1、绍兴一中 2016 学年第一学期期末考试高三数学参考答案一、选择题：本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分1. 设全集 U=R,集合 02xA， axB，若 A 与 B 的关系 如右图所示,则实数 a 的取值范围是 （ C ）A ,0 B ,0 来源:学科网 C , D ,22. “ )(4zkx”是“t anx=1”成立的 ( C )A充分而不必要条 件 B必要而不充分条件 来源: 学科网C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( C )A.2 B. 43 C.4 D.54. 已知等比数列 2naq的 公 比 ， 其前 4 项和 4260
2、,Sa则 等于（ A ）A8 B6 C8 D65. 在（x-y） 10 的展开式中，系数最小的项是 ( C )A第 4 项 B第 5 项 C第 6 项 D第 7 项6. 给定下列四个命题：分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是( D ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和7若当 xR时，函数 xfa始终满足 01fx ，则函数 1logayx的图象大致为（ B ）正视图俯视图侧视图23 1251(
3、第 3 题图)PC1C1DRQBA1B1A111 11 111 y xO y xO y xOOx y8. 已知函数 sin(2)fx，其中 为实数，若 ()3fxf对于任意 xR恒成立，且 ()2ff，则 51f的值为 ( D )A 3 B0 C 2 D 39. 已知抛物线 y24x 的焦点 F， 若 A,B 是该抛物线上的点， AFB=90，线段 AB 中点 M 在抛物线的准线上的射影为 N,则 |MNA的最大值为 ( C )A. 2 B.1 C. 2 D. 1 10如图，在棱长为 1 的正方体 1BD中， ,PQ分别是线段 C ， 上的点， R是直线 A上的点，满足PQ平面 1AB， PQ
4、，且 P、Q 不是正方体的顶点，则 |的最小值是（ B ） 426B 305 52D 23二、填空题：本大题共 7 小题，11-14 题：每小题 6 分，15-17 题：每题 4 分，共 36 分11.若复数 iz，其中 i是虚数单位，则复数 z的模为 5 ， zi1的值为 i51712已知实数 x,y 满足30,1y -， 2x+y 的最大值为 11 ，其对应的最优解为 ,613. 过原点且倾斜角为 60的直线与圆 240相交，则圆的半径为_2_,直线被圆截得的弦长为_ 32_14甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则不同的的选法共有_36_种，2 人所选课程至少有一门相同的概率为_
5、6515.设等差数列 na的前 n 项和为 nS，若数列 na是单调递增数列，且满足 9,635Sa，则 6a的取值范围是 _ 7,316正实数 yx,满足 2，则 2yx的最小值 58 17. 在平面上 1AB, 1|21O, 21ABP, 31OP,则 |A的取值范围为17(,23三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .18. 在 ABC中， abc、 、 分别为角 ABC、 、 的对边，且满足 22bcab.（1）求角 的值；（2）若 3，记 的周长为 y，试求 的取值范围.解：（1）由余弦定理得221coscab，所以 3A；（2）设角
6、B的大小为 ,x由 3,aA及正弦定理得 2sinisinbcC，得 sinbB， 2sin()3cB，其中 2(0,)3所以周长 32isi()2()36yBg由于 (0,)B得 5,6，从而周长 3,y19.（本题满分 15 分） 如图 1,在直角梯形 ABCD中, 90, /CDAB, 4,2CD, M为线段 AB的中点.将 DC沿 折起,使平面 平面 ,得到几何体 ,如图 2 所示.() 求证: 平面 A；() 求二面角 M的余弦值.在图 1 中,可得 2ACB,从而 22ACB,故 ACB面 DE面 ,面 DE面 , 面 ,从而 平面 ACD（）建立空间直角坐标系 Oxyz如图所示,
7、则 (0,)M, (0,), (,2)(2,0)M, (20) 设 1nxyz为面 C的法向量,则 10D即 20xyz,解得 yxz令 x,可得 1(,)n又 2()为面 AC的一个法向量 12123cos,|n科_ 网 Z_X_X_K20 （本题满分 15 分）已知 xfln2， 32axg.(1)求函数 xf的单调区间；(2)若存在 ,0，使 xf成立，求实数 的取值范围；解析 (1) f(x)的定义域为(0，)， f( x)2(ln x1)令 f( x)0，得 x .1e当 x 时， f( x)0；(0，1e)xA BCDM yzO当 x 时， f( x)0.(1e， )所以 f(x)
8、在 上单调递减；在 上单调递增(0，1e) (1e， )(2)存在 x(0，)，使 f(x) g(x)成立，即 2xln x x2 ax3 在 x(0，)能成立，等价于 a2ln x x 在 x(0，)能成立，3x等价于 a(2ln x x )min.3x记 h(x)2ln x x ， x(0，)，3x则 h( x) 1 .2x 3x2 x2 2x 3x2 x 3 x 1x2当 x(0,1)时， h( x)0；当 x(1，)时， h( x)0.所以当 x1 时， h(x)取最小值为 4，故 a4.21. （本题满分 15 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( ab0)的左
9、、右焦点x2a2 y2b2分别为 F1，F 2，P 为椭圆上一点（在 x 轴上方） ，连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q，设 PF1 F1Q （1 ）若点 P 的坐标为 (1， )，且PQF 2 的周长为 8，求椭圆 C 的方程；32（2 ）若 PF2 垂直于 x 轴，且椭圆 C 的离心率 e ， ，求实数 的取值范围12 22【答案】 （1） 1；（ 2） ，5 x24 y23 73【解析】（第 21 题）xOyPF1F2Q（2 ） 方法一：因为 PF2x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P(c，y 0)，y 00 设 Q(x1，y 1)因为 P 在椭圆上，所以 1，解得 y0 ，即
10、P(c， ) 7 分c2a2 b2a b2a因为 F1(c，0)，所以 (2c， )， ( x1c，y 1)PF1 b2a F1Q 由 ，得2c(x 1c)， y 1，PF1 F1Q b2a解得 x1 c，y 1 ，所以 Q( c， ) 11 分 2 b2a 2 b2a因为点 Q 在椭圆上，所以( )2e2 1 ， 2 b22a2即(2) 2e2(1e 2) 2，( 24 3) e2 21 ，因为 10 ，所以(3)e 21，从而 3 14 分3e2 11 e2 41 e2因为 e ， ，所以 e 2 ，即 5 12 22 14 12 73所以 的取值范围为 ，5 15 分73方法二：因为 P
11、F2x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P(c，y 0)，y 00因为 P 在椭圆上，所以 1，解得 y0 ，即 P(c， ) 7 分c2a2 b2a b2a因为 F1(c，0)，故直线 PF1 的方程为 y (xc)b22ac由 得(4 c2b 2)x22b 2cxc 2(b24 a2)0 因为直线 PF1 与椭圆有一个交点为 P(c， )设 Q(x1，y 1)，b2a则 x1c ，即c x1 11 分2b2c4c2 b2 2b2c4c2 b2因为 ，PF1 F1Q 所以 3 14 分2c c x1 4c2 b2b2 3c2 a2a2 c2 3e2 11 e2 41 e2因为 e ， ，所以 e 2 ，即 5 12 22 14 12 73所以 的取值范围为 ，5 15 分7322. （本题满分 15 分）已知数列 na满足： 210nna， 12a（1 ）求 23,a；（2）证明数列为递增数列； （3）求证： 23.n解析 (1) 11nn， 7,2（2 ） 02na对 N恒成立，（3 ） nna1 nna1121 1nna故 13221321 nnna1na
