1、广西贺州市桂梧高中 2018 届高三上学期第四次联考数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 23iz，则 z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 已知集合 |lg1x， 2|80Bx，则 AB（ ）A B ,20 C ,4 D 1,43. 若 1sincotan6，则 si2（ ）A 14 B 2 C. 14 D 12 4. 73x的展开式的第 4 项的系数为（ ）A 72C B 781C C. 37 D 4781C5.设 x
2、， y满足约束条件,3264,xy则 的取值范围为（ ）A 2,0 B ,0 C. ,5 D 6,56. 若函数 fx与 g的图象有一条相同的对称轴，则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中，与21f互为同轴函数的是（ ）A cosgx B singx C. tangx D7.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为 2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A 163 B8 C. 203 D128.设向量 a， b满足 1， b，且 ab，则向量 a在向量 2b方向上的投影为（ ） A 13 B 3 C. 13 D 139.执行如图所示的
3、程序框图，若输入的 4t，则输出的 i（ ）A7 B10 C.13 D1610. 过双曲线 210,xyab：的右焦点 F作 x轴的垂线，与 在第一象限的交点为 M，且直线 M的斜率大于 2，其中 A为 的左顶点，则 的离心率的取值范围为（ ）A 1,3 B 3, C. 1,23 D 23,11.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线与底面所成角为 60，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的 6 倍，则圆柱的高是底面半径的（ ）A 2倍 B 3倍 C. 2倍 D 23倍12. 已知 x表示不大于 x的最大整数，若函数 10fxaxa在 ,2上仅有一个零点，则 a的取值范围为（ ）A
4、1,0,4 B 1,4 C. ,4 D,第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.抛物线 20xpy的焦点到直线 2y的距离为 5，则 p 14.科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称.假设甲每次通过科目二的概率均为 34，且每次考试相互独立，则甲第 3 次考试才通过科目二的概率为 15. 已知曲线 xye在 0处的切线经过点 1,2，则 0201xxe 16. ABC的内角 ， ， C所对的边分别为 a， b， c.已知 sin:siln2:4lABCt，且2mc，有下列结论： 8t； 9； 4t， ln2a
5、时， ABC的面积为215ln8；当 58t时， 为钝角三角线.其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 nS是数列 na的前 项和， 14a， 21n.（1）证明：当 2时， 2nS；（2）若等比数列 nb的前两项分别为 2， 5S，求 nb的前 项和 nT.18. 为了检测某轮胎公司生产的轮胎的宽度，需要抽检一批轮胎（共 10 个轮胎） ，已知这批轮胎宽度（单位： m）的折线图如下图所示：（1）求这批轮胎宽度的平均值；（2）现将这批轮胎送去质检部进行抽检，抽检方案是：从这批轮胎中任取 5
6、 个作检验，这 5 个轮胎的宽度都在 94,6内，则称这批轮胎合格，如果抽检不合格，就要重新再抽检一次，若还是不合格，这批轮胎就认定不合格.i求这批轮胎第一次抽检就合格的概率；记 X为这批轮胎的抽检次数，求 X的分布列及数学期望.19. 如图，在四棱锥 PABCD中， B， ACDO， PAB， OD是以 P为斜边的等腰直角三角形，且 1123O.（1 ）证明：平面 PAC平面 BD.（2 ）求二面角 的余弦值 .20. 已知中心为坐标原点 O，焦点在 y轴上的椭圆 M的焦距为 4，且椭圆 M过点 13， .（1）求椭圆 M的方程；（2）若过点 0,1C的直线 l与椭圆 交于 A， B两点，
7、2CB，求直线 l的方程.21. 已知函数 223n4fxx.（1）若 在 ,a上递增，求 a的取值范围；（2）证明： 24fx .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 23cosinxy（ 为参数） ，以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 ,0,P是曲线 C在极坐标中的任意一点.（1）证明： 14cos.（2）求 的取值范围.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 130fxaxa的一个零点为 2.（1）求不等式 2的解集；（2）若直线 2ykx与
8、函数 fx的图象有公共点，求 k的取值范围.试卷答案一、选择题1.D 23713100iiz i，在复平面内对应的点为 71,0.2. |Ax， |24Bx， |4ABx.3.B 13sincotan26， 21sincosin2， 1sin2.4. A 713x的展开式的第 4 项为 33731 7TCxCx.5. 直线 y与 的交点为 ,0，作出不等式组表示的可行域，由图可知， y的取值范围为 ,0.6.D cosgx与 21fx的图象都关于直线 1x对称.7.C 由三视图可知该几何体是由一个三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，故其体积为 2213203.8. A ab， 10aba， 1b，
9、214613aba，则213，又 2，故向量 在向量 方向上的投影为 .9.D 1i，1 不是质数， 014S； i，4 不是质数， 145S； 7i，7 是质数， 5724S； i，10 不是质数， 2108S； 3i，13 是质数，83， 6，故输出的 6i.10.B 2bFMa， Aca， 2212AMFbcak ea， 3e.11.C 设圆柱的高为 h，底面半径为 r，圆柱的外接球的半径为 R，则2hr.圆锥的母线与底面所成角为 60，圆锥的高为 3r，母线长 lr，圆锥的侧面积为 2lr.22 246hRrr， 24h， 28h， 2.12.D 若 0a，当 1x， ， 21fxa.
10、 01f，当 0a，即 1时， fx在 0,1上有一个零点.当 12x， 1， 21fxa， 0fa， 41，故 fx在 1,2上无零点.若 0a，当 ， f在 0,上无零点.当 12x， 21ax， 0fa.当 4a，即 4（此时对称轴 12x）时， fx在 1,2上有一个零点.故当 ,01,时， f在 0,上仅有一个零点.二、填空题13.6 由题可得 25p， 6. 14. 364 甲第 3 次考试才通过科目二，则前两次都未通过，第 3 次通过，故所求概率为23146.15.-2 由 =1xye ，得 00211xxe， 0022xx， 020x.16. sin:siln:4lABCt，
11、:ln2:4labct，故可设 lak， l4bk， ck， . ba， ln23lkck，则 28t，当 58t时， 220ab，故 ABC为钝角三角形.面225lncoscckcCABab，又 2m，22225lnl1kCABccc.ln3lkck，22218lnlnkk，即25ln58k， 29m.当 4t， la时， ABC的面积为2154，故四个结论中，只有不正确.三、解答题17. （1）证明：当 2n时， 25215721=443n nSnn ， 221nnSa.（2）解：由（1）知 29S， 536， nb的公比 3649q，且 19b， 4141nnnT.18.解：（1）这批轮
12、胎宽度的平均值为 546397695317950m.（2） i这批轮胎宽度都在 14,内的个数为 6，故这批轮胎第一次抽检就合格的概率为50142CP.iX的可能取值为 1,2， 0X， 0412XP.则 的分布列为：故 14832EX.19. （1）证明： POD是以 为斜边的等腰直角三角形， P.又 AB， B， 平面 ABCD，则 C，又 ， PO， 平面 PD，又 A平面 ，平面 A平面 B.（2）解：以 O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 xyz，则 3,0， ,20， ,2P，则 DA， ，设 ,nxyz是平面 AD的法向量，则 0P，即 320xyz，令 3y得 2,3n
13、.由（1）知，平面 PBD的一个法向量为 1,0OC， 2cos,nOC.由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角 APDB的平面角的余弦值为 21.20.解：（1）设椭圆 M的方程为 210yxab，24c， 2， 224abc，又 23，解得 26a， 2b，故椭圆 的方程为 16yx.（2）设直线 l的方程为 k，由 21,6ykx得 2350x，设 1,Axy， 2,By，则 1223k， 1253xk，C， 1,xxy， ， 1223kx，则 23k，又 125k， 285k，即2853， 2k， 5.故直线 l的方程为 1yx.21.（1）解： 212ln342ln2ln1fxxx
14、xx ，令 0f ，得 1， e，令 x ，得 x，或 ， fx在 0,1， ,e上递增，f在 ,a上递增， 0a或 e.（2）证明：当 12x时， 4x， 24fx 显然成立.当 0时， ln124gf xx ，ln+4gxx在 102， 上递增，且 lln02g ， 0 ，从而 g在 ,上递减， min1l2xg， gx，即 24fx .综上， f .22.（1）证明：由 3cosinxy（ 为参数） ，得 23xy，即 240xy，故曲线 C的极坐标方程为 24cos1，即 14cos.（2）解： 0， 2（当且仅当 1时取等号） ， 4cos， 1cos. 0， 50,23.23.解：（1）由 2fa， ，得 4a， 413fxx， 12x或 02x或 482，解得 05，故不等式 f的解集为 ,5.
