1、2018 届广西陆川县中学高三上学期期末考试数学（理）试题 第 I 卷 (选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合 P=4，5，6， =1，2，3，定义 ，则集合 的所有真QQqPpxQP,P子集的个数为（ ）A、32 B、31 C、30 D、以上答案都不对2、关于复数 的四个命题：iZ1-2： ； ： ； ： 的共轭复数为 ； ： 的虚部为-1。其中的真命题个数为1pz2pz3pZi14pZ（ ）。A、 、 B、 、 C、 、 D、 、231224343. 我国古代数学名著算法统宗
2、中有如下问题：“ 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏4将甲、乙、丙三位新同学分到 2 个不同的班级，每班至少 1 人，则甲、乙被分到同一个班的概率为（ ）A. B. C. D.2131465. 一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 6. 已知 满足条件 ，则目标函数 从最小值变化到 时，所有满足条件的点 构成,xy0
3、2xyzxy1,xy的平面区域的面积为（ ）A. B. C. D. 74343237执行如图的程序框图，如果输入的 a=1，则输出的 S=（ ） A2 B3 C4 D58设函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ）1,02xf12fxfxA. B. C. D. ,41,49. 将函数 的图像向右平移 （ ）个单位后得到函数 的图像. 若对满足sin2fx02gx的 ，有 ，则 （ ）12fg12,x12min3x(1) B. C. D. 34651210. 已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 60o 的直线 L 与抛物线在第一四象限分别交)0(2pxy于 A，B 两点，则 等于（ ）F
4、A.3 B. C. D.2 25311.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的. 数列中的一系列数字被人们称之为神奇数. 具体数列为： ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和. 已知1,5,8数列 为“斐波那契”数列， 为数列 的前 项的和，若 ，则 （ ）nanSna2017am2015SA. B. C. D. 2m21m1m12. 已知函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得 ，则 的取值范围是（ 3fxx0x0fx）A. B. C. D. 0,11,32,132,3第卷（非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）（21）题为必考题，每个
5、试题考生都必须做答。第（22）（23）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若 x， y 满足约束条件10,xy则 yx的最大值为 .14已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O (球心为 O)的球面上，且 AB6，BC 23，则棱锥O-ABCD 的体积为_15(x 2x2y )5 的展开式中，x 5y2 的系数为 16已知 f(x)ln -，x (0，2)现有下列命题： f(x)图像关于(1，0)对称 f(x)为增函数 |f( x)|2| x1|其中的所有正确命题的序号是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6、17.（本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知tant2(tant).cosAB（）证明：a+ b=2c;（）求 cosC 的最小值.18.（本小题满分 12 分）为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者 .（）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率；（）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的
7、人数，求的分布列和数学期望 E（ ）；（）试 判 断 这 100 名 患 者 中 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 与 未 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 的 大 小 .（ 只 需 写 出 结 论 ）19 （本小题满分 12 分）在边长为 5 的菱形 ABCD 中,AC=8. 现沿对角线 BD 把 ABD 折起，折起后使 ADC 的余弦值为 259(1)求证：平面 ABD 平面 CBD;(2)若 M 是 AB 的中点，求折起后 AC 与平面 MCD 所成角的正弦值20.(本小题满分 12 分）已知平面上动点 P（x,y）及两个定点 A（一 2，0） ，B（2，0） ，直线
8、 PA, PB 的斜率分别为 k1，k 2 且 k1k2= 4-（1 ）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（2 ） 设直线 l:y=kx+m 与曲线 C 交于不同的两点 M，N，当 0M ON（0 为坐标原点）时，求点 0 到直线 l 的距离21.(本小题满分 12 分）已知函数 .321xfxe（I）讨论函数 的单调性；fx（II）求 f(x)在 上的最大值和最小值.1,考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。22.(本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆 是以点 为圆心， 为半径的圆.C12,62（）求圆 的极坐
9、标方程；（）求圆 被直线 ： 所截得的弦长.l712R23 （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 选修 45：不等式选讲已知定义在 R 上的函数 f(x) |x1| x2|，若 f(x)的最大值为 a.(1) 求 a 的值；(2) 若 p，q，r 是正实数，且满足 p2qra，求 p2q 2r 2 的最小值理科数学试题参考答案及评分标准1.B2.C3.B4.B 5.B 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A11.D 12.C2、填空题（每题5分）13. 3 14、 15.120 16.83三、解答题17.（本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知t
10、ant2(tant).cosAB（）证明：a+ b=2c;（）求 cosC 的最小值.【答案】 （）见解析；（） 12【解析】试题分析：（）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（）根据余弦定理公式表示出 cosC，由基本不等式求 cosC 的最小值.试题解析： 由题意知 ，sinisinsin2cococoABAB化简得 ，2sinciiAB即 .sn因为 ,C所以 .sinsisiABC从而 .=2n由正弦定理得 .abc由 知 ,()所以 ，222cosababcC31842ab当且仅当 时，等号成立.故 的最小值为 .cs1218.解：（）由图知，在服药的 50 名患者中，
11、指标 的值小于 60 的有 15 人，y所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 的值小于 60 的概率为 .y1503（）由图知，A,B,C,D 四人中，指标 的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C.x所以 的所有可能取值为 0,1,2.来源:Z.X.X.K.2122444CCC1 1(0),(),()636PPP所以 的分布列为0 1 2P162316故 的期望 .2()013E（）在这 100 名患者中，服药者指标 数据的方差大于未服药者指标 数据的方差.yy19. （1）省（详见微信群)（2）5320.)2(142xyd= 521.解：（1） =（ x2+2x）e x +
12、（ x3+x2）e x= x（x+1） （x+4）e x2 分)(f因为 ，令 f（x）=0，解得 x=0，x=1 或 x=4Rx当 x4 时，f（x）0，故 g（x）为减函数；当4x1 时，f（x）0，故 g（x）为增函数；当1x0 时，f（x）0，故 g（x）为减函数；当 x0 时，f（x）0，故 g（x）为增函数；5 分 综上知 f（x）在（，4）和（1，0）内为减函数，在（4，1）和（0，+）内为增函数7 分(2)因为 ,由（1）知， 上 f（x）单调递减，在 上 f（x）单调递增01x0,1x9 分所以 .10 分 0)(minfx又 f（1）= ，f（-1）= ，32ee21所以
13、12 分max()()ff22.（1 ）圆 C 是将圆 =4cos 绕极点按顺时针方向旋转 而得到的圆，所以圆 C 的极坐标方程是=4cos（+ ）.5 分（2）将 = 代入圆 C 的极坐标方程 =4cos（+ ） ，得 =2 ，所以，圆 C 被直线 l：= 所截得的弦长，可将 = 代入极坐标方程求得为 =2 即弦长为 212710 分23.(1) f(x)=|x1| x2| /_D_Dd_所以 f(x)max=3，即 a=3 (5 分)(本题也可分段解析、作图解答；也可用几何意义求解) (2) 由柯西不等式：( p2 q2 r2)(1+4+1)=(p2 q r)2=9即 6( p2 q2 r2)=9，所以 p2 q2 r2=当 p=r= ， q=1 时相等，故最小值为 (10 分)
