1、2018 届山东省淄博市淄川中学高三上学期开学考试数学（理）试题一、选择题1设复数 z1=1+2i，z 2=2i ，i 为虚数单位，则 z1z2=（ ）A. 4+3i B. 43i C. 3i D. 3i【答案】A【解析】 ，故选 A.12i43iz2已知平面向量 满足 ，且| |=2，| |=1，则向量 与 的夹角,ab5babab为（ ）A. B. C. D. 6326【答案】B【解析】设向量 的夹角为 ，且 ，由 ，可得 ，,ab0,5ab25ab代入数据可得 ，解得 ，可得 ，故选 B.21cos51cos233下列有关命题的说法中，正确的是（ ）A. 命题 “若 x21，则 x1”的
2、否命题为“若 x21，则 x1”B. 命题“若 ，则 sinsin”的逆否命题为真命题C. 命题“ xR，使得 x2+x+10”的否定是“ xR，都有 x2+x+10”D. “x1”是“x 2+x20”的充分不必要条件【答案】D【解析】对于 ，因为否命题，既要否定结论，又要否定条件，故错误；对于 ，命题A B“若 ，则 ”为假命题，其逆否命题与原命题同真假，故错误；对于 ，sin C“ ”的否定是“ ”，故错误；对于 ，因为 的解集为 或 ，所D20x1x2以“ ”是“ ”的充分不必要条件，正确，故选 D.1x20x4若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+5y 的取值范围是（ ）214
3、3yxA. 3，+） B. 8，3 C. （，9 D. 8，9【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由 ，则可得 ，则35zxy315xz表示直线 在 轴上的截距，截距越大， 越大，结合图象可知，当15z35zxyz经过点 时， 最小，当 经过点 时， 最大，由xyAzzxyCz得 ，此时 ，由 得 ，此时4 03,C921 43,A，故选 D.8,9zz【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形
4、后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿大鼠日一尺，小鼠亦日一尺大鼠日自倍，小鼠日自半问几何日相逢？各穿几何？” ，翻译成今天的话是：一只大鼠和一只小鼠分别从的墙两侧面对面打洞，已知第一天两鼠都打了一尺长的洞，以后大鼠每天打的洞长是前一天的 2 倍，小鼠每天打的洞长是前一天的一半，已知墙厚五尺，问两鼠几天后相见？相见时各打了几尺长的洞？设两鼠 x 天后相遇（假设两鼠每天的速度是匀速的） ，则 x=（ ）A. B. C. D. 1287219【答案】C【解析
5、】由于前两天大鼠打 尺，小鼠打 尺，因此前两天两鼠共打12，第三天，大鼠打 尺，小鼠打 尺，因此第三天相遇，设第三天，大31.544鼠打 ，小鼠打 尺，则 ，解得 ，相见时大鼠打了y0.y0.51y817尺长的洞，小鼠打了 尺长的洞， 812379234天，故选 C.241x6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（ ）51A. a=11 B. a=12 C. a=13 D. a=14【答案】B【解析】模拟执行程序，程序的功能是求和， 11.232S，故选 B.125,13a【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)
6、不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7某城市有 3 个演习点同时进行消防演习，现将 5 个消防队分配到这 3 个演习点，若每个演习点至少安排 1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ）A. 150 B. 240 C. 360 D. 540【答案】A【解析】试题分析：由题意得，把 个消防队分成三组，可分为 ， 两类方51,3,2法，
7、 （1）分为 ，共有 种不同的分组方法；（ 2）分为 ，共有,313420CA,种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有254CA种不同的分配方案，故选 A310150【考点】排列、组合的应用【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“ 每个演习点至少要安排 个消防队”的要求，明确要将 个消防队分为 ， 51,3的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本1,2题的解答中，先将 个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原5理，即可得到答案8某几何体的三视图如图所示（图中网格的边长为 1 个单位） ，其中俯视图为扇形
8、，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 2341369【答案】B【解析】由三视图知几何体是圆锥的一部分, 由俯视图可得：底面扇形的圆心角为,又由侧视图知几何体的高为 ,底面圆的半径为 ， 几何体的体积120 2，故选 B.24336V【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面
9、的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9已知函数 f（x）=Asin（ x+） （A0，0，| ）图象如图所示，则下2列关于函数 f （x）的说法中正确的是（ ）A. 对称轴方 程是 x= +k（kZ）6B. 对称中心坐标是（ +k，0） （kZ）3C. 在区间（ ， ）上单调递增2D. 在区间（， ）上单调递减【答案】D【解析】由图可知 ，则 ，故 ， 15,26AT2,T1图象过 点， ，故,06 6kZ，故得函数 ，根据正弦函数的对2,6kfxsin称轴，可得 ，解得 不对， 根据正弦函62xkZ,3xkZA数的对称中心，由 ，解得 ， 对称中心坐标是6不对，根据正弦函数的性质，
10、当 ，即,0,6kkB 26x时，函数单调递增， 不对，当 ，即23xC32时，函数在区间 上单调递减， 对， 故选 D.52,3D10设集合 A=（x，y）|x|+|y|2，B=（x，y）A|yx 2，从集合 A 中随机地取出一个元素 P（x，y ） ，则 P（x，y）B 的概率是（ ）A. B. C. D. 12742356【答案】B【解析】集合 是一个正方形区域的内部及边界， 个顶点是A 4，集合 是抛物线 下方的区域，由 ，0,02,B2yx2 0yx可求得两图象在第一象限的交点坐标为 ， 抛物线 下方的区域的面积，1,2yx根据对称性，可得面积为 ，正方形的面积12 3100 745
11、|xd为 ， 的概率是 ，故选 B.482,PyB71382411已知双曲线 C1： =1，双曲线 C2： =1（a0，b0）的左、右264x2xy焦点分别为 F1，F 2，M 是双曲线 C2 一条渐近线上的点，且 OMMF 2，若OMF 2的面积为 16，且双曲线 C1，C 2的离心率相同，则双曲线 C2的实轴长为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C【解析】双曲线 的离心率为 ，设21:64xy215142cbea，双曲线 一条渐近线方程为 ，可得 ，2,0Fc2byx22cbFMa即有 ，由 的面积为 ，可得 ，即 ，又OMba2OF1616b3，且 ，解得 ，既有双
12、曲线的实轴长为 ，故22abc58,45bc选 C.12已知定义域为 R 的函数 f （x）的导函数为 f（x） ，且满足 f（x）2f （x）4，若 f （0）=1，则不等式 f（x）+2e 2x的解集为（ ）A. （0， +） B. （1，+） C. （，0） D. （，1）【答案】A【解析】设 ，则 ， 2xfFe2 4 xffFxe，即函数 在定义域上单调递增， 240,fxf， 不等式 等价为不等式 等价01,f2xfe21xfe为 ，解得 ，故不等式的解集为 ，故选 A.Fx0x0,【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读
13、懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状” ；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察四个选项，联想到函数 ，再结合条件判断出其单调性，2xfFe进而得出正确结论.二、填空题13若 展开式中所有二项式系数之和是 64，常数项为 15，则实数 a 的值是nax_【答案】1【解析】由题意可得 ，解得 ， 的通项公式264n6ax，令 ，解得 ， 常数项36 21 6rrrrrr aTxx02r，解得 ，故答案为 .
14、265a11【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一1rnrTCab项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14若圆 C 经过坐标原点和点（4，0） ，且与直线 y=1 相切，则圆 C 的方程是_ 【答案】 22354xy【解析】设圆的圆心坐标 ，半径为 ，因为圆 经过坐标原点和点 ，且与直,abrC4,0线 相切，所以 ，解得 ，所求圆的方程为1y224 1rb2
15、3 52abr，故答案为 .22354xy34xy15正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为_【答案】 814【解析】试题分析：作图如下：由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为 ，球心为 ，正四棱锥底面中心为为 ，则 垂直棱锥底面， ，所以 ，解得，所以球的表面积 ，所以答案应填： 【考点】1、正四棱锥的性质； 2、球的表面积16某校学生小王在学习完解三角形的相关知识后，用所学知识测量高为 AB 的烟囱的高度先取与烟囱底部 B 在同一水平面内的两个观测点 C，D，测得BDC=60，BCD=75，CD=40 米，并在点 C 处的正上方 E 处
16、观测顶部 A 的仰角为 30，且 CE=1米，则烟囱高 AB= _米【答案】20 +12【解析】过 作 ，垂足为 ，则 中， ，由正EFABFBCD1807564弦定理得 ，则 中， 34026CDsinRtAEF， 30,ta0tan320AEFEFA ，故答案为 .12B21三、解答题17已知a n为等比数列，a 1=1，a 4=27； Sn为等差数列b n 的前 n 项和，b1=3，S 5=35（1）求a n和b n 的通项公式；（2）设数列c n 满足 cn=anbn（nN） ，求数列c n 的前 n 项和 Tn【答案】 （1） （2） 13,a3【解析】试题分析：（1）设等比数列 的
17、公比为 ，由 ，可得naq14,27a，解得 ，设等差数列 的公差为 ，由 ，可得327qqbd53bS，解得 ，从而可得结果；（2）由（1）可得54dd，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.3nncab试题解析：（1）设等比数列a n的公比为 q，a 1=1，a 4=27；1q 3=27，解得q=3 设等差数列b n 的公差 为 d，b 1=3，S 5=3553+ =35，解得 d=2b n=3+2（n1）=2n+1 （2）c n=anbn=（2n+1）3 n1 数列c n 的前 n 项和 Tn=3+53+732+（2n+1）3 n1 3Tn=33+532+（2n1）3 n1 +
18、（2n+1）3 n 2T n=3+2（3+3 2+3n1 ）（2n+1）3 n=3+ （2n+1）3 nT n=n3n【 方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列nanb的前 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列nab的公比，然后作差求解, 在写出“ ”与“ ” 的表达式时应特别注意将两式nSnq“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式.18微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内
19、销售商品的人（被称为微商） 为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户列为“微信控” ，否则称其为“非微信控” ，调查结果如下：微信控 非微信控 合计男性 26 24 50女性 30 20 50合计 56 44 100（1）根据以上数据，能否有 60%的把握认为“微信控”与”性别“有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人并从选出的 5 人中再随机抽取 3 人赠送 200 元的护肤品套装，记这 3 人中“微信控 ”的人数为 X，试求 X 的分布列与数学期望参考公式： ，其中 n=a+b+
20、c+d P（K 2k 0） 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010k0 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【答案】 （1）没有 60%的把握（2）见解析【解析】试题分析：（1）由列表根据公式 计算22nadbcKd，对照临界值表即可得出结论；（2）依题意所抽取的 位女性中“微信控”有K 5人，得 所有可能取值为 ，计算对应的概率，写出 的分布列，由期望公式3X1,23X计算数学期望值.试题解析：（1）由列联表可知，= = 0.649，0.6490.708，没有 60%的把握认为“微信控”与”性别“有关； （2）依题意知，所抽取的 5
21、位女性中“微信控”有 3 人，“非微信控”有 2 人，X 的所有可能取值为 1，2，3； 且 P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ， X 的分布列为：X 1 2 3P（X）X 的数学期望为 EX=1 +2 +3 = 【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图、古典概型概率公式以及独立性检验，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小22nadbcKd2K2K关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形，DAB=DBF=60 ，且 FA=FC（）求证：AC平面 BDEF；（）求证：FC平面 EAD；（）求二面角 AFCB 的余弦值【答案】 （1）见解析（2）见解析（3） 15【解析】试题分析：（）设 与 相交于点 ，连接 ，因为四边形ACBDOF为菱形，所以 ，且 为 中点，由 ，知 ，ABCDACFO由此能够证明 平面 ；（）因为四边形 与 均为菱形，所EFBDE以 ，平面 平面 ，由此能够证明 平面 ；/,/B/ /AD
