1、2018 届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上学期第一次联考数学（理）试题一、选择题1已知复数 ，其中 为虚数单位，则 的虚部是（ ）21izizA. B. C. D. 2332【答案】B【解析】 = 11iiz132ii 的虚部是 32故选：B2集合 ，则 （ ）21,0,log1ABxABA. B. C. D. ,23,031,02【答案】A【解析】由 ，得： ,即 ，2log1xx14x31,3B 0,B故选：A点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由
2、交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍3如图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间 内的频率为（ ）2,1A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6【答案】C【解析】数据落在区间 内的产品数量为：22,22,27,29,30，共 5 个.2,31数据落在区间 内的频率为 .,50故选：C4已知等比数列 满足 ，则 的值为（ ）na21356,4a3aA. 1 B. 2 C. D. 42【答案】
3、A【解析】等比数列 满足 ， ，又偶数项同号，na21356,4a246a462a ，1q231q故选：A5 已知变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值xy24 1xy2zxy为（ ）A. B. C. D. 137【答案】B【解析】作出可行域如图：根据图形，当目标函数过点 时， 有最小值3,1z，故选 B32z6下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（ ）0,A. B. C. D. ln1yx1yxcosxyxye【答案】D【解析】四个函数均为偶函数，下面判断单调性；对于 A， 在区间 无意义，故 A 错误；ln1yx(0 ，对于 B， 在区间 上单调递减，故 B 错误； ，对于
4、 C，y= 为周期函数，所以 在 上不具有单调性；cosxcosxy0,对于 D， 是偶函数，又在 上单调递增.xye,故选：D7 的展开式中， 的系数为（ ）8216xA. 154 B. 42 C. D. 1264【答案】B【解析】 的通项为 ， 8x18rrrTC0,18， ，当第一个因子取 1 时， 的系数为 ；66当第一个因子取 时， 的系数为 ；x58当第一个因子取 时， 的系数为 ；264C故系数为： 568812C故选：B8如图，给出的是计算 的值的一个程序框图，则图中判断框内1470（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（ ）A. B. C. D. 10,in34,in34,
5、in34【答案】C【解析】此时，经第一次循环得到的结果是： ；S1n4i2， ，经第二次循环得到的结果是： ；S17i34， ，经第三次循环得到的结果是： ；0， ，由特例归纳总结：S 中最后一项的分母与 i 的关系是分母= i5令 ，解得: ,即需要 时输出，故图中判断框内（1）和执行框3i510i3535的（2）处应填的语句分别是 4n故选：C点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9关于函数 ，下列叙述
6、有误的是（ ）3cos21yxA. 其图象关于对称直线 对称B. 其图象可由 图象上所有点的横坐标变为原来的 得到3cos21yx 12C. 其值域是 ,4D. 其图象关于点 对称5,12【答案】D【解析】关于函数 ,令 ，求得 y=3，为函数的最小值，3cos1yxx故 A 正确；由 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍,可得3cos1yx 12的图象，故 B 正确；2函数的值域为 ，故 C 正确,4令 x= ,求得 y= ,可得函数的图象不关于点 对称，故 D 错512cos203x 5,12误；故选：D.10某学校有 5 位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有 5 个培训项目，每
7、位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这 5 位教师中的任何一位教师选择的情况数为（ ）A. 5400 种 B. 3000 种 C. 150 种 D. 1500 种【答案】D【解析】分两步：第一步从 5 个培训项目中选取三个，共 种情况；35C第二步 5 位教师分成两类：一类：1 人，1 人，3 人，共 种情况；一类：1人，2 人，2 人，共 种情况；23CA故情况数为： 150023355CA故选：D11如图，等边 的边长为 2，顶点 分别在 轴的非负半轴， 轴的非负B,BCxy半轴上滑动， 为 中点，则 的最大值为（ ）MAOMA. B. C. D. 7572232
8、【答案】B【解析】设 ，则 , OCB,0,cosCsin,A2,233cosin ,M,si2223333OAcocossinsin+22246cscs2sin,2 213 4632ocsoocosin25135372sincssini 的最大值为OAM7故选：B.12已知函数 ，则函数 ( 为,0 lnxef21Fxffxee自然对数的底数）的零点个数是（ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】函数 的图象如图所示:fx令 ，则 ，先看 与 y= 的交点情mfx21Ffmeyfm21e况，此时，y= 与 在 上相切于点 ，y= 与21eyf,2e， 2在 上yf0,有一
9、个交点，y= 与 在 上有两个交点，一个横坐标为 0，21mef(,0 一个横坐标为负值，故 m 可以取到负值，0，大于零小于 1， 共四个值，2e再看 y=m 与 y= 的交点情况，m 取负值，x 不存在；m 取 0，x 有一个；m 取大于fx零小于 1，有三个解； 时，有两个解，一共 6 个解，2e取故选：C点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.二、填空题13已知命题 ，都有 ，则 为 _:pxR240xp【答案】 ，使得2【解析】命题 ，都有 ， 为 ，使得:x2x xR240x14如图所示，在
10、平面直角坐标系内，四边形 为正方形且点 坐标为 .ABCD1,2抛物线 的顶点在原点，关于 轴对称，且过点 .在正方形 内随机取一点 ，x M则点 在阴影区域内的概率为_M【答案】 23【解析】由抛物线 的顶点在原点，关于 轴对称，且过点 ，所以抛物线方x1,2C程为 ，214yx阴影区域的面积为 ，正方形的面积为 1，13201dx| 0点 在阴影区域内的概率为 .M故答案为： 2315已知三棱锥 ， 为边三角形， 为直角三角形， PABCPAC，平面 平面 .若 ，则三棱锥90,0PAB3外接球的表面积为_【答案】 15【解析】由 ，平面 平面 ，可知： ，PACCPBC平 面球心在经过
11、的中心且垂直面 ABC 的垂线上，也在线段 PA 的中垂面上，故二者B交点即球心. ，所以外接球的表面积为2223154R 2S415R故答案为： 15点睛：设几何体底面外接圆半径为 ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们x的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为 则其体对角线长为 ;长方体的外接球球心是其体对角,abc22abc线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为 ，则其外接球半径公式,abc为: .224Rabc16已知 为双曲线 的左、右焦
12、点，过 的直线 与12,F2:10,xyCab1Fl双曲线 的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交 两点，且,QP，双曲线 的渐近线方程为_2PQa【答案】 512yx【解析】过 的直线 与双曲线 的一条渐近线垂直，设垂足为 A，易得 ， 1FlC1bF,cosQbOc又 ，所以 ，而 ，故 ，2Pa12aPQF12aPF1aQ，在 中，利用余弦定理可得： ，即3FA294cb2abc， ，得： ，故渐近线方程为： 220512ba512yx三、解答题17 的内角 的对边分别为 .ABC, ,3bcA（1）若 ，求 面积的最大值；3a（2）若 ，求 的值.csin【答案】(1) 面积的最大
13、值为 ;(2) .ABC34938【解析】试题分析：（1）有余弦定理易得 ，结合均值不等式得： 2bc，又 ，从而 面积的最大值可得；（2）由正弦3bc13sin24ABCSbccABC定理得 ，从而 ，又 ，故可求得sinia1ossin3C的值.试题解析：（1)由余弦定理得 ，即 ，所以22cosbA23bc，23bc因为 ，所以 ，即 (当且仅当 时，等号成立） ，232ccc所以 ，故 面积的最大值为 .1sin4ABCSbcABC34(2)由正弦定理得， ，所以 ，sinacAC13sinisin24cAa所以 ,又因为 ，所以 ，所以 ，故 为锐角，13cos4C12C所以 ，所以
14、 sin 3BACsinsinC.319icosi3248点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .nanS2*12nanN（1）求数列 的通项公式；n（2）设数列 ，求数列 前 项和 的值.12nnabnbnT【答案】(1) ;(2) .n2641【解析】试题分析：（1）由 推得 ，即2
15、nSa110nnaa，其中 ；，故而得到数列 的通项公式；（2）利用裂项相消法求和.1na2n试题解析：（1)当 时，即 ,解得 ,21Sa1a2224nnnSa211nn-： ，所以 ，即1naa2110nnaa，110nnaa因为 是正项数列，所以 ，即 ，其中 ，10na1na2n所以 是以 为首相，1 为公差的等差数列，所以 .n2 12(2)因为 ，所以 ，a12n所以 222211n nbn，222214nn所以 12nnTb222214435n.216n19如图，在四棱锥 中，四边形 为梯形， ， PABCDABC/ABCD， 为等边三角形， .ADCP（1）求证：平面 平面 ；PADBC（2）求二面角 大小的余弦值.【答案】(1)见解析;(2) 二面角 大小的余弦值为 .P65【解析】试题分析：（1）欲证面面垂直，即证线面垂直；（2）以 为 轴， 为DAxB轴，过 点与平面 垂直的直线为 轴建立空间直角坐标 ，平面yDABCzyz的法向量 ，平面 的法向量 ，PAB3,1nP653,1cos,mmn，从而得到二面角 大小的余弦值.试题解析：
