1、邵阳市第二次联考试题卷数学(理科)第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ,则 等于( )2lg(41,34AxyxBxABA(-3,-2) B.(-3,2) C(2,4) D(-2,4)2.复数 的实部为( )2(1)izA0 B-1 C1 D23.假设有两个分类变量 和 的 列联表为:XY1y2y总计1xa10 10a2 c30 3c总计 60 40 100对同一样本,以下数据能说明 与 有关系的可能性最大的一组为( )XYA B C. D. 45,1ac40,2ac35,2ac
2、30,ac4.已知函数 的最小正周期为 ,则函数 的图像( )()os)(6fxfxA可由函数 的图像向左平移 个单位而得c2g3B可由函数 的图像向右平移 个单位而得()sxC. 可由函数 的图像向左平移 个单位而得co6D可由函数 的图像向右平移 个单位而得()s2gx5.执行如图的程序框图,若输入 的值为 3,则输出 的值为( )kSA10 B15 C.18 D216.在 中， ，且 ，则 等于( )C30,23AAC20BACDA18 B9 C.-8 D -67.若实数 满足不等式组 且 的最大值为 5，则 等于( ),xy0,245,xy3()2(1)xayaA-2 B-1 C.2
3、D 18.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A6 B9 C.12 D189.若 ，则实数 的值为( )5tancosinsi1212mA B C.2 D33310.已知 在区间（0,4）内任取一个为 ，则不等式,0,()1xfx x的概率为（ )21347log(l)(log)2fA B C. D13512171211.已知抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，圆 与线:(0)CypxF00(,)(2pMxCM段 相交于点 ，且被直线 截得的弦长为 .若 ，则 等于( )MF23AFAA B1 C.2 D33212.已知函数 ，且 ，设函数 在区间 上的最小值为 ，则 的()
4、xfae1,a()fx0,ln2m取值范围是( )A B C. D2,ln2,e2ln,11,e第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中常数项为 2(3)1x14.已知双曲线 的左、右端点分别为 ，点 ，若线段 的垂直平2(0,)yab,AB(0,2)CbAC分线过点 ，则双曲线的离心率为 B15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设 三个内角B所对的边分别为 ,面积为 ,则“三斜求积 ”公式为 ,AC、 、 abc、 、 S221()4acbS若 , ，则用“三斜求积”公式求得 的面积为 2sin
5、4iaA22()1AC16.在长方体 中,底面 是边长为 的正方形, , 是 的中点,过1BDABCD213E1A作 平面 与平面 交于点 ,则 与平面 所成角的正切值为 1CFE1FBD三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等比数列 的前 项和 ,且 .nanS13()naN(1)求 的值及数列 的通项公式；(2)若 ,求数列 的前 项和 .231(1)log()nnbaanbnT18. 某中点中学为了了解高一年级学生身体发育情况,对全校 700 名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高(单位: )频数分布表如下表 1、
6、表 2.cm表 1：男生身高频数分布表（）身高 ()cm160,165） 165,170） 170,175） 175,180） 180,185） 185,190）频数 2 5 14 18 4 2表 2：女生身高频数分布表身高 ()c150,155） 155,160） 160,165） 166,170） 170,176） 176,180）频数 1 7 12 6 3 1（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在165,180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出 1 人，设 表示身高在165,180）学生X的人数，求 的分布列及数学期望.X19. 在如图所示
7、的几何体中，四边形 是矩形， 平面 ， 是1BC1BAC11/,2,BABE的中点.AC（1）求证： 平面 ；1/AE1BC（2）若 ，求 二面角的余弦值.12,21ABE20. 已知右焦点为 的椭圆 过点 ，且椭圆 关于直线 对称的2(,0)Fc2:(0)xyab3,2Cxc图形过坐标原点.（1）求椭圆 的方程；C（2）过点 作直线 与椭圆 交于两点 ，线段 的中点为 ，点 是椭圆 的右顶点，求,0lCEF、 MAC直线 的斜率 的取值范围.MAk21. 已知函数 ，其中 .1()ln,()afxaxgxR（1）设函数 ，求函数 的单调区间；h()h（2）若 存在，使得 成立，求 的取值范围
8、.0,xe00()fa请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知三点 .(0,)2,(,)4OAB（1）求经过 的圆 的极坐标方程；,ABC（2）以极点为坐标原点，极轴为 的正半轴建立平面直角坐标系，圆 的参数方程为x 2C（ 是参数），若圆 与圆 外切，求实数 的值.cos,1inxay12Ca23.选修 4-5：不等式选讲设函数 .()21fxx（1）求不等式 的解集；f（2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.x()42fxm邵阳市第二次联考试题卷数学参考答案（理科）一、选择题1-5:CAADB
9、 6-10:DCCAB 11、12：BA二、填空题13.43 14. 15. 16. 102356三、解答题17.解：（1） ，163nSa当 时， ，1n169Sa当 时， ，21()23nnn即 ，13na 是等比数列， ，则 ，得 ，1a96a3数列 的通项公式为 .n13()nN（2）由（1）得 ，21()log(2)1nnbn 121. .47(3)nnT.(.)347321n18.解：（1）设高一女生人数为 ，由表 1 和表 2 得样本中男、女生人数分布为 40 和 30，x则 ，得 ，即该校高一女生的人数为 300.7043x0（2）由表 1、表 2 知，样本中身高在165,18
10、0)的学生人数为： ，51436142样本容量为 70，所以样本中学生身高在165,180)的频率为 ，270故由频率估计该校学生身高在165,180)的频率 .35p（3）依题意知 的可能取值为 0,1,2，X由上表知：女生的身高在165,180)的频率为 ，男生身高在165,180)的频率为 ，1345 ，412(0)()53P，91(5X，(2) 的分布列为：的数学期望 .X29417()0155EX19.解：（1）证明：取 的中点 ，连接 ，ABF1,EA ， ，12AB1 ， ./ 是 的中位线， ，EFC/EFCB ，平面 平面 ，1A11 平面 ， 平面 ./（2）连接 ，则 ，
11、以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，CFABF则 ，1(0,)(,0)(,)(7,0)AC .173,22EE设平面 的一个法向量为 ，1B(,)nxyz则 即10,nAE073,2yzx令 ，则 ， .y,1z(,1)7n向量 是平面 的一个法向量，(7,0)FC1AB .32cos,n二面角 的余弦值为 .1ABE2320.解：（1）椭圆 过点 ， ，C,219ab椭圆 关于直线 对称的图形过坐标原点， ，xc2c ， ，22abc234a由得 ，,椭圆 的方程为 .C2143xy（2）依题意，直线 过点 且斜率不为零，故可设其方程为 .l,02 12xmy由方程组 消去 ，并整
12、理得 .21,43xmyx24(3)1450my设 ，120(,)(,)(,)ExyFMy ，34m ，1202()y ， .0234xm024ymkx当 时， ；0k当 时， ，14 ， .48m1048m ， 且 .108k8k综合、可知，直线 的斜率 的取值范围是 .MA1,821.解：（1） ，()lnahxx，22 2(1)()(1)() xax当 时，即 时，在 上 ，在 上 ，10aa(0,)a(0h(,)(0hx所以 在 上单调递减，在 上单调递增；()hx,)1当 ，即 时，在 上 ，10a1(0,)(0hx所以，函数 在 上单调递增.()hx,)（2）若存在 ，使得 成立，
13、即存在 ，使得 ，0e00()fxg01,xe00()()hxfgx即函数 在 上的最小值小于零.1()lnax1,e由（1）可知：当 ，即 时， ， 在 上单调递减，e()0hx()1,e所以 的最小值为 ，()hx()由 可得 ，10ae21ea因为 ，所以 .22e当 ，即 时， 在 上单调递增，1a0()hx1,所以 最小值为 ，由 可得 .()hx(1)0a2当 ，即 时，可得 的最小值为 ，eae()hx(1)ha因为 ，所以， ，故 ，不合题题.0ln()0ln1ln()20综上可得所求 的范围是 .a2(,)(,)e22.解：（1） 对应的直角坐标分别为 ，则过(0,)2,4O
14、AB(0,),2(,)OAB的圆的普通方程为 ，又因为 ，代入可求得经过 的圆,AB20xycosinxy,OA的极坐标方程为 .Ccos()4（2）圆 ： （ 是参数）对应的普通方程为 ，21inxay 22(1)()xya当圆 与圆 外切时，有 ，解得 .122a23.解：（1）函数 可化为()fx3,2,()1,xfx当 时， ，不合题意；2x()30fx当 时， ，即 ；1210x1x当 时， ，即 .x()fx综上，不等式 的解集为 .(,)（2）关于 的不等式 有解等价于 ，x)412fxmmax()412f由（1）可知 ，（也可由 ，得 ），ma(3f()()3fxmax()3f即 ，解得 .7
