 0,p，设二面角 FAEB为 ，所以 5cos,np， 25sin1cos，所以二面角的正弦值为 25.（2）因为 BE平面 AOC，所以 BEC，即 0O，因为 2,3,02,3,aa，
