1、学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 1 -圆锥曲线题型汇编（一） 以几何度量立意弦长、三角形面积、四边形面积问题2008 北京 19 已知 的顶点 在椭圆 上， 在直线 上，且 ABC ， 234xyC2lyx： ABl/（）当 边通过坐标原点 时，求 的长及 的面积；OAB（）当 ，且斜边 的长最大时，求 所在直线的方程90学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 2 -浙江 21 如图，直线 与椭圆 交于 两点，ykxb214xyAB，记
2、 的面积为 （I）求在 ， 的条件下，AOB S0kb的最大值；S（II）当 ， 时，求直线 的方程21AB（二） 以点、线的位置关系立意垂直、中点、中垂线、对称1. 垂直2. 线段中点（中点弦）3. 中垂线问题AyxOB（第 21 题）学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 3 -（三）以符号化的形式立意向量问题全国 II 22 已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 L 与 C 相交20xyCab 1 3于 A、B 两点，当 L 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 L 的距离为 .2() 求 a，b 的值；(
3、) C 上是否存在点 P，使得当 L 绕 F 转到某一位置时，有 成立？若存在，求出所有的 PPAOB 的坐标与 L 的方程；若不存在，说明理由学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 4 -辽宁 21 在平面直角坐标系 中，点 P 到两点 ， 的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为xOy(03)， ()，C（）写出 C 的方程；（）设直线 与 C 交于 A，B 两点k 为何值时 ？此时 的值是多少？1ykxOAB学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Lt
4、d.- 5 -海南宁夏 21 在平面直角坐标系 中，已知圆 的圆心为 ，过点 且斜率xOy21320xyQ(02)P，为 的直线与圆 相交于不同的两点 kQAB，（）求 的取值范围；（）是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；kOABPk如果不存在，请说明理由学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 6 -（三） 以直线与椭圆位置关系立意取值范围问题海南宁夏 21 在平面直角坐标系 中，已知圆 的圆心为 ，过点 且斜率xOy21320xyQ(02)P，为 的直线与圆 相交于不同的两点 kQAB，（）求 的取
5、值范围；（）是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理kPQk由学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 7 -全国 II 21 在直角坐标系 中，以 为圆心的圆与直线 相切xOy34xy（1）求圆 的方程；O（2）圆 与 轴相交于 两点，圆内的动点 使 成等比数列，求 的取值范xAB， PAOB， ， PAB围学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 8 -四川 21 设 、 分别是椭圆 的左、右焦点1F2214x
6、y（）若 是第一象限内该椭圆上的一点，且 ，求点 的作标；P1254PFP（）设过定点 的直线 与椭圆交于同的两点 、 ，且 为锐角（其中 为作标原点），(0,)MlABO求直线 的斜率 的取值范围lk学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 9 -以函数性质研究立意最值问题2009 福建 22 已知直线 经过椭圆 的左顶点 A 和上顶点 D，椭圆20xy2:1(0)xyCab的右顶点为 ，点 和椭圆 上位于 轴上方的动点，直线，CBS与直线 分别交于 两点。,AS1:3l,MN（I）求椭圆 的方程；（）求线段 MN 的
7、长度的最小值；（）当线段 MN 的长度最小时，在椭圆 上是否存在这样的C点 ，使得 的面积为 ？若存在，确定点 的个数，若不TSB15T存在，说明理由. 学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 10 -北京 19 已知 的顶点 在椭圆 上， 在直线 上，且 ABC ， 234xyC2lyx： ABl/（）当 边通过坐标原点 时，求 的长及 的面积；OAB（）当 ，且斜边 的长最大时，求 所在直线的方程(另见最值问题)902008 福建 22 如图，椭圆 的一个焦点是 ，21(0)xyab1,0)F且过点 .(2,0)（
8、）求椭圆 C 的方程；（）若 AB 为垂直于 x 轴的动弦，直线 与 x 轴交于点 N，直线:4lAF 与 BN 交于点 M.（）求证：点 M 恒在椭圆 C 上；（）求 面积的最大值.AN学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 11 -陕西 22 已知椭圆 的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 21(0)xyCab， 63 3（）求椭圆 的方程；（）设直线 与椭圆 交于 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面积的最大值lAB，Ol32AOB学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Te
9、chnology（Beijing）Ltd.- 12 -2007 全国 I 22 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆于 B，D 两点，过213xy1F21的直线交椭圆于 A，C 两点，且 ，垂足为 P2FBD（）设 P 点的坐标为 ，证明： ；0()xy， 2013xy（）求四边形 ABCD 的面积的最小值学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 13 -2008 全国 II 22 设椭圆中心在坐标原点， 是它的两个顶点，直线 与 AB 相(20)1AB， ， ， )0(kxy交于点 D，与椭圆相交于 E
10、、F 两点（）若 ，求 的值；（）求四边形 面积的最大值 6kEF解：（）依题设得椭圆的方程为 ，直线 的方程分别为 ，214xyAB， 2xy如图，设 ，其中 ，(0)ykx012()()()Dkkxkx， ， ， ， ， 12且 满足方程 ，故 12， 2(14)x2124由 知 ，得 ；6EDF01206()02122510(6)774xxk由 在 上知 ，得 AB0xk01k所以 ，22174k化简得，解得 或 6 分245603k8（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点 到 的距离分别为EF， AB， 9 分212(14)5xkhk 222(14)55xkkh又 ，所以四边形
11、的面积为2ABABF，12()Sh24(1)5k2()4k214k当 ，即当 时，上式取等号所以 的最大值为 12 分2kkS解法二：由题设， ， 设 ， ，由得 ， ，1BO2A1ykx220x210y故四边形 的面积为AEF，BS 2xy2()x224y2(4)当 时，上式取等号所以 的最大值为 12 分2xyS学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 14 -（四） 以推理方式立意存在性问题2009 辽宁 22 已知，椭圆 C 以过点 A（1， ），两个焦点为（1，0）（1，0）.32（1）求椭圆 C 的方程；（2
12、）E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 15 -2008 福建 22 如图，椭圆 的一个焦点是 ，且过点 .21(0)xyab(1,0)F(2,0)（）求椭圆 C 的方程；（）若 AB 为垂直于 x 轴的动弦，直线 与 x 轴交于点 N，直线 AF 与 BN 交于点 M.:4l（）求证：点 M 恒在椭圆 C 上；（）求 面积的最大值.（另见最值问题）AN2007 山东文 22 已知椭圆 的中
13、心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为xC3，最小值为 1（1）求椭圆 的标准方程；C（2）若直线 与椭圆 相交于 两点（ 不是左右顶点），且以 为直径的图:lykxmCAB， ， AB过椭圆 的右顶点求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标l解：（1）由题意设椭圆的标准方程为 ，21(0)xyab由已知得： ，31ac，221b， ，椭圆标准方程为 2143xy（2）设 12()()AB， ， ，联立 2.43ykxm，得 ，则22()84(3)0kx22 212264(3)40().34mkkmxk， 即 ，学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Educatio
14、n Technology（Beijing）Ltd.- 16 -又 2212121123(4)()()mkykxmkxmx因为以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，AB0D，即 1Dk121yxA1212()40y2223(4)35mkmk7160解得： ，且均满足 27kk， 2340k当 时， 的方程 ，直线过点 ，与已知矛盾；1ml()yx()，当 时， 的方程为 ，直线过定点 27kl27k207，所以，直线 过定点，定点坐标为 l 0，学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 17 -（五） 以研究手法立意圆的相关问题
15、2009 广东 19 已知椭圆 G 的中心在坐标原点 ,长轴在 轴上,离心率为 ,两个焦点分别为 和 ,椭圆x231F2G 上一点到 和 的距离之和为 12.圆 : 的圆心为点 .（1）求椭圆 G1F2kC0142y)(RkkA的方程 （2）求 的面积 （3）问是否存在圆 包围椭圆 G?请说明理由.1Akk解：（1）设椭圆 G 的方程为： （ ）半焦距为 c;21xyab0ab则 , 解得 , 213ac63c223679c所求椭圆 G 的方程为： . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2169xy(2 )点 的坐标为 KA,1212632KAFSV（3）若 ，由 可知点（6，0）在圆
16、外，0k205kkf kC若 ，由 可知点（-6，0）在圆 外；(6)不论 K 为何值圆 都不能包围椭圆 G.kC2008 辽宁 20 已知 mR，直线 l： 和圆 C： .2(1)4xmy284160xy（）求直线 l 斜率的取值范围；（）直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧？为什么？解：（）直线 的方程可化为 ，此时斜率221yx21mk因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立21m2mk所以，斜率 k 的取值范围是 ；1,（）不能. 由（）知 的方程为 ，其中 ；l4ykx12k学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beij
17、ing）Ltd.- 18 -圆的圆心为 ，半径 ；圆心到直线 的距离4,2Crl21dk由 ，得 ，即 。从而，若 与圆相交，则圆截直线 所得的弦所对的圆心角小1k15d2dl l于 。所以 不能将圆分割成弧长的比值为 的两端弧；23l 12007 北京19 如图，矩形 的两条对角线相交于点 ，ABCD(20)M，边所在直线的方程为 点 在 边所在直AB360xy(1)T， AD线上（I）求 边所在直线的方程；（II）求矩形 外接圆的方DBC程；（III ）若动圆 过点 ，且与矩形 的外接圆外切，P(20)N，求动圆 的圆心的轨迹方程解：（I）因为 边所在直线的方程为 ，且 与 垂直，所以直线
18、 的斜率AB360xyADBAD为 又因为点 在直线 上，所以 边所在直线的方程为 整理得，3(1)T， AD13()yx20xy（II）由 解得点 的坐标为 ，63=， (02)，因为矩形 两条对角线的交点为 所以 为矩形 外接圆的圆心ABCDM， ABCD又 从而矩形 外接圆的方程为 22(0)()M 2()8xy（III）因为动圆 过点 ，所以 是该圆的半径，又因为动圆 与圆 外切，PNPPM所以 ，即 故点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的22N， 2双曲线的左支因为实半轴长 ，半焦距 所以虚半轴长 从而动圆 的ac2bcaP圆心的轨迹方程为 21(2)xy2006 北京 19 椭圆
19、C: 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上，且2(0)abTNOBCMxy学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 19 -121241,|,|.3PFPF（）求椭圆 C 的方程；（）若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M，交椭圆 C 于 两点，且 A、B 关于点 M 对称，求直线 l,的方程.解：() 因为点 P 在椭圆 C 上，所以 ，a=3.621PFa在 Rt PF1F2 中， 故椭圆的半焦距 c= ,52221F5从而 b2=a2c 2=4, 所以椭圆 C 的方程为 1.49yx(
20、) 解法一：设 A， B 的坐标分别为（ x1,y1）、（x 2,y2）.已知圆的方程为（x+2） 2+(y1) 2=5,所以圆心 M 的坐标为（ 2，1）.从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程得 （ 4+9k2）x 2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因为 A， B 关于点 M 对称，所以 解得 ，.94182198k所以直线 l 的方程为 即 8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意),)2(98xy解法二：已知圆的方程为（x+2） 2+(y1) 2=5,所以圆心 M 的坐标为（2，1）.设 A， B 的坐标分别为（x 1,
21、y1）,( x2,y2).由题意 x1 x2 且 4921y ,49由得 .0)(9)( 21212121yyxx因为 A、 B 关于点 M 对称，所以 x1+ x2=4, y 1+ y2=2,代入得直线 l 的斜率为 ，21xy98所以直线 l 的方程为 y1 （x+2），即 8x9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)982009 江西 22 如图，已知圆 是:G22()xyr 椭圆的内接 的内切圆, 其中 为椭216xyABCA圆的左顶点.（1）求圆 的半径 ;r（2）过点 作圆 的两条切线交椭圆于(0,)M EF，xyB0CMEG学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa
22、Education Technology（Beijing）Ltd.- 20 -两点，证明：直线 与圆 相切EFG解: （1）设 ，过圆心 作 于 , 交长轴于B02,ry（ ） DABCH由 得 , 即 (1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m GDHA0263r06ry而点 在椭圆上, (2)B02ry（ ） 220()14()6161ry由(1)、 (2)式得 ,解得 或 （舍去）2158r3r5(2) 设过点 与圆 相切的直线方程为 : (3)M(0,)24()9xyykx则 ,即 (4),解得231k23650k124941,66k将(3)代入 得 ,则异于零的解为6xy2(1)
23、3x231kx设 , ，则1(,)Fk2()Ek1122,66kk则直线 的斜率为： 211234EFxk于是直线 的方程为: 即21123()66kyx73yx则圆心 到直线 的距离 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故结论成立.(2,0)FE723916d2009 天津文 22 已知椭圆 2byax（ 0a）的两个焦点分别为 )0(,)0,(21cFc，过点)0,(2caE的直线与椭圆相交于点 A,B 两点，且 |2|,/121BAF（）求椭圆的离心率（）直线 AB 的斜率；（）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 上有一点 H(m,n)( 0m)在CAF1的外接圆上，求 mn
24、的值.学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 21 -解：（I）由 |,/2121BFAF，得 21|12AFBE,从而212ca，整理得 23ca，故离心率 3ace（II）解：由（1）知， 22b，所以椭圆的方程可以写为2263cyx设直线 AB 的方程为)(cxky即 )3(cxky由已知设 ),(),21BxA则它们的坐标满足方程组 226)3(cyxk消去 y 整理，得 0627183ckcxk依题意， 3,0)(482c而 2212167,3kcxkx，由题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以 213x
25、联立三式，解得 22219,39kcxkcx，将结果代入韦达定理中解得(III)由（2）知， 23,01cx，当 32k时，得 A )2,0(c由已知得 ),(C线段 1AF的垂直平分线 l 的方程为),2(2cxcy直线 l 与 x 轴的交点)0,2(c是 CAF1的外接圆的圆心，学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 22 -因此外接圆的方程为22)()(cycx直线 BF2的方程为 y，于是点 ),(nmH满足方程组)(2492cmn由 0，解得,35c，故 52当2k时，同理可得2mn（六） 以结果形式立意轨迹
26、问题2009 福建 20 已知椭圆 的中心为直角坐标系 的原点，焦点在 轴上，它的一个项点到两个焦点的CxOyx距离分别是 7 和 1(I)求椭圆 的方程 ;(II)若 为椭圆 的动点， 为过 且垂直于 轴的直线上的点， （e 为椭圆 C 的离心率），PMPxOPM求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：（）设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 解得 a=4,c=3,1,7.ac所以椭圆 C 的方程为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 21.67xy学大教育科技（北京）有限公司 王杕XueDa Education Technology（Beijing）Ltd.- 23 -（）设
27、M（x,y）,P(x, ),其中 由已知得1y4,.x221.xye而 ，故 34e2216()9().x由点 P 在椭圆 C 上得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2217,6xy代入式并化简得 29,所以点 M 的轨迹方程为 轨迹是两条平行于 x 轴的线段47(4),3yx2007 北京19 如图，矩形 的两条对角线相交于点 ，ABCD(20)M，边所在直线的方程为 点 在 边所在直AB360xy(1)T， AD线上（I）求 边所在直线的方程；D（II）求矩形 外接圆的方程；C（III ）若动圆 过点 ，且与矩形 的外接圆外切，P(20)N， BC求动圆 的圆心的轨迹方程TNOABCMxy
