1、2018 届广东省广州市普通高中学校高考高三 12 月月考数学试题（一）（满分 150 分，时间 120 分钟）一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1已知集合 axBxA,2，且 RBA，则实数 a的取值范围是_ 2函数 )(log1)(f 的反函数 )(1xf_ 3抛物线 2xy的焦点坐标是 _ 4若 6252cba22CcBbAa，则 化简后的最后结果等于_ _5已知正三棱柱的底面正三角形边长为 2，侧棱长为 3，则它的体积 V 6若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值
2、是 7在 ABC中， ,3A， 10B，则 8若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一个即可）9如果执行右面的框图，输入 4N，则输出的数 S等于 10甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到 DCBA、 四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位 A服务的概率是 11已知 01cossin2a与 01cossin2b( ba)直线 MN过点 ),(与点 ),(bN，则坐标原点到直线 MN 的距离是 12已知 1,)2()xaxfx满足对任意 21x都有 0)(21xff成立，则 a的取值范围是_ _13正六边
3、形 11FEDCBA的边长为 1，它的 6 条对角线又围成了一个正六边形 22，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 14设 Ryx,，且满足 4)1(203)1(4531yyxx，则二选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分15设双曲线 )0,(12bayx的虚轴长为 2，焦距为 3，则双曲线的渐近线方程为A. xy .B xy C. xy21 D. xy216对于原命题“周期函数不是单调函数” ，下列陈述正确的是 （ ） .逆命题为“单调函数不是周期函数” .B否命题为
4、“周期函数是单调函数”C.逆否命题为“单调函数是周期函数” D. 以上三者都不对17已知复数 iz210在复平面上对应点为 0P，则 关于直线 zizl2:的对称点的复数表示是（ ） A. i .Bi C. i1 D. i1 18已知函数 )(xf是定义在 R上的单调增函数且为奇函数，数列 na是等差数列， 017a，则)()()( 2013201321 affaaf 的值（ ） A.恒为正数 .B恒为负数 .恒为 0 .可正可负 三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19 (本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题，
5、第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分如图已知四棱锥 ABCDP的底面是边长为 6 的正方形，侧 棱A的长为 8，且垂直于底面，点 NM、 分别是 ABDC、 的 中点求（1 ）异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值 表示） ；（2 ）四棱锥 ABCDP的表面积.20 (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.已知数列 na满足 )(23,2*111 Nnann（1）设 nb3，证明：数列 nb为等差数列，并求数列 na的通项公式；（2）求数列 a的前 项和 nS21 (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第
6、1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.已知 )1,sin3co2xm， ),(cosyx，满足 0nm （1 ）将 y表示为 的函数 (f，并求 f的最小正周期；（2 ）已知 cba,分别为 ABC的三个内角 CBA,对应的边长，若 )2(Afxf对所有 Rx恒成立，且 ，求 的取值范围22 (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 2 分. 设直线 0,11pxkyL： 交椭圆 )0(2bayx： 于 DC、 两点，交直线 xkyL： 于点 E（1 ）若 为 CD的中点，求证 : 21abk；（2 ）写出上述
7、命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3 ）请你类比椭圆中（1） 、 （2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明） 23 (本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.我们把定义在 R上，且满足 )(xafTxf（其中常数 Ta,满足 0,1Ta）的函数叫做似周期函数（1 ）若某个似周期函数 )(fy满足 1且图像关于直线 x对称求证：函数 )(xf是偶函数；（2 ）当 2,aT时，某个似周期函数在 0x时的解析式为 1()xf，求函数 )(fy，Znx,的解析式；（3 ）对于确定的 Tx0且 时， xf3)(，
8、试研究似周期函数函数 )(xfy在区间 ),0(上是否可能是单调函数？若可能，求出 a的取值范围；若不可能，请说明理由参考答案 一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1 2a；2 )2()(11xf；3 )81,0(；42；5 3；6 2；7 3；8 -或 ；9 54；10 4253PC；11 1 ；12 ,；13 94；14-3 1已知集合 axBxA,，且 RBA，则实数 a的取值范围_ 2a_ 2函数 )2(log1)(2f 的反函数 )2()(11xf3抛物线 xy的焦点坐标是 _ 8,0
9、( 4若 6252cba22CcBbAa，则 化简后的最后结果等于_2 5已知：正三棱柱的底面正三角形边长为 2，侧棱长为 3，则它的体积 V 3 6若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半 径的比值是 7在 ABC中， ,3A， 10B，则2 8若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位 置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为 （写出一 个即可） 21-或9如果执行右面的框图，输入 4N，则输出的数 S等于 54 10甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到 DCBA、 四个 不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位 A服务的概率是 401253P
10、C 11已知 01cossin2a与 01cossin2b( ba)直线 MN过点 ),(a与点),(bN，则坐标原点到直线 MN 的距离是 1 12已知 ,)2(xaxfx满足对任意 21x都有 0)(21xff成立，那么 a的取值范围是_ ,23 13正六边形 11FEDCBA的边长为 1，它的 6 条对角线又围成了一个正六边形22，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 439 14设 Ryx,且满足 4)1(203)1(4531yyxx，则 yx,_ 3 二选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选
11、对得 5 分，否则一律得零分15设双曲线 )0,(12bayx的虚轴长为 2，焦距为 3，则双曲线的渐近线方程为（ D ） A. xy .B xy C. xy21 D. xy216对于原命题“周期函数不是单调函数” ，下列陈述正确的是 （ D ） .逆命题为“单调函数不是周期函数” .B否命题为 “周期函数是单调函数”C.逆否命题为“单调函数是周期函数” D. 以上三者都不对17已知复数 iz210在复平面上对应点为 0P，则 关于直线 zizl2:的对称点的复数表示是（ .B ） A. i .Bi C. i1 . i1 18已知函数 )(xf是定义在 R上的单调增函数且为奇函数，数列 na是
12、等差数列， 017a，则)()()( 2013201321 affaaf 的值（ A ） A.恒为正数 .B恒为负数 C.恒为 0 D.可正 可负 三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各 题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分如图已知四棱锥 ABCDP中的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 PA的长为 8，且垂直于底面，点NM、分别是 、 的中点求（1 ）异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ；（2 ）四棱锥 的表面积.（1）解法 一：连结 A，
13、可证 N AM，直线 P与 所成角等于直线 P与 C所成角 2 分因为 垂直于底面,所以 ,点 M分别是 DC的中点, 653在 ARt中, 8, , 1583tanPMA, 158arctnPMA4 分即异面直线 PM与 CN所成角的大小 为158arctn6 分解法二：以 A为坐标原点建立空间直角坐标系可得 )0,63(M， )8,(P， )0,3(N， ),6(C，)8,63(P， )0,3(CN 2 分直线 M与 所成角为 ，向量 P与 的夹角为 109541094cos4 分又 53s， 3arcos，即异面直线 PM与 CN所成角的大小为 109546 分（说明：两种方法难度相当）
14、(2) 因为 A垂直于底面 ,所以 ABP， D即 PABRt DCtBC，同理 Ct 8 分底面四边形 D是边长为 6 的正方形，所以 36底S又 PABS侧 PBCSD 10864)21()21( BCPAP143608表所以四棱锥 ABCDP的表面积是 144 12 分20(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.已知数列 na满足 )(23, *11 Nnann（1）设 nb3证明：数列 nb为等差数列，并求数列 na的通项公式；（2）求数列 a的前 项和 nS解：（1） nnnab3211 1323211nnna，2 分 n为等
15、差数列又 0=， b4 分na2316 分（2 ）设 nnT3)1(0 ，则3 32n 1112 3)(3(9)( nnnnT10 分42314391nnn 3231nnnTS 14 分 21(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 已知 )1,si3coxm， ),(cosyx，满足 0nm （1 ）将 y表示为 的函数 (f，并求 f的最小正周期；（2 ）已知 cba,分别为 ABC的三个内角 CBA,对应的边长，若 )2(Afxf对所有 Rx恒成立，且 ，求 的取值范围解：（I）由 0nm得 0cosin32cosyxx 2 分即
16、 xyi32cos 1)62sin(12i x4 分所以 1)6i()(f ，其最小正周期为 6 分（II）因为 2Afx对所有 Rx恒成立所以 3)2(Af，且 Zk,26 8 分因为 为三角形内角，所以 A0，所以 3 9 分由正弦定理得 Bbsin34， Ccsin34， CBcbsin34si)2i(sin34)6i(12 分),0(B， 1,6siB， 4,2(cb所以 cb的取值范围为 4,2( 14 分22(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 2 分.设直线 0,11pxkyL： 交椭圆 )0(2bay
17、x： 于 DC、 两点，交直线 xkyL： 于点 E（1 ）若 为 CD的中点，求证： 21abk；（2 ）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3 ）请你类比椭圆中（1） 、 （2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明） 解：（1）解法一：设 ),(1yx),(2),(0yxE)( 2212122 bapakabyaxpk2 分2121kab， kaby211221kabp4 分又 21210 xyx21pk217 分解法二（点差法）：设 ),(1yC),(2D),(0yxE)1(21byax， 2bax两式相减得 0)()211211 yy即 0)(2)(221010 byax
18、3 分2021 kayxyk21ab7 分（2 ）逆命题：设直线 pxkyL11： 交椭圆 )0(12bayx： 于 DC、 两点，交直线xkyL22：于点 E若 21ab，则 E为 CD的中点9 分证法一：由方程组 02)( 221122 bapxakxbypxk10 分因为直线 pxkyL11： 交椭圆 于 DC、 两点，所以 0，即 022ba，设 ),(1yx、 ),(2yx、 ),(0yxE则 21210kx ， 2120kabpy12 分xkypxky2121又因为 21k，所以021211ykabpxky，故 E 为 CD 的中点14 分证法二：设 ),(C),(2xD),(0y
19、则 121byax， 12ba两式相减得 0)()(211211 yyx即 )(2121yabxyk9 分又 0221,xykabk， 021yx即 021xpkxpk 12 分0121xpkxk得 0021y，即 E为 CD的中点14 分（3 ）设直线 ,11pxkyL： 交双曲线 )0,(12babyx： 于 DC、 两点，交直线xky22：于点 E则 为 C中点的充要条件是 21k16 分23(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.我们把定义在 R上，且满足 )(xafTxf（其中常数 Ta,满足 0,1
20、Ta）的函数叫做似周期函数（1 ）若某个似周期函数 )(fy满足 1且图像关于直线 x对称求证：函数 )(xf是偶函数；（2 ）当 2,aT时，某个似周期函数在 0x时的解析式为 1()xf，求函数 )(fy，Znx,的解析式；（3 ）对于确定的 Tx0且 时， xf3)(，试研究似周期函数函数 )(xfy在区间 ),0(上是否可能是单调函数？若可能，求出 a的取值范围；若不可能，请说明理由解：因为 Rx关于原点对称， 1 分又函数 )(fy的图像关于直线 1x对称，所以1(f 2 分又 T， ,)(xaff 用 x代替 得 3 分由可知 ,)()xff 01a且，()xf即函数 是偶函数；4 分（2 ）当 )1Znn时， )(Znx)1(22(2)() xnxfxfxff ；10 分
